입체기하학

입체기하학(solid geometry), 공간기하학 또는 입체측정학(stereometry)은 3차원 유클리드 공간(3D 공간)의 기하학이다.^[1] 입체 도형은 2차원 닫힌 곡면으로 둘러싸인 3D 공간의 영역이다. 예를 들어, 공은 구와 그 내부로 구성된다.

입체기하학은 각뿔, 각기둥, 정육면체 (및 기타 다면체), 원기둥, 원뿔 (절두체 포함) 및 기타 회전체를 포함한 다양한 입체 도형의 부피 측정을 다룬다.^[2]

역사

피타고라스 학파는 정다면체를 다루었지만, 각뿔, 각기둥, 원뿔, 원기둥은 플라톤주의 시대에 와서야 연구되었다. 에우독소스는 각뿔과 원뿔이 같은 밑면과 같은 높이를 가진 각기둥과 원기둥 부피의 3분의 1임을 증명하여 이들의 측정을 확립했다. 그는 또한 구 (기하학)에 둘러싸인 부피가 반지름의 세제곱에 비례한다는 증명의 발견자일 가능성이 높다.^[3]

주제

입체기하학과 입체 측정학의 기본 주제는 다음과 같다.

고급 주제는 다음과 같다.

3차원의 사영기하학 (추가 차원을 사용하여 데자르그의 정리를 증명하는 것으로 이어짐)
더 많은 다면체
화법기하학

입체 도형 목록

구가 공의 표면인 반면, 다른 입체 도형의 경우 이 용어가 도형의 표면을 의미하는지 또는 그 안에 둘러싸인 부피를 의미하는지 불분명할 때가 있다. 특히 원기둥의 경우 그렇다.

부피를 구성하거나 정의하는 주요 도형 유형
도형	정의	이미지
평행육면체	각 면이 평행사변형인 여섯 면(육면체)을 가진 다면체 세 쌍의 평행한 면을 가진 육면체 밑면이 평행사변형인 각기둥
능면체	모든 모서리의 길이가 같은 평행육면체 면이 사각형이 아니라 마름모인 정육면체
직육면체	6개의 사각형 면으로 둘러싸인 볼록 다면체로, 다면체 그래프는 정육면체와 동일하다.^[4] 일부 출처에서는 각 면이 직사각형이어야 한다(따라서 인접한 각 면의 쌍이 직각으로 만난다)고도 요구한다. 이 더 제한적인 유형의 직육면체는 직사각형 직육면체, 직육면체, 직사각형 상자, 직사각형 육면체, 직사각형 각기둥 또는 직사각형 평행육면체라고도 알려져 있다.^[5]
다면체	평평한 다각형 면, 곧은 모서리, 날카로운 모서리 또는 꼭짓점	작은 별모양 십이면체	도넛형 다면체
고른 다면체	정다각형을 면으로 가지며 꼭짓점 전이적이다 (즉, 어떤 꼭짓점도 다른 꼭짓점으로 매핑하는 등거리변환이 존재한다)	(정) 사면체와 정육면체	고른 다듬은 정십이면체
각뿔	n각형 밑면과 꼭짓점을 포함하는 다면체	사각뿔
각기둥	n각형 밑면, 첫 번째 밑면을 평행 이동한 두 번째 밑면, 그리고 두 밑면의 대응하는 변을 연결하는 n개의 다른 면 (반드시 모두 평행사변형임)으로 구성된 다면체	육각기둥
엇각기둥	n각형 밑면, 평행 이동 및 회전된 두 번째 밑면으로 구성된 다면체	엇사각기둥
쌍각뿔	축을 중심으로 n각형 중심과 두 개의 정점을 포함하는 다면체	삼각쌍뿔
사다리꼴 다면체	축을 중심으로 2n개의 연꼴 면을 가지며, 절반 오프셋을 가진 다면체	사각 사다리꼴 다면체
원뿔	평평한 밑면 (자주 원형이지만 반드시 그런 것은 아님)에서 꼭짓점 또는 정점이라고 불리는 한 점으로 부드럽게 가늘어지는 도형	직원뿔과 빗원뿔
원기둥	평행한 직선 측면과 원형 또는 타원형 단면을 가진 도형	고체 타원 원기둥	직원기둥과 빗원기둥
타원면	방향 스케일링 또는 더 일반적으로 아핀 변환을 통해 구를 변형하여 얻을 수 있는 표면	타원면의 예	${x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over b^{2}}+{z^{2} \over c^{2}}=1:$ 구 (위, a=b=c=4), 회전타원면 (왼쪽 아래, a=b=5, c=3), 삼축 타원면 (오른쪽 아래, a=4.5, b=6, c=3)]]
레몬	렌즈 (또는 원호의 절반 미만)를 렌즈 (또는 호)의 끝점을 통과하는 축을 중심으로 회전시킨 것^[6]
쌍곡면	쌍곡선을 주축 중 하나를 중심으로 회전시켜 생성되는 곡면

기법

입체기하학에서는 다양한 기법과 도구가 사용된다. 그 중에서도 해석기하학과 기하 벡터 기법은 연립 일차 방정식과 행렬 대수를 체계적으로 사용할 수 있게 하여 고차원에서 중요한 역할을 한다.

응용

입체기하학 및 입체 측정학의 주요 응용 분야는 3차원 컴퓨터 그래픽스이다.

같이 보기

내용주

↑ The Britannica Guide to Geometry, Britannica Educational Publishing, 2010, pp. 67–68.
↑ Kiselev 2008.
↑ Paraphrased and taken in part from the 1911 Encyclopædia Britannica.
↑ Robertson, Stewart Alexander (1984). 《Polytopes and Symmetry》. Cambridge University Press. 75쪽. ISBN 9780521277396.
↑ Dupuis, Nathan Fellowes (1893). 《Elements of Synthetic Solid Geometry》. Macmillan. 53쪽. 2018년 12월 1일에 확인함.
↑ Weisstein, Eric W. “Lemon”. 《Wolfram 매스월드》. 2019년 11월 4일에 확인함.

각주

로버트 볼드윈 헤이워드 (1890) The Elements of Solid Geometry via 인터넷 아카이브
Kiselev, A. P. (2008). 《Geometry》. 번역 Givental, Alexander. Book II. Stereometry. Sumizdat.

[1] The Britannica Guide to Geometry, Britannica Educational Publishing, 2010, pp. 67–68.

[2] Kiselev 2008.

[3] Paraphrased and taken in part from the 1911 Encyclopædia Britannica.

[4] Robertson, Stewart Alexander (1984). 《Polytopes and Symmetry》. Cambridge University Press. 75쪽. ISBN 9780521277396.

[5] Dupuis, Nathan Fellowes (1893). 《Elements of Synthetic Solid Geometry》. Macmillan. 53쪽. 2018년 12월 1일에 확인함.

[mathworld-6] Weisstein, Eric W. “Lemon”. 《Wolfram 매스월드》. 2019년 11월 4일에 확인함.

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