입방배적문제

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입방배적문제(立方倍積問題,Doubling the cube)는 역사적으로 델리안 문제(Delian problem) 또는 델로스 문제라고도 불린다.

단위 큐브(길이 )의 입방배적 (길이 )

원적문제,각의 3등분 문제와 함께 고대 그리스 시절부터 제기되어 온 기하학3대 문제중 하나로서, 피에르 방첼은 1837년에 2개의 입방체가 구성 가능하지 않다는 것을 증명했다. 즉 컴퍼스와 자만으로 작도가 불가능한 문제임이 증명되었다.

역사[편집]

이 문제는 델로스 시민들에 관한 이야기에서 이름이 유래했다. 델로스(Delos) 시민은 델포이의 오라클과 상의하여 아폴로가 보낸 전염병을 물리칠 방법을 원했다.[1] 플루타르코스에 따르면 델로스 시민들은 시민들간의 관계를 강화시킨 내부 정치 문제 즉 전염병퇴치에 대한 해결책을 델포이의 오라클과 협의하여 모색했다. 오라클은 아폴론의 제단 크기를 그보다 더 큰 두 배의 크기로 늘려서 만들어야한다고 대답했다.[2] 그 대답은 델로스 섬 주민인 델리안들에게 이해하기 어려운 문제로 보였고 그들은 오라클이 제시한 큐브(정사각형)의 부피를 두 배로 늘리는 수학적 문제를 해석 할 수있는 플라톤과 상의했다. 델로스 시민들은 플라톤이 오라클이 조언한 아폴로 제단의 크기를 두배로 늘리는것이 가능한지에대한 그들의 궁금증을 진정시키기 위한 기하학과 수학에 대한 연구와 설명을 기대했다. [3]

플루타르코스(Plutarch)에 따르면, 플라톤(Plato)는 기계적인 수단을 사용하여 문제를 해결하려는 에우독소스(Eudoxus)와 아르키타스(Archytas)와 메나이크모스(Menaechmus)에게 순수한 기하학을 사용하여 문제를 해결하지 못한 것에 대한 책망을 했다고 전해진다.[4] 이것은 플라톤의 대화록에 나오는 시시포스에서 저자에 의해 350년경에 이 문제가 풀려졌는지에대해 언급되지 않은 이유일 수 있다.[5] 또 한편으로는 유토시우스(Eutocius of Ascalon)에 의한 에라토스테네스(Eratosthenes)에 기인한 이야기의 또 다른 버전은 모든 세 가지 해결책을 찾았지만 너무 추상적이어서 실용적인 가치가 없었다고 전해진다. [6]

이 문제에 대한 해결책을 찾는 데있어 중요한 발전은 키오스 히포크라테스가 발견한 것으로 임의의 선분(세그먼트)에 대해 길이가 두 배인 선 세그먼트와 그 두 세그먼트 사이의 평균 비례를 찾는 것과 같다.[7] 현대 표기법에서 이것은 길이의 주어진 세그먼트가 입방체를 복제했을때, 길이 의 세그먼트를 찾는 것과 동일하다는 것을 의미한다.

차례로 이것은,

그러나 피에르 방첼은 이러한 입방배적이 컴퍼스와 자만으로 작도가 불가능한 문제로 가능하지 않다는 것을 증명했다.

계산[편집]

이것은 3차 방정식을 의미하는 문제로 바라볼 수 있다.

가로,세로,높이의 길이가 인 부피를 갖는 정사각형의 큐브를 예약해보고,

그 큐브 부피의 2배가 더 큰 정사각형 큐브를 가정해보면,

따라서, 일때,

이다.

함께보기[편집]

참고[편집]

  1. L. Zhmud The origin of the history of science in classical antiquity, p.84, quoting Plutarch and Theon of Smyrna
  2. Plutarch, De E apud Delphos 386.E.4
  3. Plutarch, De genio Socratis 579.B
  4. Plut., Quaestiones convivales VIII.ii , 718ef
  5. Carl Werner Müller, Die Kurzdialoge der Appendix Platonica, Munich: Wilhelm Fink, 1975, pp. 105-106,pseudo-Platonic Sisyphus (388e)
  6. Knorr, Wilbur Richard (1986), 《The Ancient Tradition of Geometric Problems》, Dover Books on Mathematics, Courier Dover Publications, 4쪽, ISBN 9780486675329 
  7. T.L. Heath A history of Greek mathematics, Vol.1