읽고 말하기 수열

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읽고 말하기 수열은 다음과 같이 시작하는 수열이다. 대한민국에서는 소설 개미에서 소개되면서 유명해졌기 때문에, 개미 수열이란 이름으로 잘 알려져 있다.

1, 11, 21, 1211, 111221, 312211, 13112221, 1113213211, ... (OEIS의 수열 A005150)

이 수열은 앞의 수를 연속된 같은 수의 개수로 묶어서 읽는 방식으로 만들어진다.

  • 1을 "1개의 1"로 읽는다: 11
  • 11을 "2개의 1"로 읽는다: 21
  • 21을 "1개의 2와, 1개의 1"로 읽는다: 1211
  • 1211을 "1개의 1과, 1개의 2와, 2개의 1"로 읽는다: 111221
  • 111221을 "3개의 1과, 2개의 2와, 1개의 1"로 읽는다: 312211
  • 312211을 "1개의 3과, 1개의 1과, 2개의 2와, 2개의 1"로 읽는다: 13112221

반복 길이 부호화 알고리즘에서 이와 비슷한 원리를 이용한다.

성질[편집]

  • 수열은 무한히 길어진다. 초기값을 1이 아닌 다른 정수로 시작해서 똑같은 알고리즘을 적용하여 만들어도 마찬가지로 무한하게 길어진다. 단 한가지 예외는 22로 시작한 수열이다. 이 수열은 22, 22, 22, ...로 길이가 더이상 늘어나지 않는다.
  • 수열에서 1, 2, 3이 아닌 수는 등장하지 않는다. 이 성질은 초기값 자체이 그 외의 숫자가 들어가거나, 초기값에 연속으로 3개를 초과하는 똑같은 숫자가 들어가지 않는 이상 유효하다.
  • L_i를 수열의 i번째 수열의 길이라고 하면,
\lim_{i \to \infty}\frac{L_{i+1}}{L_{i}} = \lambda
여기서 \lambda = 1.303577269\ldots 차수가 71인 대수적 수콘웨이 상수라고 부른다. 존 호턴 콘웨이가 이것을 증명했으며, 초기값이 22가 아닌 수열에 대해 같은 값으로 수렴한다.

콘웨이 상수는 다음 다항식의 유일한 양의 실수해이다.

 x^{71}-x^{69}-2x^{68}-x^{67}+2x^{66}+2x^{65}+x^{64}-x^{63}-x^{62}-x^{61}-x^{60}-x^{59}+
 2x^{58}+5x^{57}+3x^{56}-2x^{55}-10x^{54}-3x^{53}-2x^{52}+6x^{51}+6x^{50}+x^{49}+9x^{48}-3x^{47}-
 7x^{46}-8x^{45}-8x^{44}+10x^{43}+6x^{42}+8x^{41}-5x^{40}-12x^{39}+7x^{38}-7x^{37}+7x^{36}+x^{35}-
 3x^{34}+10x^{33}+x^{32}-6x^{31}-2x^{30}-10x^{29}-3x^{28}+2x^{27}+9x^{26}-3x^{25}+14x^{24}-8x^{23}-
 7x^{21}+9x^{20}+3x^{19}-4x^{18}-10x^{17}-7x^{16}+12x^{15}+7x^{14}+2x^{13}-12x^{12}-4x^{11}-
 2x^{10}+5x^9+x^7-7x^6+7x^5-4x^4+12x^3-6x^2+3x-6=0