# 제곱잉여

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수론에서, 정수 ${\displaystyle n}$에 대한 제곱잉여(-剩餘, 영어: quadratic residue)는 제곱수의 ${\displaystyle n}$에 대한 동치류이다. 즉, ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{2}\mod n\subset \mathbb {Z} /n}$이다.

예를 들어,

${\displaystyle 1^{2}\equiv 1,\ 3^{2}\equiv 2,\ 2^{2}\equiv 4{\pmod {7}}}$

이므로, 1, 2, 4는 7에 대한 제곱잉여이다. 한편, 3, 5, 6은 7에 대한 제곱잉여가 아니다. 일반적으로 홀수인 소수 ${\displaystyle p\,}$에 대하여 ${\displaystyle 1,2,\cdots ,p-1}$ 가운데 제곱잉여인 수와 제곱잉여가 아닌 수는 각각 ${\displaystyle {\frac {p-1}{2}}}$ 개씩 존재한다.

두 홀수 소수 ${\displaystyle p,q}$가 서로에 대해 제곱잉여인지 여부에 대하여, 이차 상호 법칙이라 부르는 대칭적인 관계가 성립한다.

## 제곱잉여표

제곱잉여
x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
x2 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 121 144 169 196 225 256 289 324 361 400 441 484 529 576 625
mod 2 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1
mod 3 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1
mod 4 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1
mod 5 1 4 4 1 0 1 4 4 1 0 1 4 4 1 0 1 4 4 1 0 1 4 4 1 0
mod 6 1 4 3 4 1 0 1 4 3 4 1 0 1 4 3 4 1 0 1 4 3 4 1 0 1
mod 7 1 4 2 2 4 1 0 1 4 2 2 4 1 0 1 4 2 2 4 1 0 1 4 2 2
mod 8 1 4 1 0 1 4 1 0 1 4 1 0 1 4 1 0 1 4 1 0 1 4 1 0 1
mod 9 1 4 0 7 7 0 4 1 0 1 4 0 7 7 0 4 1 0 1 4 0 7 7 0 4
mod 10 1 4 9 6 5 6 9 4 1 0 1 4 9 6 5 6 9 4 1 0 1 4 9 6 5
mod 11 1 4 9 5 3 3 5 9 4 1 0 1 4 9 5 3 3 5 9 4 1 0 1 4 9
mod 12 1 4 9 4 1 0 1 4 9 4 1 0 1 4 9 4 1 0 1 4 9 4 1 0 1
mod 13 1 4 9 3 12 10 10 12 3 9 4 1 0 1 4 9 3 12 10 10 12 3 9 4 1
mod 14 1 4 9 2 11 8 7 8 11 2 9 4 1 0 1 4 9 2 11 8 7 8 11 2 9
mod 15 1 4 9 1 10 6 4 4 6 10 1 9 4 1 0 1 4 9 1 10 6 4 4 6 10
mod 16 1 4 9 0 9 4 1 0 1 4 9 0 9 4 1 0 1 4 9 0 9 4 1 0 1
mod 17 1 4 9 16 8 2 15 13 13 15 2 8 16 9 4 1 0 1 4 9 16 8 2 15 13
mod 18 1 4 9 16 7 0 13 10 9 10 13 0 7 16 9 4 1 0 1 4 9 16 7 0 13
mod 19 1 4 9 16 6 17 11 7 5 5 7 11 17 6 16 9 4 1 0 1 4 9 16 6 17
mod 20 1 4 9 16 5 16 9 4 1 0 1 4 9 16 5 16 9 4 1 0 1 4 9 16 5
mod 21 1 4 9 16 4 15 7 1 18 16 16 18 1 7 15 4 16 9 4 1 0 1 4 9 16
mod 22 1 4 9 16 3 14 5 20 15 12 11 12 15 20 5 14 3 16 9 4 1 0 1 4 9
mod 23 1 4 9 16 2 13 3 18 12 8 6 6 8 12 18 3 13 2 16 9 4 1 0 1 4
mod 24 1 4 9 16 1 12 1 16 9 4 1 0 1 4 9 16 1 12 1 16 9 4 1 0 1
mod 25 1 4 9 16 0 11 24 14 6 0 21 19 19 21 0 6 14 24 11 0 16 9 4 1 0