포논

1차원 격자의 정규 진동 모드. 이를 양자화하면 포논을 얻는다.

포논(phonon), 또는 음향양자(音響量子)는 응집물질물리학에서 결정 격자의 양자화된 진동을 나타내는 준입자이다. 포논은 고체의 열과 전기 전도도 등에 중요한 역할을 하며, 긴 파장의 포논은 음파를 생성한다. 포논은 계의 고전적 정규 모드(normal mode)의 양자로 생각할 수 있다.

역사

포논의 개념은 소련의 물리학자인 이고리 예브게니예비치 탐이 1930년에 도입하였다. "포논"이라는 단어는 소리를 뜻하는 고대 그리스어: φωνή 포네^[*]에서 유래하였고, 소련의 물리학자인 야코프 일리치 프렌켈(Я́ков Ильи́ч Фре́нкель)이 1932년에 고안하였다.

정의

$N$개의 동일한 입자가 1차원에서 일정한 간격을 두고 배치되어 있다고 하자. 편의상 주기적 경계 조건을 부여하자. 그렇다면 그 해밀토니언은 다음과 같다.

$H=\sum _{i=1}^{N}p_{i}^{2}/2m+{\frac {1}{2}}m\omega _{0}^{2}\sum _{i=1}^{N}(x_{i+1}-x_{i})^{2}$.

다음과 같이 위치와 운동량의 푸리에 변환 $Q$, $\Pi$ 연산자를 정의하자.

$Q_{k}={1 \over {\sqrt {N}}}\sum _{l}e^{ikal}x_{l}$

$\Pi _{k}={1 \over {\sqrt {N}}}\sum _{l}e^{-ikal}p_{l}$.

이들은 일반적으로 에르미트 연산자가 아니다.

여기서 $k_{n}$은 포논의 양자화된 파수이다. 주기적 경계 조건에 따라 파수는 다음과 같이 양자화된다.

$k_{n}={\frac {2n\pi }{Na}}$ ($n=0,\pm 1,\pm 2,...,\pm N/2$).

$Q$와 $\Pi$는 다음과 같이 정준 교환자 관계를 만족한다.

$[Q_{k},\Pi _{k'}]=i\hbar \delta _{k,k'}$

$[Q_{k},Q_{k'}]=0$

$[\Pi _{k},\Pi _{k'}]=0$.

여기서 $\delta _{k,k'}$는 크로네커 델타이다.

이 연산자를 이용하여 원래 해밀토니언을 파수 공간에서 다음과 같이 쓸 수 있다.

$H={\frac {1}{2m}}\sum _{k}\left(\Pi _{k}\Pi _{-k}+m^{2}\omega _{k}^{2}Q_{k}Q_{-k}\right)$.

1차원 격자의 분산 관계 $\omega (k)$

여기서

$\omega _{k}=\omega _{0}{\sqrt {2(1-\cos(ka))}}=2\omega _{0}|\sin(ka/2)|$

이다. 이 관계식을 포논의 분산 관계라고 한다.

이제 해밀토니언의 에너지 준위가 다음과 같음을 알 수 있다.

$E=\sum _{k}(1/2+n_{k})\hbar \omega _{k}$ ($n_{k}=0,1,2,\dots$).

따라서 각 파수 $k$에 대하여 에너지가 $\hbar \omega _{k}$의 단위로 양자화되는 것을 알 수 있다. 이 양자를 포논이라고 한다.

여기서는 주기적 경계 조건을 부여한 1차원 격자를 다뤘지만, 더 높은 차원에서도 유사하게 포논의 존재를 유도할 수 있다.

참고 문헌

• Mahan, GD (1981). 《Many Particle Physics》. New York: Springer. ISBN 0306463385.