으뜸 아이디얼

가환대수학에서 으뜸 아이디얼(영어: primary ideal)은 소 아이디얼의 개념의 일반화이다. 이를 통해 으뜸 분해(영어: primary decomposition)라는, 소인수 분해의 일반화를 정의할 수 있다.

정의

으뜸 부분 가군

환 $R$의 왼쪽 가군 $_{R}M$이 다음 성질을 만족시킨다면, $_{R}M$을 여으뜸 왼쪽 가군(餘-加群, 영어: coprimary left module)이라고 한다.^{:185, §3}

• 임의의 $r\in R$ 및 $m\in M\setminus \{0\}$에 대하여, 만약 $rRm=\{0\}$이라면, $r\in {\sqrt {\operatorname {Ann} (_{R}M)}}$이다.

여기서 $\operatorname {Ann}$은 소멸자이며, ${\sqrt {}}$은 소근기(즉, 이를 포함하는 모든 소 아이디얼들의 교집합)이다. 만약 $R$가 가환환이라면, 이는 다음 조건과 동치이다.

모든 $r\in R$ 및 $m\in M$에 대하여, 만약 $rm=0$이라면, $m=0$이거나 아니면 충분히 큰 $n\in \mathbb {Z} ^{+}$에 대하여 $r^{n}M=\{0\}$이다.

$R$의 왼쪽 가군 $_{R}M$의 으뜸 부분 가군(영어: primary submodule) $N\subseteq M$은 $M/N$이 공으뜸 왼쪽 가군인 부분 가군이다. 오른쪽 가군에 대해서도 마찬가지로 정의할 수 있다.

$_{R}R$의 으뜸 부분 가군을 으뜸 왼쪽 아이디얼(영어: primary left ideal)이라고 한다.

삼종 아이디얼

환 $R$의 왼쪽 가군 $_{R}M$이 주어졌을 때, $\operatorname {ter} _{R}M\subseteq R$을 다음과 같이 정의하자.^{:185, §3:22-02, Définition 1.1}

$\operatorname {ter} _{R}M=\{r\in R\colon \forall m\in M\setminus \{0\}\exists s\in R\colon rRsm=\{0\},\;sm\neq 0\}$

환 $R$ 위의 왼쪽 가군 $_{R}M$이 다음 조건을 만족시킨다면, 이를 여삼종 가군(餘三種加群, 영어: cotertiary module)이라고 한다.^{:185, §3:22-02, Définition 2.1}

• 임의의 $r\in R$ 및 $m\in M\setminus \{0\}$에 대하여, 만약 $rRm=\{0\}$이라면, $r\in \operatorname {ter} _{R}M$이다.

소 아이디얼 ${\mathfrak {p}}$이 주어졌을 때, $\operatorname {Ass} (_{R}M)=\{{\mathfrak {p}}\}$인 왼쪽 가군 $_{R}M$을 ${\mathfrak {p}}$-여삼종 가군(영어: ${\mathfrak {p}}$-cotertiary module)이라고 한다.

왼쪽 뇌터 환 $R$위의 왼쪽 가군 $_{R}M$에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.^{:186:Théorème 2:161, §VII.1}

• 여삼종 가군이다.
• 정확히 1개의 연관 소 아이디얼을 갖는다.

환 $M$의 가군 $M$의 부분 가군 $N$에 대하여, 만약 몫가군 $M/N$이 여삼종 가군이라면, $N$을 삼종 부분 가군(영어: tertiary submodule)이라고 한다.

환 $R$ 위의 왼쪽 가군 $_{R}M$에 대하여 항상

${\sqrt {\operatorname {Ann} _{R}M}}\subseteq \operatorname {ter} _{R}M$

이며, 따라서 모든 으뜸 부분 가군은 삼종 부분 가군이다. 만약 $R$가 가환환이라면

${\sqrt {\operatorname {Ann} _{R}M}}=\operatorname {ter} _{R}M$

이며, 따라서 가환환의 경우 으뜸 부분 가군의 개념은 삼종 부분 가군의 개념과 동치이다.

가환환의 경우

가환환 $R$의 아이디얼 ${\mathfrak {q}}$에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 아이디얼을 $R$의 으뜸 아이디얼이라고 한다.

• $R$의 으뜸 부분 가군이다.
• $R$의 삼종 부분 가군이다.
• 임의의 $r,s\in R$에 대하여, 만약 $rs\in {\mathfrak {q}}$라면 $r\in {\mathfrak {q}}$이거나, $s^{n}\in {\mathfrak {q}}$인 양의 정수 $n\in \mathbb {Z} ^{+}$이 존재한다.
• 임의의 $r,s\in R$에 대하여, 만약 $rs\in {\mathfrak {q}}$라면 $r\in {\mathfrak {q}}$이거나, $s\in {\mathfrak {q}}$이거나, 아니면 $r,s\in {\sqrt {\mathfrak {q}}}$이다. 여기서 ${\sqrt {}}$는 소근기이다.
• $R/{\mathfrak {q}}$의 모든 영인자는 멱영원이다.

성질

가환환의 경우 다음과 같은 포함 관계가 성립한다.

아이디얼 ⊇ 반소 아이디얼 ∪ 으뜸 아이디얼 ⊇ 반소 아이디얼 ∩ 으뜸 아이디얼 = 소 아이디얼 ⊇ 극대 아이디얼

특히, 소 아이디얼은 으뜸 아이디얼이다. 가환환 $R$의 전체 아이디얼 $(1)=R$ 역시 으뜸 아이디얼이다.

으뜸 아이디얼의 소근기는 항상 소 아이디얼이다. 으뜸 아이디얼 ${\mathfrak {q}}$의 소근기가 소 아이디얼 ${\mathfrak {p}}$이면, ${\mathfrak {q}}$를 ${\mathfrak {p}}$-으뜸 아이디얼(영어: ${\mathfrak {p}}$-primary ideal)이라고 한다. 반대로, 소근기가 극대 아이디얼인 아이디얼은 으뜸 아이디얼이다. (그러나 으뜸 아이디얼이 아니지만 소근기가 소 아이디얼인 아이디얼이 존재한다.)

공으뜸 가군

뇌터 가환환 위의, 영가군이 아닌 유한 생성 가군 $M$에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• 공으뜸 가군이다.
• 정확히 1개의 연관 소 아이디얼을 갖는다.

으뜸 분해

왼쪽 뇌터 환 위의 유한 생성 왼쪽 가군은 유일한 삼종 분해를 갖는다. 즉, 왼쪽 뇌터 환 $R$ 위의 유한 생성 왼쪽 가군 $_{R}M$의 부분 가군 $_{R}N$에 대하여, 다음 조건들을 모두 만족시키는 유한 개의 서로 다른 삼종 부분 가군 $N_{1},\dots ,N_{k}\subseteq M$ 및 소 아이디얼 $\{{\mathfrak {p}}_{i}\}=\operatorname {Ass} (_{R}M/N_{i})$들이 존재한다.^{:186:162, Proposition VII.1.13}

• $N=N_{1}\cap N_{2}\cap \cdots \cap N_{k}$
• 임의의 $i=1,\dots ,k$에 대하여, $N\neq N_{1}\cap N_{2}\cap N_{i-1}\cap N_{i+1}\cap \cdots \cap N_{k}$
• $\operatorname {Ass} (_{R}N)$은 유한 집합이며, 그 크기는 $k$이며, 또한 $\operatorname {Ass} _{k}(N_{i})=\{{\mathfrak {p}}_{1},\dots ,{\mathfrak {p}}_{k}\}$이다.
• 임의의 $1\leq i,j\leq k$에 대하여, $i\neq j$라면 ${\mathfrak {p}}_{i}\neq {\mathfrak {p}}_{j}$이며 $N_{i}\neq N_{j}$이다.

이를 $N$의 삼종 분해(영어: tertiary decomposition)라고 한다. 또한, 삼종 분해는 다음과 같은 의미에서 유일하다.^{:186:162, Proposition VII.1.13}

• $N$의 두 삼종 분해 $\{(N_{i},{\mathfrak {p}}_{i})\}_{1\leq i\leq k}$, $\{(N_{j}',{\mathfrak {p}}_{j}')\}_{1\leq j\leq k'}$가 주어졌을 때, $k=k'$이며, ${\mathfrak {p}}_{i}={\mathfrak {p}}'_{\sigma (i)}$가 되는 순열 $\sigma \in \operatorname {Sym} \{1,\dots ,k\}$이 존재한다. (그러나 $N_{i}=N'_{\sigma (i)}$일 필요는 없다.)

만약 $R$가 뇌터 가환환일 경우, 삼중 부분 가군의 개념은 으뜸 부분 가군의 개념과 일치하며, 이 경우를 으뜸 분해라고 한다. 뇌터 가환환 위의 유한 생성 가군이 으뜸 분해를 갖는다는 사실은 라스커-뇌터 정리(영어: Lasker–Noether theorem)라고 한다.

구체적으로, 뇌터 가환환 $R$의 아이디얼 ${\mathfrak {a}}$의 으뜸 분해는 다음과 같은 알고리즘으로 찾을 수 있다.

1. 만약 ${\mathfrak {a}}$가 으뜸 아이디얼이라면, $\{{\mathfrak {a}}\}$는 으뜸 분해를 이룬다. 아니라면, $rs\in {\mathfrak {a}}$인 $r,s\in R\setminus {\sqrt {\mathfrak {a}}}$를 찾을 수 있다.
2. ${\mathfrak {a}}:r^{\infty }={\mathfrak {a}}:r^{n}$이 되는 충분히 큰 자연수 $n\in \mathbb {N}$을 찾는다.
3. 그렇다면, ${\mathfrak {a}}=({\mathfrak {a}}+r^{n}R)\cap ({\mathfrak {a}}:r^{n})$이므로, ${\mathfrak {a}}+r^{n}R$ 및 ${\mathfrak {a}}:r^{n}$의 으뜸 분해를 찾으면 ${\mathfrak {a}}$의 으뜸 분해를 찾을 수 있다. (${\mathfrak {a}}+r^{n}R$와 ${\mathfrak {a}}:r^{n}$는 ${\mathfrak {a}}$보다 더 큰 아이디얼이므로, 뇌터 환 조건에 의하여 무한 반복이 일어나지 않는다.)

여기서

${\mathfrak {a}}:r^{\infty }=\bigcup _{n=0}^{\infty }({\mathfrak {a}}:r^{n})$

${\mathfrak {a}}:r^{n}=\{s\in R\colon sr^{n}\in {\mathfrak {a}}\}$

이다.

예

정수환 $\mathbb {Z}$은 주 아이디얼 정역이므로, 모든 아이디얼이 주 아이디얼이다. 정수환에서 소 아이디얼은 소수 $p$로 생성되는 주 아이디얼 $(p)$이며, 으뜸 아이디얼은 소수의 거듭제곱 $p^{n}$ ($n\in \mathbb {Z} ^{+}$)으로 생성되는 주 아이디얼 $(p^{n})$이다.

소근기가 소 아이디얼인 비(非)으뜸 아이디얼

대수적으로 닫힌 체 $K$에 대하여, $K[x,y,z]/(xy-z^{2})$를 생각하자. 이 경우,

${\mathfrak {p}}=(x,z)$

라고 하자. 이는 소 아이디얼이다. 즉, ${\mathfrak {p}}^{2}=(x^{2},z^{2},xz)$의 소근기 ${\sqrt {{\mathfrak {p}}^{2}}}={\mathfrak {p}}$는 소 아이디얼이다. 그러나 ${\mathfrak {p}}^{2}$는 으뜸 아이디얼이 아니다.

$xy=z^{2}\in {\mathfrak {p}}^{2}$

이지만,

$x\not \in {\mathfrak {p}}^{2}$

$y^{n}\not \in {\mathfrak {p}}^{2}\forall n\in \mathbb {Z} ^{+}$

이기 때문이다. ${\mathfrak {p}}^{2}$의 으뜸 분해는

${\mathfrak {p}}^{2}=(x)\cap (x^{2},xz,y)$

이다.

역사

소인수 분해를 정수환에서 보다 일반적인 환으로 일반화하는 것은 환론의 오래된 문제이다. 일부 대수적 수체의 대수적 정수환이 유일 인수 분해 정역이 아니지만 (즉, 환의 원소가 기약원으로의 유일 인수 분해를 갖지 않을 수 있지만), 데데킨트 정역이라는 것(즉, 아이디얼이 소 아이디얼로의 유일한 분해를 갖는 것)이 밝혀지면서 환의 원소의 분해 대신 아이디얼의 분해가 대두되었다. 그러나 데데킨트 정역이 아닌 환들의 경우, 소 아이디얼로의 분해 역시 실패한다.

이를 해결하기 위하여, 에마누엘 라스커가 라스커-뇌터 정리를 다항식환에 대하여 증명하였고, 그 뒤 에미 뇌터가 라스커-뇌터 정리를 일반적 뇌터 가환환에 대하여 증명하였다.^{:44, §5, Satz IX} 이에 따라 임의의 뇌터 가환환에 대하여 소인수 분해가 일반화되었다.

비가환환의 경우, 레옹스 르시외르(프랑스어: Léonce Lesieur)와 로베르 크루아조(프랑스어: Robert Croisot)가 삼종 아이디얼의 개념을 도입하여, 왼쪽 뇌터 환의 경우 삼종 분해가 성립함을 보였다.

참고 문헌

• Fisher, Joe W. (1969). “Decomposition theories for modules”. 《Transactions of the American Mathematical Society》 (영어) 145: 241–269. doi:10.1090/S0002-9947-1969-0252436-7. ISSN 0002-9947. MR 0252436. 

외부 링크

• “Primary ideal”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Lasker ring”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Primary decomposition”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Additive theory of ideals”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Tertiary ideal”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Primary ideal”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• “Primary ideal”. 《Commalg》 (영어). 
• “Primary ring”. 《Commalg》 (영어). 
• “Primary decomposition theorem for ideals”. 《Commalg》 (영어). 
• “Primary decomposition of an ideal”. 《Commalg》 (영어). 
• Swanson, Irena. “Primary decompositions” (PDF) (영어). 2020년 9월 23일에 원본 문서 (PDF)에서 보존된 문서. 2016년 5월 14일에 확인함.