유계형 집합

수학에서 유계형 집합(有界型集合, 영어: bornological set)은 유계 부분 집합들의 집합족이 명시된 집합이다.

정의

집합 $X$ 위의 유계형(有界型, 영어: bornology)은 다음 두 조건을 만족시키는 집합족 ${\mathcal {B}}\subseteq {\mathcal {P}}(X)$이다.

• 덮개이다. 즉, $\textstyle \bigcup {\mathcal {B}}=X$이다.
• 순서 아이디얼이다. 즉, 다음 세 조건이 성립한다.
  • $\varnothing \in {\mathcal {B}}$
  • (하집합성) 임의의 $B\in {\mathcal {B}}$ 및 $S\subseteq X$에 대하여, $S\cap B\in {\mathcal {B}}$
  • (상향성) 임의의 $B,B'\in {\mathcal {B}}$에 대하여, $B\cup B'\in {\mathcal {B}}$

${\mathcal {B}}$의 원소를 유계 집합이라고 한다.

유계형을 갖춘 집합 $(X,{\mathcal {B}})$를 유계형 집합이라고 한다.

같은 집합 $X$ 위의 두 유계형 ${\mathcal {B}}$, ${\mathcal {B}}'$에 대하여, 만약 ${\mathcal {B}}\subseteq {\mathcal {B}}'$이라면, ${\mathcal {B}}$가 더 엉성하다(영어: coarser)고 하며, 반대로 ${\mathcal {B}}'$이 더 섬세하다(영어: finer)고 한다.

두 유계형 집합 $(X,{\mathcal {B}}_{X})$, $(Y,{\mathcal {B}}_{Y})$ 사이의 함수 $f\colon X\to Y$가 다음 조건을 만족시킨다면, 유계형 함수(영어: bounded map)라고 한다.

• 유계 집합의 상은 유계 집합이다. 즉, 임의의 $B_{X}\in {\mathcal {B}}_{X}$에 대하여, $f(B_{X})\in {\mathcal {B}}_{Y}$이다.

성질

임의의 유계형 집합 $(X,{\mathcal {B}})$에서, $X$의 유한 부분 집합은 항상 유계 집합이다.

유계형 집합과 유계형 함수들의 범주는 준토포스이다.^{:256, Example III.10(b)}

예

집합

집합 $X$ 및 무한 기수 $\kappa$가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 크기가 $\kappa$ 미만인 부분 집합들의 족

${\mathcal {P}}_{<\kappa }(X)=\{S\subseteq X\colon |S|<\kappa \}$

은 유계형 집합을 이룬다.

특수한 경우로 다음이 있다.

• $\kappa =\aleph _{0}$인 경우, ${\mathcal {P}}_{<\aleph _{0}}(X)$-유계 집합은 유한 부분 집합이다. 이는 $X$ 위의 가장 엉성한 유계형이다.
• $\kappa >|S|$인 경우, 모든 부분 집합이 ${\mathcal {P}}_{<\kappa }(X)$-유계 집합이다. 이는 $X$ 위의 가장 섬세한 유계형이다.

특히, 만약 $X$가 유한 집합일 경우 ${\mathcal {B}}_{<\kappa }={\mathcal {P}}(X)$들은 $\kappa$에 관계없이 모두 일치하며, 이는 $X$ 위의 유일한 유계형이다.

위상 공간

T₁ 공간 $X$에서, 폐포가 콤팩트 집합인 부분 집합들의 족은 유계형을 이룬다.

거리 공간

거리 공간 $(X,d)$에서, 다음과 같은 집합족은 유계형을 이룬다.

${\mathcal {B}}=\{S\subseteq X\colon \operatorname {diam} _{d}S<\infty \}$

여기서

$\operatorname {diam} S=\sup _{s,t\in S}d(s,t)$

는 $S$의 지름이다.

위상 벡터 공간

위상체 $K$ 위의 위상 벡터 공간 $V$ 위의 폰 노이만 유계형(영어: von Neumann bornology)은 다음과 같다.

$B\in {\mathcal {B}}\iff \forall U\in {\mathcal {N}}_{0}\exists r\in K^{\times }\colon B\subseteq rU$

여기서

• ${\mathcal {N}}_{0}$는 영벡터의 근방 필터이다.
• $K^{\times }=K\setminus \{0\}$는 $K$의 가역원군이다.

두 위상 벡터 공간 $V$, $W$ 사이의 연속 선형 변환 $T\colon V\to W$은 폰 노이만 유계 함수이다.

증명:

$T$가 연속 함수라고 하자. 임의의 폰 노이만 유계 집합 $B\subseteq V$가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 임의의 열린 근방 $U\ni 0_{W}$에 대하여, $T^{-1}(U)\ni 0_{V}$는 $0_{V}$의 열린 근방이다. $B$가 폰 노이만 유계 집합이므로, $B\subseteq rT^{-1}(U)$인 $r\in K^{\times }$가 존재한다. 따라서 $T(B)\subseteq rU$이며, 따라서 $T(B)$ 역시 폰 노이만 유계 집합이다.

그러나 일반적으로 폰 노이만 유계 선형 변환이 연속 함수일 필요는 없다. 다만, 만약 $V$가 거리화 가능 국소 볼록 배럴 공간이며 $W$가 국소 볼록 공간인 경우, 선형 변환 $V\to W$에 대하여 연속 함수인 것은 유계인 것과 동치이다.

순서 집합

$(X,\lesssim )$가 상향 원순서 집합이라고 하자. 그렇다면, 상계를 갖는 부분 집합들의 족

${\mathcal {B}}_{\text{ub}}(X)=\{S\subseteq X\colon \exists a\in X\forall s\in S\colon a\gtrsim s\}$

은 유계형을 이룬다. 마찬가지로, $(X,\lesssim )$가 하향 원순서 집합이라면, 하계를 갖는 부분 집합들의 족

${\mathcal {B}}_{\text{lb}}(X)=\{S\subseteq X\colon \exists a\in X\forall s\in S\colon a\lesssim s\}$

은 유계형을 이룬다. 만약 $(X,\lesssim )$가 상향 원순서 집합이자 하향 원순서 집합이라면 (예를 들어, $X$가 공집합이 아닌 전순서 집합이라면), 상계와 하계를 둘 다 갖는 부분 집합들의 족

${\mathcal {B}}_{\text{b}}={\mathcal {B}}_{\text{ub}}\cap {\mathcal {B}}_{\text{lb}}$

역시 유계형을 이룬다.

측도 공간

측도 공간 $(X,\Sigma ,\mu )$에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• $\mu$는 완비 측도이며, 모든 한원소 집합은 가측 집합이자 그 측도가 0이다.
• 측도가 0인 가측 집합들의 족 $\{S\in \Sigma \colon \mu (S)=0\}$은 유계형을 이룬다.

역사

유계형 집합의 개념은 조지 매키(영어: George Mackey)가 최초로 연구하였다. 이후 니콜라 부르바키가 "유계형"(프랑스어: bornologie 보르놀로지^[*])이라는 용어를 도입하였다. 이는 프랑스어: borné 보르네^[*](유계 집합) + 프랑스어: -ologie 올로지^[*](위상 프랑스어: topologie 토폴로지^[*]의 어미)의 합성어이다.

참고 문헌

• Hogbe-Nlend, Henri (1971). 《Théorie des bornologies et applications》. Lecture Notes in Mathematics (프랑스어) 213. Springer-Verlag. doi:10.1007/BFb0069416. ISBN 978-3-540-05546-4. ISSN 0075-8434. MR 625157. Zbl 0225.46005. 
• Hogbe-Nlend, Henri (1971년 1월 5일). “Les racines historiques de la bornologie moderne”. 《Séminaire Choquet. Initiation à l’analyse》 (프랑스어) 10 (9). MR 625157. Zbl 0225.46005. 

외부 링크

• “Bornological set”. 《nLab》 (영어). 
• “Bornological space”. 《nLab》 (영어). 
• “Bornological topological vector space”. 《nLab》 (영어). 
• “Bornological group”. 《nLab》 (영어).