위그너 함수

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위그너 함수(Wigner函數, Wigner function) 또는 위그너 준확률분포(Wigner 準確率分布, 영어: Wigner quasiprobability distribution)는 양자역학에서 계의 위상 공간 위에 존재하는 함수 또는 준확률분포다. 여기서 "준확률분포"라는 것은 일반 확률분포와 달리 위그너 분포는 음의 값을 가질 수 있기 때문이다.

역사[편집]

1930년에 폴 디랙이 발견하였고, 1931년에 베르너 하이젠베르크가 재발견하였으나, 이들은 이 함수가 무엇을 의미하는지 눈치채지 못하였다. 1932년에 유진 위그너가 이를 재발견하면서 이를 고전적 확률분포에 대응하는 일종의 양자역학적 확률분포로 해석하였다. 이후 장앙드레 비유(프랑스어: Jean-André Ville)가 1948년에 신호처리 이론에서 재발견하였다. 이후 1949년에 호세 모얄(스페인어: José Enrique Moyal)이 재발견하였으며, 위그너 함수만으로 양자역학을 재기술할 수 있음을 보였다.

정의[편집]

위그너 함수 P(x, p)는 다음과 같이 정의한다.

 P(x,p)=\frac{1}{\pi\hbar}\int_{-\infty}^\infty \psi^*(x+y)\psi(x-y)e^{2ipy/\hbar}\,dy\,

여기서 ψ파동함수, x는 위치, p는 운동량이다. (위치와 운동량 대신 다른 정준켤레변수를 써도 된다.) 일반적으로는 밀도 행렬 ρ를 써 다음과 같이 쓸 수 있다.

 P(x,p)=\frac{1}{\pi\hbar}\int_{-\infty}^\infty \langle x-y| \hat{\rho} |x+y \rangle e^{2ipy/\hbar}\,dy.

참고 문헌[편집]