위그너-에카르트 정리

양자역학에서 위그너-에카르트 정리(Wigner–Eckart theorem)는 텐서 연산자의 행렬 원소에 대한 정리다. 유진 위그너와 칼 에카트(영어: Carl Eckart) 가 증명하였다.

전개

3차원 회전군 SO(3)는 (국소적으로) 특수 유니터리 군 SU(2)와 같다. SU(2)의 기약 표현(irreducible representation)은 0, ½, 1, 1½, …… 가 있다. 기약 표현 $\mathbf {k}$는 $2k+1$개의 성분을 가진다. 임의의 텐서 표현 $\mathbf {1} \otimes \dotsb \otimes \mathbf {1}$은 이런 기약 표현의 합으로 나타낼 수 있다. 이 때, 텐서 표현의 기약 분해는 오직 $k$가 정수인 표현 $\mathbf {k}$만을 포함하고, $k$가 반정수인 스피너 표현 (½, 1½ 등)을 포함하지 않는다.

SU(2) 표현 $\mathbf {j}$를 따라 변환하는 값을 $j$차 구면 텐서(spherical tensor)라고 하고, 이러한 표현을 따라 변환하는 연산자를 $j$차 구면 텐서 연산자(spherical tensor operator)라고 한다.

$k$차 구면 연산자 $T_{q}^{(k)}$ ($q=-k,-k+1,\dotsc ,k$)를 생각하자. 이 구면 연산자의 행렬 성분을, 각운동량 고유 기저 $|j,m\rangle$ (즉, $\mathbf {L} ^{2}|j,m\rangle =j(j+1)|j,m\rangle$, $L_{3}|j,m\rangle =m|j,m\rangle$을 만족하는 기저)에서 계산하자. 그렇다면 행렬 성분들은 다음과 같은 꼴을 취한다.

$\langle j,m|T_{q}^{(k)}|j',m'\rangle =T(k,j,j')(\langle j',m'|\otimes \langle k,q|)|j,m\rangle$.

여기서 $T(k,j,j')$는 $k$와 $j$, $j'$에만 의존하는 값이고, $(\langle j',m'|\otimes \langle k,q|)|j,m\rangle$은 클렙슈-고르단 계수다. 이 식을 위그너-에카르트 정리라고 한다.

낮은 차수에서의 위그너-에카르트 정리

흔히 다루는 텐서 연산자는 $k=0$인 스칼라 연산자나 $k=1$인 벡터 연산자다. 스칼라 연산자의 경우에는 위그너-에카르트 정리는 단순히

$\langle j,m|T|j',m'\rangle =T(j,j')\delta _{jj'}\delta _{mm'}$

이다. (여기서 $\delta$는 물론 크로네커 델타다.) 벡터 연산자의 경우에는 위그너-에카르트 정리는 다음과 같다.

$\langle j,m|T_{q}|j',m'\rangle =T(j,j')(\langle j',m'\otimes \langle 1,q|)|j,m\rangle$

이다. 이 클렙슈-고르단 계수는 다음과 같다.

${\begin{aligned}\langle j_{1},m;1,0|j_{1}+1,m\rangle &={\sqrt {\frac {(j_{1}-m+1)(j_{1}+m+1)}{(2j_{1}+1)(j_{1}+1)}}},\\\langle j_{1},m;1,0|j_{1},m\rangle &={\frac {m}{\sqrt {j_{1}(j_{1}+1)}}},\\\langle j_{1},m;1,0|j_{1}-1,m\rangle &=-{\sqrt {\frac {(j_{1}-m)(j_{1}+m)}{j_{1}(2j_{1}+1)}}}.\end{aligned}}$

(나머지 계수는 모두 0이다.)

구면 1-텐서로서의 성분 $T_{q}$는 벡터로서의 성분 $T_{i}$ ($i=x,y,z$)으로부터 다음과 같이 얻을 수 있다.

$T_{\pm }={\frac {1}{\sqrt {2}}}(\mp T_{x}+iT_{y})$

$T_{0}=T_{z}$.

참고 문헌

• Meunier, J.-L. (1987). “A simple demonstration of the Wigner-Eckart theorem”. 《European Journal of Physics》 8 (2): 114. doi:10.1088/0143-0807/8/2/007. 
• Rose, M. E. (1954). “Spherical Tensors in Physics”. 《Proceedings of the Physical Society Section A》 67 (3): 239. doi:10.1088/0370-1298/67/3/307. 
• Jun John Sakurai, Jim J. Napolitano (2011). 《Modern Quantum Mechanics》 (영어). Addison-Wesley. ISBN 0805382917. 

외부 링크

• Baragiola, Ben Quinn. “Notes: Tensor Operators” (PDF). 2013년 4월 20일에 원본 문서 (PDF)에서 보존된 문서. 2012년 9월 13일에 확인함.