위그너-에카르트 정리
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양자역학에서 위그너-에카르트 정리(Wigner–Eckart theorem)는 텐서 연산자의 행렬 원소에 대한 정리다. 유진 위그너와[1] 칼 에카트(영어: Carl Eckart)[2] 가 증명하였다.
전개[편집]
3차원 회전군 SO(3)는 (국소적으로) 특수 유니터리 군 SU(2)와 같다. SU(2)의 기약 표현(irreducible representation)은 0, ½, 1, 1½, …… 가 있다. 기약 표현 는 개의 성분을 가진다. 임의의 텐서 표현 은 이런 기약 표현의 합으로 나타낼 수 있다. 이 때, 텐서 표현의 기약 분해는 오직 가 정수인 표현 만을 포함하고, 가 반정수인 스피너 표현 (½, 1½ 등)을 포함하지 않는다.
SU(2) 표현 를 따라 변환하는 값을 차 구면 텐서(spherical tensor)라고 하고, 이러한 표현을 따라 변환하는 연산자를 차 구면 텐서 연산자(spherical tensor operator)라고 한다.
차 구면 연산자 ()를 생각하자. 이 구면 연산자의 행렬 성분을, 각운동량 고유 기저 (즉, , 을 만족하는 기저)에서 계산하자. 그렇다면 행렬 성분들은 다음과 같은 꼴을 취한다.
- .
여기서 는 와 , 에만 의존하는 값이고, 은 클렙슈-고르단 계수다. 이 식을 위그너-에카르트 정리라고 한다.
낮은 차수에서의 위그너-에카르트 정리[편집]
흔히 다루는 텐서 연산자는 인 스칼라 연산자나 인 벡터 연산자다. 스칼라 연산자의 경우에는 위그너-에카르트 정리는 단순히
이다. (여기서 는 물론 크로네커 델타다.) 벡터 연산자의 경우에는 위그너-에카르트 정리는 다음과 같다.
이다. 이 클렙슈-고르단 계수는 다음과 같다.
(나머지 계수는 모두 0이다.)
구면 1-텐서로서의 성분 는 벡터로서의 성분 ()으로부터 다음과 같이 얻을 수 있다.
- .
참고 문헌[편집]
- ↑ Wigner, Eugene P. (1931). 《Gruppentheorie und ihre Anwendung auf die Quanten-mechanik der Atomspektren》. Braunschweig: F. Vieweg und Sohn.
- ↑ Eckart, Carl (1930). “The Application of Group theory to the Quantum Dynamics of Monatomic Systems”. 《Reviews of Modern Physics》 2 (3): 305–380. doi:10.1103/RevModPhys.2.305.
- Meunier, J.-L. (1987). “A simple demonstration of the Wigner-Eckart theorem”. 《European Journal of Physics》 8 (2): 114. doi:10.1088/0143-0807/8/2/007.
- Rose, M. E. (1954). “Spherical Tensors in Physics”. 《Proceedings of the Physical Society Section A》 67 (3): 239. doi:10.1088/0370-1298/67/3/307.
- Jun John Sakurai, Jim J. Napolitano (2011). 《Modern Quantum Mechanics》 (영어). Addison-Wesley. ISBN 0805382917.
외부 링크[편집]
- Baragiola, Ben Quinn. “Notes: Tensor Operators” (PDF). 2013년 4월 20일에 원본 문서 (PDF)에서 보존된 문서. 2012년 9월 13일에 확인함.