부정적분

$y'=x^{2}-x-1$의 기울기장에 그려진 함수 $f(x)=x^{2}-x-1$의 세 가지 원함수 $\textstyle F(x)={\frac {x^{3}}{3}}-{\frac {x^{2}}{2}}-x+C$. 적분 상수는 $C=-4,0,4$.

미적분학에서 부정적분(不定積分, 영어: indefinite integral)은 어떤 함수를 도함수로 하는 모든 함수를 구하는 연산이다. 부정적분이 존재할 경우, 이는 항상 고정된 함수와 임의의 상수의 합의 꼴로 나타낼 수 있다. 따라서 상수만큼의 차를 무시하면 부정적분은 미분 또는 도함수를 구하는 연산의 역연산이다.

정의

함수 $f(x)$ ($x\in I$)가 주어졌을 때, 만약 다음 조건을 만족시키는 함수 $F(x)$ ($x\in I$)가 존재한다면, 이를 $f(x)$의 원함수(原函數, 영어: antiderivative) 또는 역도함수(逆導函數)라고 한다.

$F'(x)=f(x)\qquad \forall x\in I$

함수 $f(x)$ ($x\in I$)의 한 원함수 $F(x)$가 존재할 경우, $f(x)$의 모든 원함수는 정확히 다음과 같다.

$\int f(x)\mathrm {d} x=F(x)+C$

이를 $f(x)$의 부정적분이라고 한다. 여기서 $C$는 임의의 상수이며, 이를 적분상수라고 부른다. 부정적분이 항상 위와 같은 꼴임은 다음과 같이 증명할 수 있다. 우선 임의의 상수 $C$에 대하여, $(C)'=0$이므로, $(F(x)+C)'=f(x)$이다. 즉, $F(x)+C$는 $f(x)$의 원함수이다. 또한 임의의 원함수 $G(x)$에 대하여, $(G(x)-F(x))'=0$이므로, 평균값 정리에 따라 $G(x)-F(x)$는 상수 함수이다. 따라서 $G(x)$는 $G(x)=F(x)+C$ 꼴로 나타낼 수 있다.

위와 같은 꼴의 부정적분 공식은 정의역을 이루는 각각의 구간에서만 유효하다. 예를 들어, $f(x)=1/x^{2}$에 대한 다음과 같은 부정적분 공식이 성립하려면 두 구간 $(0,\infty )$ 및 $(-\infty ,0)$ 가운데 하나를 선택하여야 한다.^:398-399

$\int {\frac {1}{x^{2}}}\mathrm {d} x=-{\frac {1}{x}}+C$

전체 정의역 $(-\infty ,0)\cup (0,\infty )$에서의 실제 부정적분은 다음과 같다.^:398-399

$\int {\frac {1}{x^{2}}}\mathrm {d} x={\begin{cases}\displaystyle -{\frac {1}{x}}+C&x>0\\\displaystyle -{\frac {1}{x}}+C'&x<0\end{cases}}$

성질

미분과의 관계

만약 $f(x)$의 부정적분이 존재한다면 다음이 성립한다.

$\left(\int f(x)\mathrm {d} x\right)'=f(x)$

만약 $F(x)$가 미분 가능 함수라면 다음이 성립한다.

$\int F'(x)\mathrm {d} x=F(x)+C$

이에 따라 상수 차를 무시하면 부정적분은 미분의 역연산이다.

미적분학의 기본 정리

 이 부분의 본문은 미적분학의 기본 정리입니다.

연속 함수 $f(x)$의 한 원함수는 적분상한을 변수로 취한 정적분으로 나타낼 수 있다.

$F(x)=\int _{a}^{x}f(x)\mathrm {d} x$

반대로, 연속 함수$f(x)$의 한 원함수 $F(x)$가 주어졌을 때, 정적분은 다음과 같이 나타낼 수 있다.

$\int _{a}^{b}f(x)\mathrm {d} x=F(b)-F(a)$

선형성

함수 $f(x),g(x)$의 부정적분이 존재한다면, $f(x)\pm g(x)$의 부정적분 역시 존재하며, 다음이 성립한다.

$\int f(x)\pm g(x)\mathrm {d} x=\int f(x)\mathrm {d} x\pm \int g(x)\mathrm {d} x$

함수 $f(x)$의 부정적분이 존재한다면, 상수 $c$에 대하여 $cf(x)$의 부정적분 역시 존재하며, $c\neq 0$일 경우 다음이 성립한다.

$\int cf(x)\mathrm {d} x=c\int f(x)\mathrm {d} x$

이에 따라 부정적분은 선형 연산이다.

치환 적분

 이 부분의 본문은 치환 적분입니다.

만약 $f(x)$의 한 원함수 $F(x)$가 존재하며, $g(t)$가 미분 가능 함수라면, 다음이 성립한다.^{:246, 정리6.2.1}

$\int f(g(t))g'(t)\mathrm {d} t=\int f(x)\mathrm {d} x=F(g(t))+C$

만약 $g(t)$가 미분 가능 함수이며, $g'(t)\neq 0$가 성립하며, $f(g(t))g'(t)$의 한 원함수 $H(t)$가 존재한다면, 다음이 성립한다.^{:252, 정리6.2.2}

$\int f(x)\mathrm {d} x=\int f(g(t))g'(t)\mathrm {d} t=H(g^{-1}(x))+C$

부분 적분

 이 부분의 본문은 부분 적분입니다.

만약 $f(x),g(x)$가 미분 가능 함수이며, $f'(x)g(x)$의 부정적분이 존재한다면, 다음이 성립한다.

$\int f(x)g'(x)\mathrm {d} x=f(x)g(x)-\int f'(x)g(x)\mathrm {d} x$

예

유리 함수

모든 (실수) 유리 함수는 다항식과 진분수식의 합으로 나타낼 수 있으며, 모든 진분수식은 부분 분수 분해를 통해 다음과 같은 꼴의 분수식들의 합으로 나타낼 수 있다.

• ${\frac {A}{(x-a)^{m}}}$
• ${\frac {Bx+C}{(x^{2}+px+q)^{n}}}$

여기서 $A,B,C,a,p,q\in \mathbb {R}$은 실수이며 $m,n\in \mathbb {Z} ^{+}$은 양의 정수이다. 또한 $p^{2}-4q<0$을 만족시킨다. 이 두 가지 분수식의 부정적분은 다음과 같이 구할 수 있다.

$\int {\frac {A}{x-a}}\mathrm {d} x=A\ln(x-a)+C$

$\int {\frac {A}{(x-a)^{m}}}\mathrm {d} x=-{\frac {A}{(m-1)(x-a)^{m-1}}}+C\qquad (m>1)$

$\int {\frac {Bx+C}{x^{2}+px+q}}\mathrm {d} x={\frac {B}{2}}\ln(x^{2}+px+q)+{\frac {2C-Bp}{\sqrt {4q-p^{2}}}}\arctan {\frac {2x+p}{\sqrt {4q-p^{2}}}}+C$

$\int {\frac {Bx+C}{(x^{2}+px+q)^{n}}}\mathrm {d} x=-{\frac {B}{2(n-1)(x^{2}+px+q)^{n-1}}}+(C-Bp/2)\int {\frac {1}{(x^{2}+px+q)^{n}}}\mathrm {d} x\qquad (n>1)$

$\int {\frac {1}{(x^{2}+px+q)^{n}}}\mathrm {d} x={\frac {1}{2(n-1)(q-p^{2}/4)}}\left({\frac {x+p/2}{(x^{2}+px+q)^{n-1}}}+(2n-3)\int {\frac {1}{(x^{2}+px+q)^{n-1}}}\mathrm {d} x\right)\qquad (n>1)$

부분 분수 분해의 각 항이 초등 함수이므로, 모든 유리 함수의 부정적분은 초등 함수이다.

삼각 유리 함수

삼각 유리 함수는 $R(\sin x,\cos x)$ 꼴의 함수를 뜻한다. 여기서 $R(u,v)$는 2변수 유리 함수이다. 이에 대한 부정적분에 다음과 같은 치환 적분을 사용하자.

$\tan {\frac {x}{2}}=t,\;x=2\arctan t,\;\mathrm {d} x={\frac {2}{1+t^{2}}}\mathrm {d} t$

그러면 원래의 부정적분은 유리 함수의 부정적분으로 변한다.

$\int R(\sin x,\cos x)\mathrm {d} x=\int R\left({\frac {2t}{1+t^{2}}},{\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}}\right){\frac {2}{1+t^{2}}}\mathrm {d} t$

만약 $R(-u,v)=-R(u,v)$라면, 이는 항상 $R(u,v)=uR_{1}(u^{2},v)$ 꼴로 나타낼 수 있다. 따라서 이 경우 다음과 같은 더 간편한 기법을 사용할 수 있다.

$\int R(\sin x,\cos x)\mathrm {d} x=\int \sin xR_{1}(\sin ^{2}x,\cos x)\mathrm {d} x=-\int R_{1}(1-t^{2},t)\mathrm {d} t\qquad (\cos x=t)$

마찬가지로, 만약 $R(u,-v)=-R(u,v)$라면, 이는 $R(u,v)=vR_{1}(u,v^{2})$ 꼴이므로, 이 경우 보통 다음과 같은 기법이 더 간편하다.

$\int R(\sin x,\cos x)\mathrm {d} x=\int \cos xR_{1}(\sin x,\cos ^{2}x)\mathrm {d} x=\int R_{1}(t,1-t^{2})\mathrm {d} t\qquad (\sin x=t)$

만약 $R(-u,-v)=R(u,v)$라면, $R(u,v)=R_{1}(u/v,v^{2})$ 꼴이므로, 이 경우 보통 다음과 같은 기법이 더 간편하다.

$\int R(\sin x,\cos x)\mathrm {d} x=\int R_{1}(\tan x,\cos ^{2}x)\mathrm {d} x=\int R_{1}\left(t,{\frac {1}{1+t^{2}}}\right){\frac {1}{1+t^{2}}}\mathrm {d} t\qquad (\tan x=t)$

사실 모든 유리 함수는 위와 같은 세 유리 함수의 합으로 다음과 같이 나타낼 수 있다.

$R(u,v)={\frac {R(u,v)-R(-u,v)}{2}}+{\frac {R(-u,v)-R(-u,-v)}{2}}+{\frac {R(-u,-v)+R(u,v)}{2}}$

무리 함수

무리 함수의 부정적분은 초등 함수가 아닐 수 있다. 그러나 다음과 같은 꼴의 부정적분은 초등함수이다.

$R\left(x,{\sqrt[{n}]{\frac {ax+b}{cx+d}}}\right)$

여기서 $R(u,v)$는 2변수 유리 함수이며, $m\in \mathbb {Z} ^{+}$는 양의 정수이며, $a,b,c,d\in \mathbb {R}$는 실수이다. 또한 $ad-bc\neq 0$을 만족시킨다. 다음과 같은 치환 적분을 사용하자.

${\sqrt[{n}]{\frac {ax+b}{cx+d}}}=t,\;x={\frac {dt^{n}-b}{a-ct^{n}}},\;\mathrm {d} x={\frac {n(ad-bc)t^{n-1}}{(a-ct^{n})^{2}}}\mathrm {d} t$

그러면 원래의 부정적분은 유리 함수의 부정적분으로 변한다.

$\int R\left(x,{\sqrt[{n}]{\frac {ax+b}{cx+d}}}\right)\mathrm {d} x=\int R\left({\frac {dt^{n}-b}{a-ct^{n}}},t\right){\frac {n(ad-bc)t^{n-1}}{(a-ct^{n})^{2}}}\mathrm {d} t$

함수 $(a+bz)^{p}z^{q}$를 생각하자. 여기서 $a,b\in \mathbb {R}$는 실수이며, $p,q\in \mathbb {Q}$는 유리수이다. $p,q,p+q$ 가운데 적어도 하나가 정수일 경우 이 부정적분은 초등 함수가 된다. $p=r/s$이며 $q=r'/s'$라고 하자. 여기서 $r,s,r',s'\in \mathbb {Z}$는 정수이다. 만약 $p\in \mathbb {Z}$일 경우, 함수에 나오는 제곱근식은 ${\sqrt[{s'}]{z}}$뿐이므로, 치환 적분 ${\sqrt[{s'}]{z}}=t$를 통해 구할 수 있다. 만약 $q\in \mathbb {Z}$일 경우, 함수에 나오는 제곱근식은 ${\sqrt[{s}]{a+bz}}$뿐이므로, 역시 치환 적분 ${\sqrt[{s}]{a+bz}}=t$를 통해 구할 수 있다. 만약 $p+q\in \mathbb {Z}$일 경우, 함수를 $((a+bz)/z)^{p}z^{p+q}$와 같이 변형하였을 때 제곱근식은 $\textstyle {\sqrt[{s}]{(a+bz)/z}}$뿐이므로, 치환 적분 $\textstyle {\sqrt[{s}]{(a+bz)/z}}=t$를 통해 구할 수 있다.

보다 일반적으로, 함수 $x^{m}(a+bx^{n})^{p}$를 생각하자. 여기서 $a,b\in \mathbb {R}$는 실수이며, $m,n,p\in \mathbb {Q}$는 유리수이다. 다음과 같은 치환 적분을 사용하자.

$x^{n}=z,\;x=z^{1/n},\;\mathrm {d} x={\frac {1}{n}}z^{1/n-1}\mathrm {d} z$

그러면 위와 같은 꼴의 함수의 부정적분으로 변한다.

$\int x^{m}(a+bx^{n})^{p}\mathrm {d} x={\frac {1}{n}}\int (a+bz)^{p}z^{(m+1)/n-1}\mathrm {d} z$

따라서 $p,q=(m+1)/n-1,p+q$ 가운데 적어도 하나가 정수일 경우 이 부정적분은 초등 함수이다. 반대로 $p,q,p+q$가 정수가 아닐 경우 이 부정적분은 초등 함수로 나타낼 수 없음을 19세기 중엽에 파프누티 체비쇼프가 증명하였다.

초등 함수로 나타낼 수 없는 부정적분

초등 함수의 부정적분은 초등 함수가 아닐 수 있다. 예를 들어, 다음과 같은 부정적분들은 초등 함수가 아니다.

• (오차 함수) $\int e^{-x^{2}}\mathrm {d} x$
• (프레넬 함수) $\int \sin x^{2}\mathrm {d} x$
• (삼각 적분 함수) $\int {\frac {\sin x}{x}}\mathrm {d} x$
• (로그 적분 함수) $\int {\frac {1}{\ln x}}\mathrm {d} x$
• $\int x^{x}\mathrm {d} x$
• $\int {\frac {1}{\sqrt {1-x^{4}}}}\mathrm {d} x$

같이 보기

• 정적분
• 적분표
• 기호적분
• 적분상수