완전 관계

수학에서, 완전 관계(영어: total relation, connex relation)는 모든 두 원소가 비교 가능한 이항 관계이다. 항상 반사 관계이다.

정의

집합 $X$ 위의 이항 관계 $R\subseteq X\times X$가 다음 조건을 만족시키면, 완전 관계라고 한다.

• 임의의 $x,y\in X$에 대하여, $(x,y)\in R$이거나, $(y,x)\in R$이다.

이는

$X\times X=R\cup R^{-1}$

와 동치이다. 여기서

$R^{-1}=\{(y,x)\colon (x,y)\in R\}$

성질

완전 관계의 정의에서 $x=y$를 취하면, $(x,x)\in R$임을 알 수 있다. 따라서, 모든 완전 관계는 반사 관계이다.

예

모든 전순서는 완전 관계이다. 보다 일반적으로, 모든 원전순서는 완전 관계이다.

집합 $\{a,b,c\}$ 위에서, 순환적인 관계

$a\preceq b\preceq c\preceq a$

$a\preceq a$

$b\preceq b$

$c\preceq c$

는 완전 관계이다. 그러나 이는 전순서가 아니다.

외부 링크

• “Total relation”. 《nLab》 (영어).