오일러의 거듭제곱의 합 추측

수학에서 오일러의 거듭제곱의 합 추측(영어: Euler's sum of powers conjecture)은 페르마의 마지막 정리와 관련된 미해결 추측 문제이다. 레온하르트 오일러가 1769년 제안했었다.^[1]^[2] 이는 1보다 큰 모든 정수 $n$ 과 $k$ 에 대해 $n$ 개의 양의 정수의 $k$ 번째 거듭제곱의 합이 그 자체로 $k$ 번째 거듭제곱이면 $n$ 은 $k$ 보다 크거나 같다는 추측이다.

$a_{1}^{k}+a_{2}^{k}+\dots +a_{n}^{k}=b^{k}\implies n\geq k$

이 추측은 페르마의 마지막 정리를 일반화하려는 시도이다. 특별한 경우로 $n = 2$ : if $a_{1}^{k}+a_{2}^{k}=b^{k},$ 라면 $2 \geq k$ 이 페르마의 마지막 정리에 해당한다.

이 추측은 $k = 3$ 인 경우(페르마의 마지막 정리에서 세제곱인 경우)에는 성립하지만, $k = 4$ 와 $k = 5$ 인 경우에는 반증되었다. $k \geq 6$ 인 경우에 이 추측이 실패하는지, 성립하는지는 알려지지 않았다.

일반화

$k = 3$

33 + 4 3 + 5 3 = 6 3

(플라토의 수 216)

$k = 4$

958004 + 217519 4 + 414560 4 = 422481 4

(R. Frye, 1988)^[1]

304 + 120 4 + 272 4 + 315 4 = 353 4

(R. Norrie, 1911)^[2]

$k = 5$

275 + 84 5 + 110 5 + 133 5 = 144 5

(Lander & Parkin, 1966)

195 + 43 5 + 46 5 + 47 5 + 67 5 = 72 5

(Lander, Parkin, Selfridge, smallest, 1967)^[2]

75 + 43 5 + 57 5 + 80 5 + 100 5 = 107 5

(Sastry, 1934, third smallest)^[2]

$k = 7$

1277 + 258 7 + 266 7 + 413 7 + 430 7 + 439 7 + 525 7 = 568 7

(M. Dodrill, 1999)^{[출처 필요]}

$k = 8$

908 + 223 8 + 478 8 + 524 8 + 748 8 + 1088 8 + 1190 8 + 1324 8 = 1409 8

(S. Chase, 2000)^{[출처 필요]}

각주

↑ ^가 ^나 Elkies, Noam (1988). “On A⁴ + B⁴ + C⁴ = D⁴” (PDF). 《Mathematics of Computation》 51 (184): 825–835. doi:10.1090/S0025-5718-1988-0930224-9. JSTOR 2008781. MR 0930224.
↑ ^가 ^나 ^다 ^라 Lander, L. J.; Parkin, T. R.; Selfridge, J. L. (1967). “A Survey of Equal Sums of Like Powers”. 《Mathematics of Computation》 21 (99): 446–459. doi:10.1090/S0025-5718-1967-0222008-0. JSTOR 2003249.

외부 링크

Tito Piezas III, A Collection of Algebraic Identities Archived 2011년 10월 1일 - 웨이백 머신
Jaroslaw Wroblewski, Equal Sums of Like Powers
Ed Pegg Jr., Math Games, Power Sums
James Waldby, A Table of Fifth Powers equal to a Fifth Power (2009)
R. Gerbicz, J.-C. Meyrignac, U. Beckert, All solutions of the Diophantine equation a⁶ + b⁶ = c⁶ + d⁶ + e⁶ + f⁶ + g⁶ for a,b,c,d,e,f,g < 250000 found with a distributed Boinc project
EulerNet: Computing Minimal Equal Sums Of Like Powers
Weisstein, Eric Wolfgang. “Euler's Sum of Powers Conjecture”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
Weisstein, Eric Wolfgang. “Euler Quartic Conjecture”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
Weisstein, Eric Wolfgang. “Diophantine Equation--4th Powers”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
Euler's Conjecture at library.thinkquest.org
A simple explanation of Euler's Conjecture at Maths Is Good For You!

[Elkies1988-1] 가 ^나 Elkies, Noam (1988). “On A⁴ + B⁴ + C⁴ = D⁴” (PDF). 《Mathematics of Computation》 51 (184): 825–835. doi:10.1090/S0025-5718-1988-0930224-9. JSTOR 2008781. MR 0930224.

[autogenerated446-2] 가 ^나 ^다 ^라 Lander, L. J.; Parkin, T. R.; Selfridge, J. L. (1967). “A Survey of Equal Sums of Like Powers”. 《Mathematics of Computation》 21 (99): 446–459. doi:10.1090/S0025-5718-1967-0222008-0. JSTOR 2003249.

[1]

[2]