오일러 방정식

이 문서는 유체 역학의 방정식에 관한 것입니다. 강체의 운동 방정식에 대해서는 오일러 운동 방정식 문서를 참고하십시오.

비압축 유체의 경우의 오일러 방정식에 대해서는 균등 비압축성 오일러 방정식 문서를 참고하십시오.

유체 동역학에서 오일러 방정식(Euler's equations)은 유체의 비점성(invisid) 흐름을 다루는 미분방정식이다. 레온하르트 오일러의 이름을 따라 명명되었다.

나비에-스토크스 방정식에서 점성과 열전도가 없는 특수한 경우에 해당한다. 오일러 방정식은 유체의 질량, 운동량 및 에너지의 보존을 나타낸다.

정의

오일러 보존 방정식은 다음과 같다.

3차원에 대한 질량 보존(연속) 방정식

${\partial \rho \over \partial t}+\nabla \cdot (\rho {\mathbf {u} })=0$

운동량 보존 방정식

${\partial \rho \mathbf {u} \over \partial t}+\nabla \cdot ((\rho \mathbf {u} )\otimes \mathbf {u} )+\nabla p=0$

에너지 보존 방정식

${\partial E \over \partial t}+\nabla \cdot (\mathbf {u} (E+p))=0$

이 외에도 기계일 보존 방정식 등 여러 가지 보존 방정식이 있다.

여기에서,

• $E\equiv \rho e+\rho (u^{2}+v^{2}+w^{2})/2$는 단위 부피 당 총 에너지다. (여기서 $e$는 유체의 단위 질량 당 내부 에너지다.)
• $\mathbf {u}$는 유동 속도이다.
• $p$는 유체의 압력이다.
• $\rho$는 유체의 밀도이다.

두 번째 식에는 이차 텐서의 발산이 포함되어 있는데, 이 식을 아래첨자를 이용하여 쓰면 다음과 같다.

${\partial \rho u_{j} \over \partial t}+{\partial \rho u_{i}u_{j} \over \partial x_{i}}+{\partial p \over \partial x_{j}}=0$

위의 식들은 질량, 운동량 3개 성분 및 에너지의 보존을 나타낸다. 따라서 방정식은 5개이고 미지수는 6개이다. 이 문제를 닫힌 문제로 만들기 위해서는 방정식이 하나 더 필요한데, 이것이 상태 방정식이라고 불리는 식이다.

밀도가 일정하고, 상태 방정식이 충분히 수치해석적으로 안정적이라면 (stiff equation), 오일러 운동량 보존 방정식을 유선을 따라 적분하여 베르누이 방정식을 얻을 수 있다.

또 오일러 방정식은 유체역학 적으로 매우 도움이 될 수 있다.