예고로프 정리

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측도론에서, 예고로프 정리(Егоров定理, 영어: Egorov’s theorem)는 가측 함수에 대하여, 점별 수렴균등 수렴이 거의 일치한다는 정리이다.

정의[편집]

측도 공간 에서 (보렐 시그마 대수를 갖춘) 분해 가능 거리 공간 으로 가는 일련의 가측 함수의 열

에 대하여, 다음 조건이 성립한다고 하자.

예고로프 정리에 따르면, 임의의 양의 실수 에 대하여, 다음 성질을 만족시키는 가측 집합 가 존재한다.[1]:73[2]:72, Theorem 7.1.12

  • 위에서 균등 수렴한다.

증명:

임의의 가측 함수 에 대하여,

가측 함수이며,

역시 연속 함수이므로 가측 함수이다. 가정에 따라 분해 가능 거리 공간이므로, 제2 가산 공간이며, (거리 위상곱위상에 대한) 보렐 시그마 대수 는 곱 시그마 대수 와 일치한다. 따라서

가측 함수이다.

이제, 의 거의 어디서나 점별 극한이 되는 가측 함수 를 취하자. 임의의 이 주어졌다고 하자. 그렇다면 점별 수렴의 정의와 측도의 성질에 따라, 임의의 에 대하여,

이다. (함수 가측 함수이므로 위 집합들은 모두 가측 집합이다.) 따라서

이 존재한다.

이제

이라고 하자. 그렇다면

이며, 임의의 에 대하여,

이다. 즉, 위에서 로 균등 수렴한다.

[편집]

만약 조건이 없으면 이 정리는 거짓이다. 예를 들어, 함수

을 생각하자. 이는 점별로 0으로 수렴하지만, 임의의 유한 측도 르베그 가측 집합 에 대하여 이 함수열은 에서 균등 수렴하지 않는다.

역사[편집]

이탈리아의 수학자 카를로 세베리니(이탈리아어: Carlo Severini)가 1910년에 증명하였으나, 이탈리아어 논문에 출판하여 주목받지 못했다.[3] 이듬해 드미트리 예고로프가 같은 정리를 재증명하여 유명 프랑스어 저널에 출판하였다.[4]

참고 문헌[편집]

  1. Rudin, Walter (1987). 《Real and Complex Analysis》 (영어) 3판. McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-054234-1. MR 0924157. Zbl 0925.00005. 2014년 10월 6일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2015년 1월 10일에 확인함. 
  2. Bogachev, Vladimir I. (2007). 《Measure theory. Volume II》 (영어). Berlin, Heidelberg: Springer. doi:10.1007/978-3-540-34514-5. ISBN 978-3-540-34513-8. LCCN 2006933997. 
  3. Severini, Carlo (1910). “Sulle successioni di funzioni ortogonali”. 《Atti dell’Accademia Gioenia》. serie 5a, (이탈리아어) 3 (5): Memoria XIII, 1−7. JFM 41.0475.04. 
  4. Egoroff, D. Th. (1911). “Sur les suites des fonctions mesurables”. 《Comptes rendus hebdomadaires des séances de l’Académie des sciences》 (프랑스어) 152: 244–246. JFM 42.0423.01. 

외부 링크[편집]

같이 보기[편집]