예고로프의 정리

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측도론에서, 예고로프의 정리(Егоров의定理, 영어: Egorov’s theorem)는 가측 함수에 대하여, 점별 수렴균등 수렴이 거의 일치한다는 정리이다.

정의[편집]

예고로프의 정리는 다음과 같다.[1]:73 측도 공간 (X,\mathcal F,\mu)에서 (보렐 시그마 대수를 갖춘) 분해 가능 거리 공간 M으로 가는 일련의 가측 함수의 열

f_n\colon X\to M\qquad(n\in\mathbb N)

에 대하여, 다음 조건이 성립한다고 하자.

그렇다면 예고로프의 정리에 따르면, 임의의 양의 실수 \epsilon>0에 대하여, 다음 성질을 만족시키는 가측 집합 X_\epsilon\in\mathcal F가 존재한다.

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만약 \mu(X)<\infty 조건이 없으면 이 정리는 거짓이다. 예를 들어, 함수

f_n\colon\mathbb R\to\mathbb R
f_n\colon x\mapsto\begin{cases}1&x\in[n,n+1]\\0&x\not\in[n,n+1]\end{cases}

을 생각하자. 이는 점별로 0으로 수렴하지만, 임의의 유한 측도 르베그 가측 집합 S에 대하여 이 함수열은 \mathbb R\setminus S에서 균등 수렴하지 않는다.

역사[편집]

이탈리아의 수학자 카를로 세베리니(이탈리아어: Carlo Severini)가 1910년에 증명하였으나, 이탈리아어 논문에 출판하여 주목받지 못했다.[2] 이듬해 드미트리 예고로프가 같은 정리를 재증명하여 유명 프랑스어 저널에 출판하였다.[3]

참고 문헌[편집]

  1. Rudin, Walter (1987). 《Real and complex analysis》 (영어) 3판. McGraw-Hill. ISBN 978-007054234-1. MR 0924157. Zbl 0925.00005. 
  2. Severini, Carlo (1910). “Sulle successioni di funzioni ortogonali” (이탈리아어). 《Atti dell’Accademia Gioenia》. serie 5a, 3 (5): Memoria XIII, 1−7. JFM 41.0475.04. 
  3. Egoroff, D. Th. (1911). “Sur les suites des fonctions mesurables” (프랑스어). 《Comptes rendus hebdomadaires des séances de l’Académie des sciences》 152: 244–246. JFM 42.0423.01. 

바깥 고리[편집]

같이 보기[편집]