열린 함수와 닫힌 함수

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일반위상수학에서, 열린 함수(-函數, 영어: open map)는 열린 집합열린 집합함수다. 마찬가지로, 닫힌 함수(-函數, 영어: closed map)는 닫힌 집합닫힌 집합함수다.

정의[편집]

위상 공간 사이의 함수 에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 함수를 열린 함수라고 한다.

  • 모든 열린집합 에 대하여 열린집합이다.
  • 모든 에 대하여 가 열린집합인 기저 가 존재한다.
  • 임의의 및 그 열린 근방 에 대하여, 열린 근방 가 존재한다.
  • 임의의 에 대하여, 이다. 여기서 내부이다.

위상 공간 사이의 함수 에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 함수를 닫힌 함수라고 한다.

  • 모든 닫힌집합 에 대하여, 닫힌집합이다.
  • 임의의 에 대하여, 이다. 여기서 폐포이다.

성질[편집]

함수 에 대하여, 다음 세 조건이 서로 동치이다.

만약 이산 공간이라면, 모든 함수 는 열린 함수이며 닫힌 함수이다 (그러나 연속 함수일 필요는 없다).

두 개의 열린 함수의 합성은 열린 함수이다. 마찬가지로, 두 개의 닫힌 함수의 합성은 닫힌 함수이다.

위상 공간들의 집합 곱공간 이 주어졌을 때, 자연스러운 사영 은 연속 함수이며 열린 함수이지만, 닫힌 함수일 필요는 없다.

만약 콤팩트 공간이라면, 사영 는 닫힌 사상이다 (튜브 보조정리).

스킴 사상[편집]

스킴 사이의 열린 사상 또는 닫힌 사상은 (연속 함수로서) 열린 함수 또는 닫힌 함수를 이루는 스킴 사상이다.

열린 사상과 닫힌 사상은 밑 변환에 대하여 불안정하다. 보편 열린 사상(영어: universally open morphism)/보편 닫힌 사상(영어: universally closed morphism)은 다음 조건을 만족시키는 스킴 사상 이다.

임의의 스킴 사상 에 대하여, 밑 변환 은 열린 사상/닫힌 사상이다.

다음과 같은 포함 관계가 성립한다.

닫힌 사상 ∩ 준콤팩트 함수 ⊋ 보편 닫힌 사상 ⊋ 고유 사상닫힌 몰입 ⊋ 스킴 동형
열린 사상 ⊋ 보편 열린 사상 ⊋ 국소 유한 표시 평탄 사상열린 몰입 ⊋ 스킴 동형

가 열린 사상 · 닫힌 사상 · 보편 열린 사상 · 보편 닫힌 사상 가운데 하나라고 하자. 그렇다면, 다음이 성립한다.

  • (합성에 대한 닫힘) 에 대하여, 만약 -사상이라면 역시 -사상이다.
  • (fpqc 위상에서의 내림) 에 대하여, 만약 밑 변환 -사상이며, fpqc 사상이라면 역시 -사상이다.

여기서 fpqc 사상평탄 사상이며, 전사 함수이며, 공역 속의 임의의 콤팩트 열린집합에 대하여 이를 으로 하는 정의역콤팩트 열린집합이 존재하는 스킴 사상이다.

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열린 함수가 아닌 연속 닫힌 함수[편집]

함수

연속 함수이며 닫힌 함수이지만, 열린 함수가 아니다. 예를 들어, 열린집합 이므로 열린집합이 아니다.

연속 함수가 아닌 열린 닫힌 함수[편집]

함수

는 (이산 공간이므로) 열린 함수이며, 닫힌 함수이다. 그러나 이는 연속 함수가 아니다.

함수

전단사 함수이며, 열린 함수이며, 닫힌 함수이지만, 연속 함수가 아니다.

닫힌 함수가 아닌 연속 열린 함수[편집]

사영 함수

전사 함수이며 연속 함수이며 열린 함수이지만, 닫힌 함수가 아니다. 예를 들어, 닫힌집합 이므로 닫힌집합이 아니다.

바깥 고리[편집]

같이 보기[편집]