열린 함수와 닫힌 함수

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일반위상수학에서, 열린 함수(-函數, 영어: open map)는 열린 집합열린 집합함수다. 마찬가지로, 닫힌 함수(-函數, 영어: closed map)는 닫힌 집합닫힌 집합함수다.

정의[편집]

위상 공간 X,Y 사이의 함수 f\colon X\to Y에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 함수를 열린 함수라고 한다.

위상 공간 X,Y 사이의 함수 f\colon X\to Y에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 함수를 닫힌 함수라고 한다.

성질[편집]

함수 X\to Y에 대하여, 다음 세 조건이 서로 동치이다.

만약 Y이산 공간이라면, 모든 함수 X\to Y는 열린 함수이며 닫힌 함수이다 (그러나 연속 함수일 필요는 없다).

두 개의 열린 함수의 합성은 열린 함수이다. 마찬가지로, 두 개의 닫힌 함수의 합성은 닫힌 함수이다.

위상 공간들의 집합 \{X_i\}_{i\in I}곱공간 \prod_{i\in I}X_i이 주어졌을 때, 자연스러운 사영 \pi_i\prod_{i\in I}X_i\to X_i은 연속 함수이며 열린 함수이지만, 닫힌 함수일 필요는 없다.

만약 Y콤팩트 공간이라면, 사영 X\times Y\to X는 닫힌 사상이다 (튜브 보조정리).

스킴 사상[편집]

스킴 사이의 열린 사상 또는 닫힌 사상은 (연속 함수로서) 열린 함수 또는 닫힌 함수를 이루는 스킴 사상이다.

열린 사상과 닫힌 사상은 밑 변환에 대하여 불안정하다. 보편 열린 사상(영어: universally open morphism)/보편 닫힌 사상(영어: universally closed morphism)은 다음 조건을 만족시키는 스킴 사상 f\colon X\to Y이다.

임의의 스킴 사상 Y'\to Y에 대하여, 밑 변환 f'\colon X\times_YY'\to Y'은 열린 사상/닫힌 사상이다.

다음과 같은 포함 관계가 성립한다.

닫힌 사상 ∩ 준콤팩트 함수 ⊋ 보편 닫힌 사상 ⊋ 고유 사상닫힌 몰입 ⊋ 스킴 동형
열린 사상 ⊋ 보편 열린 사상 ⊋ 국소 유한 표시 평탄 사상열린 몰입 ⊋ 스킴 동형

\mathfrak P가 열린 사상 · 닫힌 사상 · 보편 열린 사상 · 보편 닫힌 사상 가운데 하나라고 하자. 그렇다면, 다음이 성립한다.

  • (합성에 대한 닫힘) X\xrightarrow fY\xrightarrow gZ에 대하여, 만약 fg\mathfrak P-사상이라면 g\circ f 역시 \mathfrak P-사상이다.
  • (fpqc 위상에서의 내림) X\xrightarrow fY\xleftarrow gY'에 대하여, 만약 밑 변환 f'\colon X\times_YY'\to Y'\mathfrak P-사상이며, gfpqc 사상이라면 f 역시 \mathfrak P-사상이다.

여기서 fpqc 사상평탄 사상이며, 전사 함수이며, 공역 속의 임의의 콤팩트 열린집합에 대하여 이를 으로 하는 정의역콤팩트 열린집합이 존재하는 스킴 사상이다.

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열린 함수가 아닌 연속 닫힌 함수[편집]

함수

\mathbb R\to\mathbb R
x\mapsto x^2

연속 함수이며 닫힌 함수이지만, 열린 함수가 아니다. 예를 들어, 열린집합 (-1,1)[0,1)이므로 열린집합이 아니다.

연속 함수가 아닌 열린 닫힌 함수[편집]

함수

\mathbb R\to\mathbb Z
x\mapsto\lfloor x\rfloor

는 (\mathbb Z이산 공간이므로) 열린 함수이며, 닫힌 함수이다. 그러나 이는 연속 함수가 아니다.

함수

\mathbb S^1\to[0,2\pi)
x\mapsto x

전단사 함수이며, 열린 함수이며, 닫힌 함수이지만, 연속 함수가 아니다.

닫힌 함수가 아닌 연속 열린 함수[편집]

사영 함수

\mathbb R^2\to\mathbb R
(x,y)\mapsto x

전사 함수이며 연속 함수이며 열린 함수이지만, 닫힌 함수가 아니다. 예를 들어, 닫힌집합 \{(x,1/x)\colon x\in\mathbb R\}\subset\mathbb R^2(-\infty,0)\cup(0,\infty)이므로 닫힌집합이 아니다.

바깥 고리[편집]

같이 보기[편집]