브라우어르 차수

대수적 위상수학에서, 두 다양체 사이의 연속 함수의 브라우어르 차수(Brouwer次數, Brouwer degree)는 함수의 정의역이 함수의 치역을 몇 번 감싸는지를 나타내는 정수이다. 기호는 $\deg$.

정의

다음이 주어졌다고 하자.

• 자연수 $n\in \mathbb {N}$
• 두 $n$차원 콤팩트 연결 다양체 $X$, $Y$
• $X$와 $Y$ 위의 방향. 즉, 기본류 $[X]\in \operatorname {H} _{n}(X;\mathbb {Z} )$, $[Y]\in \operatorname {H} _{n}(X;\mathbb {Z} )$.
• 연속 함수 $f\colon X\to Y$

이에 따라, $X$와 $Y$의 최고차 호몰로지 군은 다음과 같다.

$H_{n}(X;\mathbb {Z} )\cong H_{n}(Y;\mathbb {Z} )\cong \mathbb {Z}$

그렇다면, $f$는 군 준동형

$f_{*}\colon \operatorname {H} _{n}(X;\mathbb {Z} )\to \operatorname {H} _{n}(Y;\mathbb {Z} )$

를 유도한다. 연속 함수 $f$의 브라우어르 차수 $\deg f$는 다음 조건을 만족시키는 유일한 정수이다.

$f_{*}([X])=(\deg f)[Y]$.

예

단위 절댓값의 복소수 집합으로 여긴 원

$\mathbb {S} ^{1}=\{z\in \mathbb {Z} \colon |z|=1\}$

을 생각하자. 이는 표준적인 방향을 갖는 1차원 콤팩트 다양체이다. 이 경우, 연속 함수

$f\colon \mathbb {S} ^{1}\to \mathbb {S} ^{1}$

$f\colon z\mapsto z^{n}$

의 브라우어르 차수는 다음과 같다.

$\deg f=n$

역사

라위트전 브라우어르가 1911년 정의하였다.

외부 링크

• Weisstein, Eric Wolfgang. “Brouwer degree”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• “Brouwer degree”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Degree of a continuous function”. 《nLab》 (영어).