작용소 노름

위키백과, 우리 모두의 백과사전.
(연산자노름에서 넘어옴)
이동: 둘러보기, 검색

함수해석학에서, 작용소 노름(作用素norm, 영어: operator norm)은 두 노름 공간 사이의 유계 작용소에 대하여 정의되는 노름이다.

두 노름 공간 사이의 유계 작용소는 단위 벡터를 어떤 유한한 길이 이상으로 늘리지 못하는, 두 노름 공간 사이의 선형 변환인데, 유계 작용소가 단위 벡터를 늘리는 최댓값을 그 작용소 노름이라고 한다. 즉, 작용소 노름이 c인 작용소는 임의의 벡터의 길이를 c배 초과로 늘리지 못한다.

정의[편집]

실수체 또는 복소수체 가운데 하나이며, -노름 공간이라고 하자. 그렇다면, 이들 사이의 선형 변환 에 대하여, 다음과 같은 음이 아닌 확장된 실수를 정의할 수 있으며, 이를 작용소 노름이라고 한다.[1]:69, Example III.1.4[2]:92–93, Theorem 4.1; 95, Theorem 4.4

상계(또는 하계)는 일반적으로 포화되지 못할 수 있다.

성질[편집]

작용소 노름은 노름이다. 즉, 아래의 성질을 만족시킨다.

(삼각 부등식)

-노름 공간 사이의 임의의 -선형 변환 에 대하여 다음 네 조건이 서로 동치이다.[2]:24, Theorem 1.32

  • 유계 작용소이다.
  • 는 (의 위상에 대하여) 연속 함수이다.
  • (의 덧셈 위상군 균등 공간 구조에 대하여) 균등 연속 함수이다.
  • 는 (의 노름 거리 함수에 대하여) 립시츠 연속 함수이다.
  • 의 작용소 노름이 유한하다. 즉, 이다.

이 가운데 연속 ⇒ 균등 연속 ⇒ 립시츠 연속은 자명하다.

증명 (유한 노름 ⇒ 립시츠 연속):

유한한 노름의 작용소 가 주어졌을 때, 임의의 에 대하여,

이므로, 는 립시츠 상수 에 대하여 립시츠 연속 함수이다.

증명 (연속 ⇒ 유한 노름):

연속 작용소 가 주어졌다고 하자. 연속성의 정의에 따라,

인 양의 실수 가 존재한다. (여기서 열린 공을 뜻한다.)

그렇다면, 연속성에 따라, 임의의 에 대하여, 이므로,

이다. 즉,

이다.

참고 문헌[편집]

  1. Reed, Michael C.; Simon, Barry (1980). 《Functional analysis》. Methods of modern mathematical physics (영어) 1. Academic Press. ISBN 0-12-585050-6. Zbl 0459.46001. 
  2. Rudin, Walter (1991). 《Functional analysis》. International Series in Pure and Applied Mathematics (영어) 2판. McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-054236-5. Zbl 0867.46001. 

같이 보기[편집]

외부 링크[편집]