에너지 연산자

양자역학에서, 에너지 연산자(영어: Energy operator)는 시간 변화 대칭의 결과로서 시스템의 파동 함수에 작용하여 에너지를 정의하는 연산자이다.

정의

에너지 연산자는 다음과 같이 주어진다: $${\hat {E}}=i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}$$

이 연산자는 시스템의 다양한 배위에 대한 확률 진폭인 파동 함수 $$\Psi \left(\mathbf {r} ,t\right)$$에 작용한다.

응용

에너지 연산자는 시스템의 전체 에너지에 대응한다. 슈뢰딩거 방정식은 양자 시스템의 느리게 변하는(비상대론적) 파동 함수의 공간 및 시간 의존성을 설명한다. 구속된 시스템에 대한 슈뢰딩거 방정식의 해는 이산적이며(각각 하나의 에너지 준위로 특징지어지는 허용된 상태들의 집합), 이는 양자 개념으로 이어진다.

슈뢰딩거 방정식

슈뢰딩거 방정식에 에너지 연산자를 사용하면 다음과 같다: $$i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\Psi (\mathbf {r} ,\,t)={\hat {H}}\Psi (\mathbf {r} ,t)$$ 여기서 다음을 얻는다: $${\hat {E}}\Psi (\mathbf {r} ,t)={\hat {H}}\Psi (\mathbf {r} ,t)$$

여기서 i는 허수 단위, ħ는 환산 플랑크 상수이며, ${\hat {H}}$는 다음과 같이 표현되는 해밀토니언 연산자이다:

$${\hat {H}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}+V(x).$$

이 방정식으로부터 ${\textstyle \langle E\rangle =\langle {\hat {H}}\rangle }$라는 등식을 세울 수 있으며, 여기서 ${\textstyle \langle E\rangle }$는 에너지의 기댓값이다.

성질

에너지의 기댓값은 항상 시스템의 최소 퍼텐셜보다 크거나 같음을 보일 수 있다.

운동 에너지의 기댓값을 계산해 보면 다음과 같다:

${\begin{aligned}KE&=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\int _{-\infty }^{+\infty }\psi ^{*}\left({\frac {d^{2}\psi }{dx^{2}}}\right)\,dx\\&=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\left({\left[\psi '(x)\psi ^{*}(x)\right]_{-\infty }^{+\infty }}-\int _{-\infty }^{+\infty }\left({\frac {d\psi }{dx}}\right)\left({\frac {d\psi }{dx}}\right)^{*}\,dx\right)\\&={\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\int _{-\infty }^{+\infty }\left|{\frac {d\psi }{dx}}\right|^{2}\,dx\geq 0\end{aligned}}$

따라서 운동 에너지의 기댓값은 항상 비음수이다. 이 결과는 선형성 조건을 이용하여 전체 에너지의 기댓값을 계산하는 데 사용될 수 있으며, 규격화된 파동 함수에 대해 다음과 같이 주어진다:

$E=KE+\langle V(x)\rangle =KE+\int _{-\infty }^{+\infty }V(x)|\psi (x)|^{2}\,dx\geq V_{\text{min}}(x)\int _{-\infty }^{+\infty }|\psi (x)|^{2}\,dx\geq V_{\text{min}}(x)$

이로써 증명이 완료된다. 마찬가지로 이 조건은 더 높은 차원으로 일반화될 수 있다.

상수 에너지

정의에 따라, 일정한 에너지를 가진 입자의 파동 함수에 대한 부분적인 해를 구성할 수 있다. 파동 함수가 변수 분리 가능하다고 가정하면, 시간 의존성은 $e^{-iEt/\hbar }$로 나타낼 수 있으며 여기서 E는 상수 에너지이다. 전체 식은 다음과 같다: $$\Psi (\mathbf {r} ,t)=\psi (\mathbf {r} )e^{-iEt/\hbar }$$ 여기서 $\psi (\mathbf {r} )$은 위치에 의존하는 파동 함수의 부분 해이다. 에너지 연산자를 적용하면 다음과 같다: $${\hat {E}}\Psi (\mathbf {r} ,t)=i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\psi (\mathbf {r} )e^{-iEt/\hbar }=i\hbar \left({\frac {-iE}{\hbar }}\right)\psi (\mathbf {r} )e^{-iEt/\hbar }=E\psi (\mathbf {r} )e^{-iEt/\hbar }=E\Psi (\mathbf {r} ,t).$$ 이것은 정상 상태로도 알려져 있으며, 시간에 무관한 슈뢰딩거 방정식을 분석하는 데 사용될 수 있다. $$E\Psi (\mathbf {r} ,t)={\hat {H}}\Psi (\mathbf {r} ,t)$$ 여기서 E는 에너지의 고윳값이다.

클라인-고든 방정식

상대론적 질량-에너지 관계식: $$E^{2}=(pc)^{2}+(mc^{2})^{2}$$ 여기서 E = 총 에너지, p = 입자의 총 3차원 운동량, m = 불변 질량, c = 빛의 속력이다. 이 식으로부터 유사하게 클라인-고든 방정식을 도출할 수 있다. $${\begin{aligned}&{\hat {E}}^{2}=c^{2}{\hat {p}}^{2}+(mc^{2})^{2}\\&{\hat {E}}^{2}\Psi =c^{2}{\hat {p}}^{2}\Psi +(mc^{2})^{2}\Psi \\\end{aligned}}$$ 여기서 ${\hat {p}}$는 운동량 연산자이다. 즉 다음과 같다: $${\frac {\partial ^{2}\Psi }{\partial t^{2}}}=c^{2}\nabla ^{2}\Psi -\left({\frac {mc^{2}}{\hbar }}\right)^{2}\Psi$$

유도

에너지 연산자는 자유 입자 파동 함수(슈뢰딩거 방정식의 평면파 해)를 사용하여 쉽게 유도할 수 있다. 1차원에서 시작하면 파동 함수는 다음과 같다. $$\Psi =e^{i(kx-\omega t)}$$

Ψ의 시간 미분은 다음과 같다. $${\frac {\partial \Psi }{\partial t}}=-i\omega e^{i(kx-\omega t)}=-i\omega \Psi .$$

드브로이 관계식에 의해 $$E=\hbar \omega ,$$ 다음과 같이 나타낼 수 있다. $${\frac {\partial \Psi }{\partial t}}=-i{\frac {E}{\hbar }}\Psi .$$

방정식을 재정리하면 다음과 같다. $$E\Psi =i\hbar {\frac {\partial \Psi }{\partial t}},$$ 여기서 에너지 인자 E는 스칼라 값으로, 입자가 가진 에너지이자 측정되는 값이다. 편미분은 선형 연산자이므로 이 식은 에너지에 대한 연산자가 된다. $${\hat {E}}=i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}.$$

따라서 스칼라 E는 연산자의 고윳값이고, ${\hat {E}}$는 연산자라는 결론을 내릴 수 있다. 이 결과들을 요약하면 다음과 같다. $${\hat {E}}\Psi =i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\Psi =E\Psi$$

파수 벡터 $\mathbf {k}$ 방향으로 3차원 공간을 여행하는 평면파에 대해, $$\Psi =e^{i(\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -\omega t)},$$ 시간과 시간 미분을 포함하는 항에 변화가 없으므로 유도 과정은 동일하다. 이 연산자는 선형 연산자이므로 평면파의 어떠한 선형 결합에 대해서도 유효하며, 따라서 파동 함수나 연산자의 성질에 영향을 주지 않고 모든 파동 함수에 작용할 수 있다. 그러므로 이는 모든 파동 함수에 대해 참이어야 한다. 이 결과는 위의 클라인-고든 방정식과 같은 상대론적 양자역학에서도 성립함이 밝혀졌다.

같이 보기

• 시간 변화 대칭
• 플랑크 상수
• 슈뢰딩거 방정식
• 운동량 연산자
• 해밀토니언 (양자역학)
• 에너지 보존 법칙
• 복소수
• 정상 상태