양상논리학

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양상논리학(樣相論理學)은 명제(판단)의 형식뿐만 아니라 그 내용 성립의 모양(양상)을 다루어, 어떤 명제 성립의 필연성·개연성(성립할 것이다)·가능성 등을 검토한다. 이것은 개념의 의미내용(內包)에까지 개입하는 '내포적(內包的) 논리학'의 일종이다.

양상 논리의 연산자[편집]

양상 논리는 일반 명제 논리의 기호 (\land, \lor, \lnot, \implies 등) 이외에도 다음과 같은 두 기호를 갖는다.

\Box
\Diamond

이들 사이에는 다음과 같은 관계가 있다.

\lnot\Box\lnot=\Diamond
\lnot\Diamond\lnot=\Box

이 두 기호는 여러 가지로 해석할 수 있으나, 보통 다음과 같이 해석한다.

  • \Box P: 명제 P는 필연적으로 참이다. 즉, P는 모든 가능한 세계에서 참이다.
  • \Diamond P: 명제 P는 개연적으로 참이다. 즉, P가 참인 세계가 존재한다.

이 밖에도, 다르게 해석할 수도 있다. 예를 들어, \Box P를 다음과 같이 해석할 수 있다.

  • 증명성 논리(영어: provability logic)
    • \Box P: 명제 P는 증명할 수 있다.
    • \Diamond P: 명제 P는 반증할 수 없다.
  • 인식론적 논리 영어: epistemic logic):
    • \Box P: 명제 P가 참인 것을 안다.
    • \Diamond P: 명제 P가 거짓인 것을 알지 못한다.
  • 의무적 논리 영어: deontological logic):
    • \Box P: 명제 P를 만족시킬 의무가 있다.
    • \Diamond P: 명제 P를 만족시키는 것이 허용된다.

양상 논리의 공리계[편집]

양상 논리는 명제 논리의 공리 및 전건 긍정의 형식을 가진다. 이 밖에도, 양상 논리 고유의 다음과 같은 공리들이 있다. 우선, 가장 기본적인 양상 논리 K는 명제 논리에 다음과 같은 두 공리를 추가하여 얻는다.

P\vdash\Box P
\Box (P\implies Q)\implies(\Box P\implies\Box Q)

이 밖에도, 다음과 같은 공리들을 생각할 수 있다.

(T공리) \Box P\implies P
간혹 M공리로 불리기도 함
(4번 공리) \Box P\implies\Box\Box P
(5번 공리) \Box P\implies\Box\Diamond P
(D공리) \Box P\implies\Diamond P
간혹 B공리로 불리기도 함.
(GL공리) \Box(\Box P\implies P)\implies\Box P
간혹 L공리로 불리기도 함. 괴델-뢰브 영어: Gödel–Löb)의 약자.

K에 이 공리들 가운데 일부를 추가하면 다음과 같은 양상 논리들을 얻는다.

T = K + T공리
K4 = K + 4번 공리
S4 = K + T공리 + 4번 공리
S5 = K + T공리 + 5번 공리
D = K + D공리
D45 = K + D공리 + 4번 공리 + 5번 공리
GL = K + GL공리

다음을 보일 수 있다. 여기서는 모두 적어도 K를 가정한다.

GL ⊢ 4, ¬T
S5 ⊢ 4, D
S4 + D ⊢ 5
즉, S4 + D = S5이다.
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