양상 논리

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논리학에서, 양상 논리(樣相論理, 영어: modal logic)는 명제의 필연성·가능성·불가능성을 서술할 수 있는 논리 체계이다.

정의[편집]

통사론[편집]

양상 논리는 일반 명제 논리의 기호 (, , , 등) 이외에도 다음과 같은 두 기호를 갖는다.

이들 사이에는 다음과 같은 관계가 있다.

이 두 기호는 여러 가지로 해석할 수 있으나, 보통 다음과 같이 해석한다.

  • : 명제 는 필연적으로 참이다. 즉, 는 모든 가능한 세계에서 참이다.
  • : 명제 는 개연적으로 참이다. 즉, 가 참인 세계가 존재한다.

이 밖에도, 다르게 해석할 수도 있다. 예를 들어, 를 다음과 같이 해석할 수 있다.

  • 증명성 논리(영어: provability logic)
    • : 명제 는 증명할 수 있다.
    • : 명제 는 반증할 수 없다.
  • 인식론적 논리 영어: epistemic logic):
    • : 명제 가 참인 것을 안다.
    • : 명제 가 거짓인 것을 알지 못한다.
  • 의무적 논리 영어: deontological logic):
    • : 명제 를 만족시킬 의무가 있다.
    • : 명제 를 만족시키는 것이 허용된다.

공리계[편집]

양상 논리는 명제 논리의 공리 및 전건 긍정의 형식을 가진다. 이 밖에도, 양상 논리 고유의 다음과 같은 공리들이 있다. 우선, 가장 기본적인 양상 논리 K는 명제 논리에 다음과 같은 두 공리를 추가하여 얻는다.

이 밖에도, 다음과 같은 공리들을 생각할 수 있다.

(T공리)
간혹 M공리로 불리기도 함
(4번 공리)
(5번 공리)
(B공리)
라위트전 브라우어르(네덜란드어: Brouwer)의 성의 머릿글자.
(D공리)
주로 의무적 논리에서 쓰임. 영어: deontology 의무론[*]의 머릿글자.
(GL공리)
간혹 L공리로 불리기도 함. 괴델-뢰브 영어: Gödel–Löb)의 약자.

K에 이 공리들 가운데 일부를 추가하면 다음과 같은 양상 논리들을 얻는다.

T = K + T공리
K4 = K + 4번 공리
S4 = K + T공리 + 4번 공리
S5 = K + T공리 + 5번 공리 = S4 + 5번 공리 = S4 + B공리
D = K + D공리
D45 = K + D공리 + 4번 공리 + 5번 공리
GL = K + GL공리

다음을 보일 수 있다. 여기서는 모두 적어도 K를 가정한다.

GL ⊢ 4, ¬T
S5 ⊢ 4, D
S4 + D ⊢ 5
즉, S4 + D = S5이다.

의미론[편집]

양상 논리에서 가장 많이 쓰이는 의미론은 크립키 모형(영어: Kripke model)이다. 이를 통해, 각종 양상 논리들의 모형을 정의할 수 있다.

S4의 경우, 위상 공간으로서 의미론을 정의할 수 있다. 이 경우, 대응성은 다음과 같다.

S4 양상 논리 위상수학
명제 위상 공간의 부분집합
논리합 합집합
논리곱 교집합
함의
부정
내부
폐포

이 경우, S4의 공리들은 내부와 폐포의 성질로 해석할 수 있다.

참고 문헌[편집]

  • 여훈근 (2000년 6월 17일). 《논리철학》. 인문사회과학총서 40. 고려대학교 출판부. ISBN 89-7641-409-8. 
  • 김우진 (2012). 《양상논리와 형이상학》 2판. 새들녘. ISBN 978-899624152-2. 
  • 신승철 (2004년 2월). “양상 논리의 이해” (PDF). 《프로그래밍언어논문지》 18 (1): R01. ISSN 1975-5961. 
  • Blackburn, Patrick; Maarten de Rijke, Yde Venema (2001년 7월). 《Modal logic》. Cambridge Tracts in Theoretical Computer Science (영어) 53. Cambridge University Press. doi:10.1017/CBO9781107050884. ISBN 978-052180200-0. Zbl 0988.03006. 
  • Chagrov, Aleksandr; Michael Zakharyaschev (1997). 《Modal logic》 (영어). Oxford University Press. ISBN 0-19-853779-4. 
  • Chellas, B. F. (1980). 《Modal logic: an introduction》 (영어). Cambridge University Press. ISBN 0-521-22476-4. 
  • Fitting, Melvin; R. L. Mendelsohn (1998). 《First Order Modal Logic》 (영어). Kluwer. ISBN 0-7923-5335-8. 
  • Garson, James W. (2013). 《Modal logic for philosophers》 (영어) 2판. Cambridge University Press. doi:10.1017/CBO9781139342117. ISBN 978-110702955-2. 
  • Girle, Rod (2000). 《Modal logics and philosophy》 (영어). Acumen. ISBN 0-7735-2139-9. 
  • Hughes, G. E.; M. J. Cresswell (1996). 《A new introduction to modal logic》 (영어). Routledge. ISBN 0-415-12599-5. 
  • Snyder, D. Paul "Modal Logic and its applications", Van Nostrand Reinhold Company, 1971
  • Kracht, Marcus (1999) Tools and Techniques in Modal Logic, Studies in Logic and the Foundations of Mathematics No. 142. North Holland.

바깥 고리[편집]

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