약수

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수론에서, 정수약수(約數, 영어: divisor) 또는 인수(因數, 영어: factor)는 그 정수를 나머지 없이 나눌 수 있는 정수이다. 다항식의 약수나 가환환의 원소의 약수를 정의할 수도 있다.

정의[편집]

정수 가 다음 조건을 만족시키면, 약수라고 하며, 이를 라고 표기한다.

  • 인 정수 가 존재한다.

모든 정수는 1, -1을 약수로 가진다. 또한, 모든 정수는 자기 자신과 그 반수를 약수로 가진다. 0은 모든 정수를 약수로 가지며, 0이 아닌 정수는 0을 약수로 가지지 않는다. 즉, 정수 에 대하여 다음 성질들이 성립한다.

정수 의 약수 가운데, 자명 약수(영어: trivial divisor)라고 하며, 자명 약수를 제외한 약수를 고유 약수(영어: non-trivial divisor)라고 한다. 자기 자신 을 제외한 양의 약수를 진약수(영어: proper divisor)라고 한다.

[편집]

  • 12의 모든 양의 약수는 1, 2, 3, 4, 6, 12이다. 약수는 음수일 수도 있으며, 12의 모든 음의 약수는 -1, -2, -3, -4, -6, -12이다. 양의 약수와 음의 약수는 항상 서로 짝을 이룬다.
  • 7 ∣ 42이다. 42 = 7 × 6이기 때문이다. 이를 다음과 같이 여러 가지 방법으로 서술할 수 있다.
    • 7은 42의 약수/인수이다.
    • 42는 7의 배수이다.
    • 7은 42를 나눈다/완제한다.
    • 42는 7로 나누어떨어진다.
  • 6의 모든 약수는 ±1, ±2, ±3, ±6이다. 고유 약수는 ±2, ±3이며, 진약수는 1, 2, 3이다.
  • 42의 모든 양의 약수는 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42이다.
  • 0의 모든 약수는 모든 정수이다. 항상 이기 때문이다.
  • 60의 모든 양의 약수의 집합 은 약수 관계에 따라 부분 순서 집합을 이루며, 다음과 같은 하세 도형을 가진다.
Lattice of the divisibility of 60; factors.svg

성질[편집]

약수 관계는 정수 집합 위의 원순서다. 어떤 정수가 여러 정수의 공통의 약수라면, 그 정수들의 합과 차의 약수이기도 하다. 즉, 임의의 정수 에 대하여, 다음 성질들이 성립한다.

더 많은 성질들을 논의하기 위해 더 많은 개념을 도입하자. 두 정수 모두의 약수 가운데 가장 큰 하나를 최대 공약수라고 한다. 두 정수 의 최대 공약수를 라고 표기한다. 최대 공약수가 1인 두 정수를 서로소라고 한다. 즉 두 정수 을 만족시키면 서로소이다. 진약수가 1뿐인 정수를 소수라고 한다. 소수의 집합을 라고 표기하자. 이는 정수의 집합 부분 집합이다. 그렇다면, 다음 성질들이 성립한다.

  • 이며, 이면,
  • (유클리드의 보조정리) 이며 이면, 이거나

진약수의 합이 자기 자신인 정수를 완전수라고 한다. 진약수의 합이 자기 자신보다 작다면 부족수라고 하며, 진약수의 합이 자기 자신보다 크다면 과잉수라고 한다.

각 정수 에 양의 약수의 개수 을 대응시키는 함수, 양의 약수의 합 을 대응시키는 함수는 약수 함수의 특별한 경우이다. 그렇다면, 다음 성질들이 성립한다.

  • 곱셈적 함수이다. 즉, 모든 서로소 정수 에 대하여, 이다.
    • 예를 들어, .
  • 그러나 완전 곱셈적 함수가 아니다. 즉, 모든 정수 에 대하여 이지는 않다. 사실, 두 정수 가 1보다 큰 공약수를 가진다면, 이다.
    • 예를 들어, .
  • 역시 곱셈적 함수이다.
    • 예를 들어,
  • 정수 소인수 분해
와 같다면, 의 모든 양의 약수의 집합은
이며, 이에 따라 의 모든 양의 약수의 개수는
이다.
  • 임의의 정수 에 대하여, 이다.
  • . 여기서 오일러-마스케로니 상수이다.

관련 개념[편집]

임의의 의 원소의 약수를 정의할 수 있다. 예를 들어, 정수 계수 다항식환 에서,

이므로,

이다.

같이 보기[편집]