아폴로니오스 정리 (Apollonius' theorem) 또는 중선정리 (中線定理)는 중 기하학에서 삼각형의 각 변들간의 관계를 설명한 정리이다. '아폴로니오스'라는 이름은 고대 그리스 의 수학자 인 페르게의 아폴로니오스 의 이름을 딴 것이다. 대한민국 과 일본 에서는 흔히 파푸스의 정리 (Pappus's theorem)라는 이름으로도 알려져 있으나, 이외의 국가에서는 이러한 이름으로 불리지 않는다.
그림에서
B
I
=
I
C
{\displaystyle BI=IC}
일 때, 선분
A
I
{\displaystyle AI}
는 중선 (Median )이 되고, 다음의 관계가 성립한다.
A
B
2
+
A
C
2
=
2
(
B
I
2
+
A
I
2
)
=
2
(
C
I
2
+
A
I
2
)
{\displaystyle AB^{2}+AC^{2}=2(BI^{2}+AI^{2}){=2(CI^{2}+AI^{2})}\,}
특히,
A
B
=
A
C
{\displaystyle AB=AC}
가 성립할 경우, 피타고라스의 정리 가 된다. 즉,
A
I
2
+
B
I
2
=
A
B
2
(
=
A
C
2
)
{\displaystyle AI^{2}+BI^{2}=AB^{2}(=AC^{2})\,}
이 정리는 스튜어트 정리 에서
B
I
=
I
C
{\displaystyle BI=IC}
를 가정할 때와 동일하므로 스튜어트 정리의 특수한 형태가 된다.
아폴로니오스 정리의 증명
세 변이 각각
a
,
b
,
c
{\displaystyle a,b,c}
인 삼각형에서 변
a
{\displaystyle a}
를 지나도록 중선
d
{\displaystyle d}
를 긋는다. 또한, 변
a
{\displaystyle a}
를 이등분한 후,
a
{\displaystyle a}
의 절반을
m
{\displaystyle m}
이라 한다. 또 변
a
{\displaystyle a}
와 중선
d
{\displaystyle d}
가 이루는 두 각을 각각
θ
{\displaystyle \theta }
와
θ
′
{\displaystyle \theta ^{\prime }}
이라고 한다. 이때,
θ
{\displaystyle \theta }
는 변
b
{\displaystyle b}
와 마주보고
θ
′
{\displaystyle \theta ^{\prime }}
은 변
c
{\displaystyle c}
와 마주본다. 그러면
θ
{\displaystyle \theta }
와
θ
′
{\displaystyle \theta ^{\prime }}
은 서로 보각 이 되므로
cos
θ
′
=
−
cos
θ
{\displaystyle \cos \theta ^{\prime }=-\cos \theta }
가 된다. 이때 코사인 법칙 에 의해 아래 식이 성립한다.
b
2
=
m
2
+
d
2
−
2
d
m
cos
θ
c
2
=
m
2
+
d
2
−
2
d
m
cos
θ
′
=
m
2
+
d
2
+
2
d
m
cos
θ
{\displaystyle {\begin{aligned}b^{2}&=m^{2}+d^{2}-2dm\cos \theta \\c^{2}&=m^{2}+d^{2}-2dm\cos \theta '\\&=m^{2}+d^{2}+2dm\cos \theta \,\end{aligned}}}
첫째 줄의 식과 셋째 줄의 식을 더하면, 아래와 같은 결론을 얻을 수 있다.
b
2
+
c
2
=
2
(
m
2
+
d
2
)
{\displaystyle b^{2}+c^{2}=2(m^{2}+d^{2})}
아폴로니오스 정리의 증명
△
A
B
C
{\displaystyle \triangle \mathrm {ABC} }
에서
B
C
¯
{\displaystyle {\overline {\mathrm {BC} }}}
의 중점을
M
{\displaystyle \mathrm {M} }
이라 하고, 점
A
{\displaystyle \mathrm {A} }
에서
B
C
¯
{\displaystyle {\overline {\mathrm {BC} }}}
에 내린 수선의 발을 점
H
{\displaystyle \mathrm {H} }
라 한다. 이때,
B
M
¯
=
C
M
¯
{\displaystyle {\overline {\mathrm {BM} }}={\overline {\mathrm {CM} }}}
이다. 피타고라스 정리 를 활용하면 아래와 같이 증명할 수 있다.
A
B
¯
2
=
(
B
M
¯
+
M
H
¯
)
2
+
A
H
¯
2
=
B
M
¯
2
+
2
B
M
¯
×
M
H
¯
+
M
H
¯
2
+
A
H
¯
2
{\displaystyle {\begin{matrix}{\overline {\mathrm {AB} }}^{2}&=&\left({\overline {\mathrm {BM} }}+{\overline {\mathrm {MH} }}\right)^{2}+{\overline {\mathrm {AH} }}^{2}\\&=&{\overline {\mathrm {BM} }}^{2}+2{\overline {\mathrm {BM} }}\times {\overline {\mathrm {MH} }}+{\overline {\mathrm {MH} }}^{2}+{\overline {\mathrm {AH} }}^{2}\end{matrix}}}
A
C
¯
2
=
(
C
M
¯
−
M
H
¯
)
2
+
A
H
¯
2
=
(
B
M
¯
−
M
H
¯
)
2
+
A
H
¯
2
=
B
M
¯
2
−
2
B
M
¯
×
M
H
¯
+
M
H
¯
2
+
A
H
¯
2
{\displaystyle {\begin{matrix}{\overline {\mathrm {AC} }}^{2}&=&\left({\overline {\mathrm {CM} }}-{\overline {\mathrm {MH} }}\right)^{2}+{\overline {\mathrm {AH} }}^{2}\\&=&\left({\overline {\mathrm {BM} }}-{\overline {\mathrm {MH} }}\right)^{2}+{\overline {\mathrm {AH} }}^{2}\\&=&{\overline {\mathrm {BM} }}^{2}-2{\overline {\mathrm {BM} }}\times {\overline {\mathrm {MH} }}+{\overline {\mathrm {MH} }}^{2}+{\overline {\mathrm {AH} }}^{2}\end{matrix}}}
∴
A
B
¯
2
+
A
C
¯
2
=
2
(
B
M
¯
2
+
M
H
¯
2
+
A
H
¯
2
)
=
2
(
A
M
¯
2
+
B
M
¯
2
)
{\displaystyle {\begin{matrix}\therefore {\overline {\mathrm {AB} }}^{2}+{\overline {\mathrm {AC} }}^{2}&=&2\left({\overline {\mathrm {BM} }}^{2}+{\overline {\mathrm {MH} }}^{2}+{\overline {\mathrm {AH} }}^{2}\right)\\&=&2\left({\overline {\mathrm {AM} }}^{2}+{\overline {\mathrm {BM} }}^{2}\right)\end{matrix}}}
좌표를 활용한 아폴로니오스 정리의 증명
좌표 를 사용하여 증명할 수도 있다.
그림과 같이
B
C
¯
{\displaystyle {\overline {\mathrm {BC} }}}
가
x
{\displaystyle x}
축과 겹쳐지도록 한다.
△
A
B
C
{\displaystyle \triangle \mathrm {ABC} }
에서
B
C
¯
{\displaystyle {\overline {\mathrm {BC} }}}
의 중점을
M
{\displaystyle \mathrm {M} }
이라 하고, 점
M
{\displaystyle \mathrm {M} }
이 원점에 오도록 한다. 각 점의 좌표는 각각
A
(
a
,
b
)
{\displaystyle \mathrm {A} (a,b)}
,
B
(
−
c
,
0
)
{\displaystyle \mathrm {B} (-c,0)}
,
C
(
c
,
0
)
{\displaystyle \mathrm {C} (c,0)}
,
M
(
0
,
0
)
{\displaystyle \mathrm {M} (0,0)}
이 된다.
A
B
¯
2
=
(
a
+
c
)
2
+
b
2
=
a
2
+
b
2
+
c
2
+
2
a
c
{\displaystyle {\overline {\mathrm {AB} }}^{2}=(a+c)^{2}+b^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ac}
A
C
¯
2
=
(
a
−
c
)
2
+
b
2
=
a
2
+
b
2
+
c
2
−
2
a
c
{\displaystyle {\overline {\mathrm {AC} }}^{2}=(a-c)^{2}+b^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}-2ac}
A
M
¯
2
=
a
2
+
b
2
{\displaystyle {\overline {\mathrm {AM} }}^{2}=a^{2}+b^{2}}
B
M
¯
2
=
c
2
{\displaystyle {\overline {\mathrm {BM} }}^{2}=c^{2}}
A
B
¯
2
+
A
C
¯
2
=
2
(
a
2
+
b
2
+
c
2
)
{\displaystyle {\overline {\mathrm {AB} }}^{2}+{\overline {\mathrm {AC} }}^{2}=2(a^{2}+b^{2}+c^{2})}
,
A
M
¯
2
+
B
M
¯
2
=
a
2
+
b
2
+
c
2
{\displaystyle {\overline {\mathrm {AM} }}^{2}+{\overline {\mathrm {BM} }}^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}}
∴
A
B
¯
2
+
A
C
¯
2
=
2
(
A
M
¯
2
+
B
M
¯
2
)
{\displaystyle \therefore {\overline {\mathrm {AB} }}^{2}+{\overline {\mathrm {AC} }}^{2}=2\left({\overline {\mathrm {AM} }}^{2}+{\overline {\mathrm {BM} }}^{2}\right)}