아이젠슈타인 판정법

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아이젠슈타인 판정법(-判定法, Eisenstein's criterion)은 계수 다항식기약성에 대한 판정법이다. 고트홀트 아이젠슈타인의 이름이 붙어있다. 20세기 초까지는 테오도어 쇠네만(Theodor Schönemann)의 이름을 넣어 쇠네만-아이젠슈타인 정리라고도 불렸었다.[1][2]

서술[편집]

정계수다항식

에게 소수 p가 존재하여 세 조건

  1. pan을 나누지 않는다.
  2. pan - 1, ..., a1, a0 모두를 나눈다.
  3. p2a0을 나누지 않는다.

이 성립하면, f는 유리수 위에서 기약이다.[3] (정계수 다항식의 정수과 유리수체 위에서의 기약성은 서로 동치이기에,) f는 정수환 위에서도 기약이다. 세 조건을 만족하는 정계수 다항식을 아이젠슈타인 다항식(Eisenstein polynomial)이라고 부른다. 이때 판정법은 '모든 아이젠슈타인 다항식은 기약이다'로 서술된다.

비(非)아이젠슈타인 다항식은 때로 xx + c(cQ)로 대신하는, 기약성을 보존하는 치환을 통해 아이젠슈타인 다항식으로 전환된다. 이러한 치환은 판정법의 적용 범위를 넓혀준다.

조건들을 '거꾸로' 충족해도 결론이 성립한다. 즉 pa0, p | ai (i0), p2an인 소수 p가 있으면, f는 유리수 위에서 기약이다.

증명[편집]

n차 아이젠슈타인 다항식 f가 기약이 아니라고 가정하자. 그러면 m(0 < m < n)차, n - m차 다항식 g, h가 존재하여 f = gh이다. bi, ci를 각각 g, hi차항 계수라고 하면, 곱의 머리항과 상수항은

이다. pan을 나누지 않으므로, bmcn - m도 못 나눈다. pa0을 한 번만 나누므로, pb0, c0 중 하나만 나눈다. 그러므로 b0은 나누고 c0은 나누지 않는다고 가정해도 무방하다. 이에 따라, b0, ..., bk - 1p로 나누어지고 bk는 그렇지 않게끔 0 < km를 취할 수 있다(정확히는 k = min{i : p ∤ bi}). 이때

이고, bkc0p로 나누어지지 않으므로(pbkc0를 나누지 못 하기 때문), akp로 나누어지지 않는다. 그러나 km < n이므로, 명제의 전제에 의해 akp로 나누어져야 한다. 이는 모순이며, 따라서 f가 기약이 아니라는 가정은 참이 아니다.

응용[편집]

  • Q[x](유리수체 위의 다항식환)이 임의 차수의 기약다항식을 갖춘다는 것은 아이젠슈타인 판정법으로 설명된다: 예를 들면, 임의의 양의 정수 n에 대해, xn + 2는 아이젠슈타인 다항식이며, 따라서 Q[x] 위의 기약다항식이다.
  • p - 1(p는 소수)차 원분다항식 이 기약다항식임은 이 아이젠슈타인 다항식이라는 사실로부터 온다. 여기서 (kp)은, pk!이 서로소임에 따라 이므로 p로 나누어진다. f(x) 자신은 아이젠슈타인 다항식이 아니다.
  • 제곱인수가 없는 정수 mn(n > 1)제곱근(nm)은 항상 무리수이다. n차 아이젠슈타인 다항식 xn - m의 근이기 때문이다.

같이 보기[편집]

각주[편집]

  1. David A. Cox, "Why Eisenstein proved the Eisenstein criterion and why Schönemann discovered it first", American Mathematical Monthly 118 Vol 1, January 2011, pp. 3–31.
  2. H. L. Dorwart, Irreducibility of polynomials, American Mathematical Monthly 42 Vol 6 (1935), 369–381, doi:10.2307/2301357.
  3. John B. Fraleigh, Victor Katz, A First Course In Abstract Algebra, Addison-Wesley, 2003, p.215.

참고 문헌[편집]

  • John B. Fraleigh, Victor Katz, A First Course In Abstract Algebra, Addison-Wesley, 2003.