반소 아이디얼

위키백과, 우리 모두의 백과사전.
(아이디얼의 근에서 넘어옴)
이동: 둘러보기, 검색

환론에서, 반소 아이디얼(半素ideal, 영어: semiprime ideal)은 소 아이디얼들의 교집합이다. 주어진 양쪽 아이디얼을 포함하는 최소의 반소 아이디얼을 그 소근기(素根基, 영어: prime radical)라고 한다.

정의[편집]

소근기[편집]

R 속의 양쪽 아이디얼 \mathfrak a\subseteq R소근기(素根基, 영어: prime radical) 또는 단순히 근기(根基, 영어: radical) \sqrt{\mathfrak a}는 이를 포함하는 모든 소 아이디얼들의 교집합이다.[1]:156, Theorem 10.7 즉, 다음과 같은 양쪽 아이디얼이다.

\sqrt{\mathfrak a}=\bigcap\{\mathfrak p\in\operatorname{Spec}R\colon\mathfrak a\subseteq\mathfrak p\}
\subseteq\{r\in R\colon\exists n\in\mathbb Z^+\colon r^n\in\mathfrak a\}

여기서 \operatorname{Spec}RR소 아이디얼들의 집합이다. 양쪽 아이디얼의 소근기는 이는 항상 반소 아이디얼이며, \mathfrak a를 포함하는 최소의 반소 아이디얼이다. (이 개념은 가군의 근기와 다른 개념이다.)

가환환의 경우[편집]

가환환의 경우, 다음 집합들이 모두 일치한다.

  • \sqrt{\mathfrak a}
  • \{r\in R|\exists n\in\mathbb Z^+\colon r^n\in\mathfrak a\}. 즉, 충분히 거듭제곱하면 \mathfrak a의 원소가 되는 것들의 집합이다.
  • R/\mathfrak a멱영원들의 집합 N에 대하여, \{r\in R\colon [r]\in N\}. 즉, 몫환에서 멱영원이 되는 것들의 집합이다.

가환환의 아이디얼의 소근기는 자리스키 위상폐포 연산자와 같다.

반소 아이디얼[편집]

R 속의 양쪽 아이디얼 \mathfrak a\subseteq R에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 양쪽 아이디얼반소 아이디얼(半素ideal, 영어: semiprime ideal) 또는 근기 아이디얼(根基ideal, 영어: radical ideal)이라고 한다.

  • 임의의 양쪽 아이디얼 \mathfrak b\subseteq R에 대하여, 만약 어떤 양의 정수 n에 대하여 \mathfrak b^n\subseteq\mathfrak a라면, \mathfrak b\subseteq\mathfrak a이다.[1]:157, Definition 10.8
  • 임의의 왼쪽 아이디얼 B\subseteq R에 대하여, 만약 어떤 양의 정수 n에 대하여 B^n\subseteq\mathfrak a라면, \mathfrak b\subseteq\mathfrak a이다.[1]:157, Proposition 10.9(4)
  • 임의의 오른쪽 아이디얼 B\subseteq R에 대하여, 만약 어떤 양의 정수 n에 대하여 B^n\subseteq\mathfrak a라면, \mathfrak b\subseteq\mathfrak a이다.[1]:157, Proposition 10.9(4)′
  • 임의의 r\in R에 대하여, 만약 rRr\subseteq\mathfrak a라면 r\in\mathfrak a이다.[1]:157, Proposition 10.9(3)
  • R\setminus\mathfrak a는 n-계를 이룬다.
  • \mathfrak a=\bigcap\mathcal P인, 소 아이디얼들의 집합 \mathcal P\subseteq\operatorname{Spec}R이 존재한다.[1]:157, Proposition 10.11(2)
  • 스스로의 소근기와 같다. 즉, \mathfrak a=\sqrt{\mathfrak a}이다.[1]:157, Proposition 10.11(3)

여기서 \operatorname{Spec}RR소 아이디얼들의 집합이며, n-계(영어: n-system)란 다음 조건을 만족시키는 부분 집합 S\subseteq R이다.

\forall s\in S\exists r\in R\colon srs\in S

가환환의 경우[편집]

가환환 R아이디얼 \mathfrak a에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이다.

  • 반소 아이디얼이다.
  • 임의의 r\in R 및 양의 정수 n\in\mathbb Z^+에 대하여, 만약 r^n\in\mathfrak a라면 r\in\mathfrak a이다.
  • 임의의 r\in R\setminus\mathfrak a에 대하여, \{r,r^2,r^3,\dots\}\subseteq R\setminus\mathfrak a이다.

성질[편집]

양쪽 아이디얼에 대하여, 다음과 같은 함의 관계가 존재한다.

완전 소 아이디얼소 아이디얼 ⊂ 반소 아이디얼 ⊂ 양쪽 아이디얼

가환환아이디얼에 대하여, 다음과 같은 함의 관계가 존재한다.

극대 아이디얼완전 소 아이디얼 = 소 아이디얼 반소 아이디얼
으뜸 아이디얼 아이디얼

사실, 가환환아이디얼의 경우 소 아이디얼인 것은 으뜸 아이디얼이자 반소 아이디얼인 것과 동치이다.

영 아이디얼의 소근기 \sqrt{(0)}하영근기 또는 (가환환의 경우) 단순히 영근기라고 하며, 가환환의 경우 이는 멱영원들의 집합과 같다.

영 아이디얼이 반소 아이디얼인 반소환이라고 하며, 가환환의 경우 이는 축소환인 것과 동치이다.

[편집]

정수환[편집]

정수환 \mathbb Z에서, (n)이 반소 아이디얼일 필요충분조건은 n제곱 인수가 없는 정수 또는 0인 것이다. 특히, (0)이 반소 아이디얼이므로 정수환은 반소환이다. 정수환 \mathbb Z의 경우, 아이디얼 \mathbb Z/m의 소근기는 다음과 같다.

\sqrt{\mathbb Z/m}=\mathbb Z/\left(\prod_{p\mid m}p\right)

여기서 \prod_{p\mid m}pm의 소인수들의 곱이다. 예를 들어

\sqrt{\mathbb Z/12}=\mathbb Z/6

이다.

다항식환[편집]

대수적으로 닫힌 체 K 위의 다항식환 K[x]주 아이디얼 정역이므로, 모든 아이디얼은 주 아이디얼이다. 다항식

\prod_{i=1}^k(x-a_i)^{n_i}\in K[x]\qquad(i\ne j\implies a_i\ne a_j)

으로 생성되는 주 아이디얼의 소근기는 다음과 같다.

\sqrt{\left(\prod_{i=1}^k(x-a_i)^{n_i}\right)}=\prod_{i=1}^k(x-a_i)

데데킨트 정역[편집]

보다 일반적으로, 데데킨트 정역 R에서, 영 아이디얼이나 R가 아닌 아이디얼은 소 아이디얼로 인수 분해되어

\prod_{\mathfrak p\in\operatorname{Spec}R}\mathfrak p^{n(\mathfrak p)}

의 꼴로 유일하게 나타내어진다. 이 아이디얼의 소근기는 다음과 같다.

\sqrt{\prod_{\mathfrak p\in\operatorname{Spec}R}\mathfrak p^{n(\mathfrak p)}}
=\prod_{\mathfrak p\in\operatorname{Spec}R}\mathfrak p

역사[편집]

반소 아이디얼(독일어: Halbprimideal 할프프림이데알[*])의 개념은 가환환의 경우 볼프강 크룰이 도입하였고,[2]:735, §2 일반적 의 경우 나가타 마사요시가 도입하였다.[3]:331, Definition 0

참고 문헌[편집]

  1. Lam, Tsit-Yuen (2001). 《A first course in noncommutative rings》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 131 2판. Springer. doi:10.1007/978-1-4419-8616-0. ISBN 978-0-387-95183-6. ISSN 0072-5285. 
  2. Krull, Wolfgang (1929). “Idealtheorie in Ringen ohne Endlichkeitsbedingung”. 《Mathematische Annalen》 (독일어) 101: 729–744. doi:10.1007/BF01454872. ISSN 0025-5831. 
  3. Nagata, Masayoshi (1951년 12월). “On the theory of radicals in a ring”. 《Journal of the Mathematical Society of Japan》 (영어) 3 (2): 330–344. doi:10.2969/jmsj/00320330. ISSN 0025-5645. MR 0047619. Zbl 0045.16003. 

바깥 고리[편집]