반소 아이디얼

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환론에서, 반소 아이디얼(半素ideal, 영어: semiprime ideal)은 소 아이디얼들의 교집합이다. 주어진 양쪽 아이디얼을 포함하는 최소의 반소 아이디얼을 그 소근기(素根基, 영어: prime radical)라고 한다.

정의[편집]

소근기[편집]

속의 양쪽 아이디얼 소근기(素根基, 영어: prime radical) 또는 단순히 근기(根基, 영어: radical) 는 이를 포함하는 모든 소 아이디얼들의 교집합이다.[1]:156, Theorem 10.7 즉, 다음과 같은 양쪽 아이디얼이다.

여기서 소 아이디얼들의 집합이다. 양쪽 아이디얼의 소근기는 이는 항상 반소 아이디얼이며, 를 포함하는 최소의 반소 아이디얼이다. (이 개념은 가군의 근기와 다른 개념이다.)

가환환의 경우[편집]

가환환의 경우, 다음 집합들이 모두 일치한다.

  • . 즉, 충분히 거듭제곱하면 의 원소가 되는 것들의 집합이다.
  • 멱영원들의 집합 에 대하여, . 즉, 몫환에서 멱영원이 되는 것들의 집합이다.

가환환의 아이디얼의 소근기는 자리스키 위상폐포 연산자와 같다.

반소 아이디얼[편집]

속의 양쪽 아이디얼 에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 양쪽 아이디얼반소 아이디얼(半素ideal, 영어: semiprime ideal) 또는 근기 아이디얼(根基ideal, 영어: radical ideal)이라고 한다.

  • 임의의 양쪽 아이디얼 에 대하여, 만약 어떤 양의 정수 에 대하여 라면, 이다.[1]:157, Definition 10.8
  • 임의의 왼쪽 아이디얼 에 대하여, 만약 어떤 양의 정수 에 대하여 라면, 이다.[1]:157, Proposition 10.9(4)
  • 임의의 오른쪽 아이디얼 에 대하여, 만약 어떤 양의 정수 에 대하여 라면, 이다.[1]:157, Proposition 10.9(4)′
  • 임의의 에 대하여, 만약 라면 이다.[1]:157, Proposition 10.9(3)
  • 는 n-계를 이룬다.
  • 인, 소 아이디얼들의 집합 이 존재한다.[1]:157, Proposition 10.11(2)
  • 스스로의 소근기와 같다. 즉, 이다.[1]:157, Proposition 10.11(3)

여기서 소 아이디얼들의 집합이며, n-계(영어: n-system)란 다음 조건을 만족시키는 부분 집합 이다.

가환환의 경우[편집]

가환환 아이디얼 에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이다.

  • 반소 아이디얼이다.
  • 임의의 및 양의 정수 에 대하여, 만약 라면 이다.
  • 임의의 에 대하여, 이다.

성질[편집]

양쪽 아이디얼에 대하여, 다음과 같은 함의 관계가 존재한다.

완전 소 아이디얼소 아이디얼 ⊂ 반소 아이디얼 ⊂ 양쪽 아이디얼

가환환아이디얼에 대하여, 다음과 같은 함의 관계가 존재한다.

극대 아이디얼완전 소 아이디얼 = 소 아이디얼 반소 아이디얼
으뜸 아이디얼 아이디얼

사실, 가환환아이디얼의 경우 소 아이디얼인 것은 으뜸 아이디얼이자 반소 아이디얼인 것과 동치이다.

영 아이디얼의 소근기 하영근기 또는 (가환환의 경우) 단순히 영근기라고 하며, 가환환의 경우 이는 멱영원들의 집합과 같다.

영 아이디얼이 반소 아이디얼인 반소환이라고 하며, 가환환의 경우 이는 축소환인 것과 동치이다.

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정수환[편집]

정수환 에서, 이 반소 아이디얼일 필요충분조건은 제곱 인수가 없는 정수 또는 0인 것이다. 특히, 이 반소 아이디얼이므로 정수환은 반소환이다. 정수환 의 경우, 아이디얼 의 소근기는 다음과 같다.

여기서 의 소인수들의 곱이다. 예를 들어

이다.

다항식환[편집]

대수적으로 닫힌 체 위의 다항식환 주 아이디얼 정역이므로, 모든 아이디얼은 주 아이디얼이다. 다항식

으로 생성되는 주 아이디얼의 소근기는 다음과 같다.

데데킨트 정역[편집]

보다 일반적으로, 데데킨트 정역 에서, 영 아이디얼이나 가 아닌 아이디얼은 소 아이디얼로 인수 분해되어

의 꼴로 유일하게 나타내어진다. 이 아이디얼의 소근기는 다음과 같다.

역사[편집]

반소 아이디얼(독일어: Halbprimideal 할프프림이데알[*])의 개념은 가환환의 경우 볼프강 크룰이 도입하였고,[2]:735, §2 일반적 의 경우 나가타 마사요시가 도입하였다.[3]:331, Definition 0

참고 문헌[편집]

  1. Lam, Tsit-Yuen (2001). 《A first course in noncommutative rings》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 131 2판. Springer. doi:10.1007/978-1-4419-8616-0. ISBN 978-0-387-95183-6. ISSN 0072-5285. 
  2. Krull, Wolfgang (1929). “Idealtheorie in Ringen ohne Endlichkeitsbedingung”. 《Mathematische Annalen》 (독일어) 101: 729–744. doi:10.1007/BF01454872. ISSN 0025-5831. 
  3. Nagata, Masayoshi (1951년 12월). “On the theory of radicals in a ring”. 《Journal of the Mathematical Society of Japan》 (영어) 3 (2): 330–344. doi:10.2969/jmsj/00320330. ISSN 0025-5645. MR 0047619. Zbl 0045.16003. 

바깥 고리[편집]