아벨 극한 정리

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해석학에서, 아벨 극한 정리(-極限定理, 영어: Abel's limit theorem)는 수렴 영역의 어떤 경계점에서 수렴하는 멱급수의 성질에 대한 정리이다.[1]:41-42, §2.5

정의[편집]

중심이 0인 실수 멱급수

수렴 반지름이라고 하자. 아벨 극한 정리에 따르면, 만약

이 수렴한다면, 다음이 성립한다.[2]:177, §20, Theorem 100

또한, 만약

이 수렴한다면, 다음이 성립한다.[2]:178, §20

증명[편집]

편의상 이고[3]:220, §11.2

이 수렴한다고 가정하자. 이 경우 멱급수가 에서 균등 수렴함을 보이는 것으로 족하다. 두 함수열 를 다음과 같이 정의하자.

그렇다면,

에서 균등 수렴하고, 임의의 에 대하여, 는 감소 수열이다. 또한, 임의의 에 대하여,

이다. 아벨 판정법에 의하여,

에서 균등 수렴한다.

따름정리[편집]

아벨 극한 정리에 따라, 만약 실수 멱급수가 수렴 구간의 오른쪽 끝점에서 수렴한다면 이 끝점에서 좌연속 함수이고, 왼쪽 끝점에서 수렴한다면 이 끝점에서 우연속 함수이다. 즉, 실수 멱급수는 전체 수렴 구간에서 연속 함수이다.[3]:221, §11.2, 따름정리2 그러나, 복소수 멱급수는 수렴 영역의 경계점에서 수렴하더라도, 이 경계점에서 연속 함수가 아닐 수 있다.

[편집]

아벨 극한 정리는 급수를 적분으로 변환시켜 구할 때 종종 이용된다. 이는 아벨의 합 공식이상 적분을 변수를 포함하는 이상 적분의 극한으로 변환시켜 구하는 것과 비슷하다. 예를 들어, 급수

를 계산해 보자. (이 급수는 교대급수 판정법에 의하여 수렴한다.) 다음과 같은 함수 를 정의하자.

그렇다면, 아벨 극한 정리에 의하여 는 연속 함수이다. 임의의 에 대하여

이므로, 임의의 에 대하여

이다. 따라서,

이다.

일반화[편집]

경계점에서 무한대로 발산하는 경우[편집]

중심이 0이고 모든 계수가 음이 아닌 실수인 멱급수

의 수렴 반지름이 이고,

라고 하자. 그렇다면, 다음이 성립한다.[2]:178, §20

경계점에서 수렴하지 않는 경우[편집]

중심이 0인 실수 멱급수

수렴 반지름라고 하자. 그렇다면, 다음이 성립한다.[2]:189, Exercise 70

복소수의 경우[편집]

중심이 0인 복소수 멱급수

의 수렴 반지름이 이고, 인 어떤 에 대하여

이 수렴한다고 하자. 그렇다면, 다음이 성립한다.

보다 일반적으로, 곡선 가 다음을 만족시킨다고 하자. (여기서 열린 공이다.)

그렇다면, 다음이 성립한다.[1]:41, §2.5, Theorem 3

역사[편집]

독일의 수학자 카를 프리드리히 가우스가 처음 제시하였다. 그러나 가우스가 제시한 증명은 증명되지 않은 결론을 사용하는 오류를 포함한다. 노르웨이의 수학자 닐스 헨리크 아벨의 이름을 땄다.

각주[편집]

  1. Ahlfors, Lars V. (1979). 《Complex Analysis》 (영어) 3판. McGraw-Hill. ISBN 978-1-259-06482-1. 
  2. Knopp, Konrad (1954). 《Theory and Application of Infinite Series》 (영어). 번역 Young, R. C. H. 2판. Glasgow: Blackie & Son. 
  3. 伍胜健 (2010년 2월). 《数学分析》 (중국어) 2 1판. 北京大学出版社. ISBN 978-7-301-15876-0. 

참고 문헌[편집]

  • 김락중; 박종안; 이춘호; 최규흥 (2007). 《해석학 입문》 3판. 경문사. ISBN 978-8-96-105054-8. 

외부 링크[편집]