아다마르 행렬

선형대수학에서 아다마르 행렬(또는 하다마드 행렬, Hadamard行列, 영어: Hadamard matrix)은 모든 성분이 ±1이며, 행벡터들과 열벡터들이 각각 서로 직교하는 정사각 행렬이다.

정의

실수 성분 $n\times n$ 정사각 행렬 $M\in \operatorname {Mat} (n,n;\mathbb {R} )$에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 $M$을 아다마르 행렬이라고 한다.

• 모든 성분이 $\pm 1$이며, $M/{\sqrt {n}}$은 직교 행렬이다.
• 모든 성분이 $\pm 1$이며, 모든 행벡터가 서로 직교한다. 즉, 임의의 $i,i'\in \{1,\dotsc ,n\}$에 대하여 $\textstyle \sum _{j=1}^{n}M_{ij}M_{i'j}=n\delta _{ij}$이다. 즉, $MM^{\top }=n1_{n\times n}$이다.
• 모든 성분이 $\pm 1$이며, 모든 열벡터가 서로 직교한다. 즉, 임의의 $j,j'\in \{1,\dotsc ,n\}$에 대하여 $\textstyle \sum _{i=1}^{n}M_{ij}M_{ij'}=n\delta _{jj'}$이다. 즉, $M^{\top }M=n1_{n\times n}$이다.
• 모든 성분이 절댓값 1 이하의 실수이며, $\det M=\pm n^{n/2}$이다.

여기서 $\delta$는 크로네커 델타이다.

아다마르 설계

첫째 행과 첫째 열이 모두 +1만으로 구성된 아다마르 행렬을 표준형 아다마르 행렬(標準型Hadamard行列, 영어: standard Hadamard matrix)이라고 한다. 모든 아다마르 행렬은 행 및 열의 순열 및 −1을 곱하는 것을 통해 표준형으로 만들 수 있다.

$n\times n$ 표준형 아다마르 행렬 $M_{n\times n}$이 주어졌을 때,

1. 첫째 행과 첫째 열을 제거하고,
2. 성분을 $(+1,-1)\mapsto (+1,0)$으로 치환하자.

그렇다면, 성분이 0 또는 1인 $(n-1)\times (n-1)$ 정사각 행렬을 얻는다.

만약 $n$이 4의 배수일 경우, 이 $(n-1)\times (n-1)$ 행렬은 $(t=2,n/2-1,n-1)$-블록 설계의 결합 행렬을 이루며,

$\lambda _{0}=n-1$

$\lambda _{1}=n/2-1$

$\lambda _{2}=n/4-1$

이다. 즉,

• $n-1$개의 블록이 있으며,
• 모든 점은 $n/2-1$개의 블록에 속하며,
• 서로 다른 임의의 두 점은 $n/4-1$개의 블록에 공통적으로 속한다.

이를 아다마르 설계(Hadamard設計, 영어: Hadamard design)라고 한다.

반대로, $\lambda _{0}=n-1$인 $(2,n/2,n-1)$-블록 설계가 주어졌을 때, 위와 같이 표준형 아다마르 행렬을 재구성할 수 있다.

성질

존재

임의의 자연수 $n\in \mathbb {N}$에 대하여, $n\times n$ 아다마르 행렬이 존재할 필요 조건은 다음과 같다.

$n\in \{1,2\}$이거나, 또는 $n$은 4의 배수이다.

이 조건이 필요 충분 조건이라는 추측은 아다마르 추측(Hadamard推測, 영어: Hadamard conjecture)이라고 하며, 아직 증명되거나 반증되지 못했다. 다만, 적어도 $n<668$에 대해서는 위 조건이 필요 충분 조건이다.

$n\times n$ 아다마르 행렬이 존재하기 위한 알려진 충분 조건은 다음이 있다.

• $n$은 다음과 같은 꼴의 양의 정수들의 곱이다.
  • 2
  • $q+1$, $q\equiv 3{\pmod {4}}$, $q$는 소수의 거듭제곱
  • $2(q+1)$, $q\equiv 1{\pmod {4}}$, $q$는 소수의 거듭제곱

행렬식

행렬 공간 ${\mathcal {X}}_{n}=\{M\in \operatorname {Mat} (n,n;\mathbb {R} )\colon |M_{ij}|\leq 1\;\forall i,j\}$을 정의하자. 그렇다면, 아다마르 부등식(영어: Hadamard inequality)에 따르면,

$\forall M\in {\mathcal {X}}_{n}\colon |\det M|\leq n^{n/2}$

이다.

$n\times n$ 아다마르 행렬의 행렬식은 $\pm n^{n/2}$이다. 즉, 만약 $n\times n$ 아다마르 행렬이 존재한다면, 이는 ${\mathcal {X}}_{n}$ 위에서 행렬식 절댓값 함수 $M\mapsto |\det M|$를 최대화한다.

정칙 아다마르 행렬

$n\times n$ 아다마르 행렬 $H$의 초과량(超過量, 영어: excess)은 그 모든 성분들의 합이다.

$\operatorname {E} (H)=\sum _{i,j}H_{i,j}\in \mathbb {Z}$

이는 다음과 같은 상계를 갖는다.

$|\operatorname {E} (H)|\leq n^{3/2}$

$n\times n$ 아다마르 행렬 $H$에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 아다마르 행렬을 정칙 아다마르 행렬(영어: regular Hadamard matrix)이라고 한다.

• $\operatorname {E} (H)=n^{3/2}$
• 각 행의 합과 각 열의 합이 각각 일정하다. 즉, 임의의 $i,i'\in \{1,2,\dotsc ,n\}$에 대하여, $\textstyle \sum _{j=1}^{n}(M_{i,j}-M_{i',j})=\sum _{j=1}^{n}(M_{j,i}-M_{j,i'})=0$이다.

정칙 아다마르 행렬의 크기는 항상 제곱수이다. 즉, $1\times 1$ 또는 $4m^{2}\times 4m^{2}$의 꼴이다.

연산

만약 $H$가 아다마르 행렬이라면, $-H$ 역시 아다마르 행렬이다. 보다 일반적으로, 아다마르 행렬에 다음 연산을 가해도 아다마르 행렬을 이룬다.

• 임의의 한 열에 −1을 곱하기
• 임의의 한 행에 −1을 곱하기
• 열의 순서를 뒤바꾸기
• 행의 순서를 뒤바꾸기

실베스터 구성

임의의 두 아다마르 행렬

$H_{m\times m}\in \operatorname {Mat} (m,m;\mathbb {R} )$

$H_{n\times n}\in \operatorname {Mat} (n,n;\mathbb {R} )$

이 주어졌을 때, 그 크로네커 곱

$H_{m\times m}\otimes H_{n\times n}=H_{mn\times mn}$

은 역시 아다마르 행렬이다. 특히,

$H_{2\times 2}={\begin{pmatrix}1&1\\1&-1\end{pmatrix}}$

를 사용하여, 크기 $2^{k}$의 아다마르 행렬들을 구성할 수 있다. 이를 실베스터 구성(영어: Sylvester’s construction)이라고 한다.

이에 따라,

$H_{1\times 1}={\begin{pmatrix}1\end{pmatrix}}$

로부터 시작하여 $2^{k}\times 2^{k}$ 크기의 아다마르 행렬들을 구성할 수 있다.

페일리 구성

페일리 구성(영어: Paley construction)은 유한체를 사용하여 아다마르 행렬을 구성하는 방법이다.

$q$가 홀수 소수의 거듭제곱이라고 하자. 이제, 함수

$\chi \colon \mathbb {F} _{q}\to \{-1,0,1\}$

$\chi \colon a\mapsto {\begin{cases}0&a=0\\1&a\in \{a^{2}\colon a\in \mathbb {F} _{q}^{\times }\}\\-1&a\not \in \{a^{2}\colon a\in \mathbb {F} _{q}\}\end{cases}}$

를 정의하자. (여기서 $\mathbb {F} _{q}$는 유한체이다.)

이제, 임의의 전단사 함수

$\{1,2,\dotsc ,q\}\to \mathbb {F} _{q}$

$i\mapsto a_{i}$

를 고르자. 그렇다면, $q\times q$ 행렬

$Q_{ij}=\chi (a_{i}-a_{j})$

를 정의할 수 있다. 이를 야콥스탈 행렬(영어: Jacobsthal matrix)이라고 한다. 만약 $q\equiv 1{\pmod {4}}$일 경우 $-1\in \mathbb {F} _{q}$은 제곱수이며, $Q$는 대칭 행렬이다 ($Q_{ij}=Q_{ji}$). 반면, 만약 $q\equiv 3{\pmod {4}}$일 경우 $-1$은 제곱수가 아니며, $Q$는 반대칭 행렬이다 ($Q_{ij}=-Q_{ji}$).

이제, $(q+1)\times (q+1)$ 행렬

$M_{(q+1)\times (q+1)}={\begin{pmatrix}0&j_{1\times q}\\-j_{q\times 1}&Q_{q\times q}\end{pmatrix}}$

을 정의할 수 있다. 여기서

$j_{1\times q}={\begin{pmatrix}1&1&\dotsm &1\end{pmatrix}}$

$j_{q\times 1}={\begin{pmatrix}1\\1\\\vdots \\1\end{pmatrix}}$

이다.

만약 $q\equiv 3{\pmod {4}}$일 경우, $H_{(q+1)\times (q+1)}=1_{(q+1)\times (q+1)}+M_{(q+1)\times (q+1)}$ 는 $(q+1)\times (q+1)$ 아다마르 행렬이다.

만약 $q\equiv 1{\pmod {4}}$일 경우, $M$의 각 성분을

$0\mapsto {\begin{pmatrix}1&-1\\-1&-1\end{pmatrix}}$

$\pm 1\mapsto \pm {\begin{pmatrix}1&1\\1&-1\end{pmatrix}}$

로 치환하면, $2(q+1)\times 2(q+1)$ 아다마르 행렬을 얻는다.

예

1×1 행렬

${\begin{pmatrix}1\end{pmatrix}}$

및

${\begin{pmatrix}-1\end{pmatrix}}$

은 아다마르 행렬이다. 이는 추가로 정칙 아다마르 행렬이다.

2×2 행렬

${\begin{pmatrix}1&1\\1&-1\end{pmatrix}}$

은 표준형 아다마르 행렬이지만, 정칙 아다마르 행렬이 아니다.

역사

1867년에 제임스 조지프 실베스터가 $2^{k}\times 2^{k}$ 크기의 아다마르 행렬을 최초로 구성하였다. 이후 1893년에 자크 아다마르가 행렬의 행렬식의 절댓값의 최댓값의 상계를 발표하였으며, 이 때문에 이를 포화시키는 행렬이 “아다마르 행렬”이라고 불리게 되었다.

1933년에 레이먼드 에드워드 앨런 크리스토퍼 페일리(영어: Raymond Edward Alan Christopher Paley, 1907~1933)가 유한체를 사용한 페일리 구성을 발견하였다.

같이 보기

• 윌리엄슨 형식
• 심플렉틱 행렬

외부 링크

• “Hadamard matrix”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Hadamard theorem”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Hadamard matrix”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Hadamard's maximum determinant problem”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Paley construction”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Paley's theorem”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• 이철희. “아다마르 행렬 (Hadamard matrix)”. 《수학노트》. 
• 차재복 (2016년 10월 17일). “하다마드 행렬, 아다마르 행렬, Hadamard 행렬”. 《정보통신기술용어해설》. 
• Sloane, Neil J. A. “A library of Hadamard matrices” (영어). 
• Gupta, V. K.; Parsad, Rajender; Dhandapani, A. “Hadamard Matrix (Beta)” (영어). 2016년 3월 5일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2017년 5월 22일에 확인함.