줄기 (수학)

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이론에서, 줄기(영어: stalk, 프랑스어: fibre)는 어떤 이 어떤 한 점에서 가질 수 있는 값들의 공간이다. 줄기들의 집합은 에탈레 공간(영어: étalé space, 프랑스어: espace étalé)을 이룬다.

정의[편집]

위상 공간 X 위의, 범주 \mathcal C의 값을 갖는 준층 \mathcal F가 주어졌을 때, \mathcal F의 점 x\in X에서의 줄기 \mathcal F_xx의 모든 열린 근방에 대하여 취한, 다음과 같은 귀납적 극한이다.

\mathcal F_x=\varinjlim_{U\ni x}\Gamma(U;\mathcal F)\in\operatorname{Ob}(\mathcal C)

이러한 귀납적 극한이 항상 존재할 필요는 없지만, 일반적으로 많이 쓰이는 경우인 \mathcal C집합이나 아벨 군이나 가환환의 범주인 경우에는 항상 존재한다. 정의에 따라, 점 x의 임의의 열린 근방 U\ni x에 대하여, 자연스러운 \mathcal C-사상

\phi_{U,x}\colon \Gamma(U;\mathcal F)\to\mathcal F_x

가 존재한다.

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\mathcal C구체적 범주라고 하자. 임의의 단면 s\in\Gamma(U;\mathcal F)에 대하여, \phi_{U,x}(s)\in\mathcal F_xsx에서의 (영어: germ) s라고 한다. 이는 수학의 다른 분야에서 쓰이는 의 개념을 일반화한 것이다. s_xsx에서의 국소적 정보를 담는다.

에탈레 공간[편집]

위상 공간 X 및 그 위의 집합 값을 갖는 준층 \mathcal F에 대하여, \mathcal F에탈레 공간은 다음 성질을 만족시키는 위상 공간 E_{\mathcal F}이다.

여기서, "에탈레"(프랑스어: étalé)는 에탈 코호몰로지·에탈 사상·에탈 기본군 등의 "에탈"(프랑스어: étale)과는 관계없는 개념이다.

구체적으로, \mathcal F의 에탈레 공간은 집합으로서 모든 줄기들의 분리합집합이다.

E_{\mathcal F}=\bigsqcup_{x\in X}\mathcal F_x

이 위에 다음과 같은 위상을 준다. 임의의 열린집합 U\subseteq X 및 단면 s\in\Gamma(U;\mathcal F)에 대하여,

U_s=\{s_x\in E\colon x\in U\}\subseteq E_{\mathcal F}

를 정의하자. 이는 위상 공간의 기저의 공리들을 만족시키며, 따라서, 이를 기저로 하는 위상을 줄 수 있다.

성질[편집]

에탈레 공간에서, 각 줄기 \mathcal F_x\subseteq E_{\mathcal F}이산 공간을 이룬다.

다양체 위의 실수값 연속 함수의 층이나, 매끄러운 다양체 위의 실수값 매끄러운 함수의 에탈레 공간은 하우스도르프 공간이 아니다.

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일부 층들에 대해서는 싹은 잘 작동하지만, 일부 경우는 그렇지 않다. 예를 들어, 해석 함수의 어떤 점에서의 싹은, 그 점 주변에서의 그 함수의 행동을 완전하게 결정해 버린다. 이것은 복소 해석학테일러 급수에 관한 정리에서 쉽게 알 수 있다. 반면, 매끄러운 함수에 대해서 어떤 점에서의 싹을 보는 경우, 이 주변에서의 함수의 행동에 대해서 이 싹이 아무런 정보도 주지 못한다. 예를 들어, 콤팩트 지지집합을 갖는 함수는 지지집합 밖에서의 싹만으로는 전혀 알 수 없다.

함수의 싹[편집]

위상 공간 X 및 집합 Y가 주어졌을 때, X\to Y 함수들의 층(또는 그 임의의 부분층, 예를 들어 Y에 위상울 주었을 때, 연속 함수의 층)을 생각하자. 이 경우, 싹은 구체적으로 다음과 같이 적을 수 있다. 함수의 집합에 다음과 같은 동치 관계를 정의하자. 임의의 열린집합 U,V\ni x 및 두 함수

f\colon U\to Y
g\colon V\to Y

에 대하여,

f|_W=g|_W

x근방 W\ni x, W\subseteq U\cap V가 존재한다면

f\sim_xg

라고 하자. 그렇다면 fx에서의 동치관계 \sim_x에 대한 동치류이다.

아핀 스킴 위의 준연접층[편집]

아핀 스킴 \operatorname{Spec}R 위의 준연접층R-가군에 대응한다. R-가군 M에 대응하는 준연접층의, 소 아이디얼 \mathfrak p\in\operatorname{Spec}R에서의 줄기는 국소화 M_{\mathfrak p}이다.

역사[편집]

싹의 개념은 고전적이다. 줄기의 개념은 1950년 카르탕 세미나에서 등장하였다.

"에탈레 공간"이라는 용어는 로제 고드망(프랑스어: Roger Godement)이 호몰로지 대수학에 대한 책과 층 이론에 대한 책 《대수적 위상수학과 층론》(프랑스어: Topologie álgebrique et théorie des faisceaux)에서 처음으로 사용하였다. 고드망은 을 에탈레 공간의 단면으로 정의하였으며, 준층을 사용하는 층의 현대적인 정의는 비교적 최근에 등장하였다.

바깥 고리[편집]

같이 보기[편집]