역삼각 함수

수학에서 역삼각함수(逆三角函數, 영어: inverse trigonometric function)는 삼각 함수의 역함수이다. 삼각 함수는 전단사 함수(또는 일대일 대응 함수)가 아니기 때문에 이의 역함수를 정의하려면 정의역을 제한하는 것이 필요하다.

정의

아래는 역삼각함수들의 정의와 표기법, 정의역과 치역들을 나타낸 표이다.

이름	표기법		정의	정의역	치역 (라디안)	미분
아크사인	$y=\arcsin x$	$y=\sin ^{-1}x$	$x=\sin y$	$-1\leq x\leq 1$	$-{\frac {\pi }{2}}\leq y\leq {\frac {\pi }{2}}$	$y\prime ={1 \over {\sqrt {1-x^{2}}}}$
아크코사인	$y=\arccos x$	$y=\cos ^{-1}x$	$x=\cos y$	$-1\leq x\leq 1$	$0\leq y\leq \pi$	$y\prime =-{1 \over {\sqrt {1-x^{2}}}}$
아크탄젠트	$y=\arctan x$	$y=\tan ^{-1}x$	$x=\tan {y}$	모든 실수	$-{\frac {\pi }{2}}<y<{\frac {\pi }{2}}$	$y\prime ={1 \over 1+x^{2}}$
아크코탄젠트	$y=\operatorname {arccot} x$	$y=\cot ^{-1}x$	$x=\cot {y}$	모든 실수	$0<y<\pi$	$y\prime =-{1 \over 1+x^{2}}$
아크시컨트	$y=\operatorname {arcsec} x$	$y=\sec ^{-1}x$	$x=\sec {y}$	$x\leq -1$ 또는 $x\geq 1$	$0\leq y<{\frac {\pi }{2}}$ 또는 ${\frac {\pi }{2}}<y\leq \pi$	$y\prime ={1 \over \left\vert x\right\vert {\sqrt {x^{2}-1}}}$
아크코시컨트	$y=\operatorname {arccsc} x$	$y=\csc ^{-1}x$	$x=\csc {y}$	$x\leq -1$ 또는 $x\geq 1$	$-{\frac {\pi }{2}}\leq y<0$ 또는 $0<y\leq {\frac {\pi }{2}}$	$y\prime =-{1 \over \left\vert x\right\vert {\sqrt {x^{2}-1}}}$

일부 저자는 아크시컨트의 치역이 ( $0\leq y<\pi /2$ 또는 $\pi <y\leq 3\pi /2$ )가 되도록 정의하기도 한다. 이렇게 하면 탄젠트가 그 정의역에서 음이 아니게 되고 일부 계산이 더 일관되게 된다. 예를 들어, 이 치역에서는 $\tan(\operatorname {arcsec}(x))={\sqrt {x^{2}-1}}$ 가 되지만 치역 ( $0\leq y<\pi /2$ 또는 $\pi /2<y\leq \pi$ )에서는 $\tan(\operatorname {arcsec}(x))=\pm {\sqrt {x^{2}-1}}$ 가 된다. 탄젠트가 $0\leq y<\pi /2$ 에서는 음이 아니지만 $\pi /2<y\leq \pi$ 에서는 양이 아니기 때문이다. 비슷한 이유로, 일부 저자는 아크코시컨트의 치역이 ( $-\pi <y\leq -\pi /2$ 또는 $0<y\leq \pi /2$ )가 되도록 정의하기도 한다.

정의역을 복소수로 두게 되면 위에서 치역의 범위는 실수부의 범위가 된다.

데카르트 좌표계에서 아크탄젠트를 구하는 이변수 함수인 $\operatorname {atan2}$ 는 다음과 같이 정의한다.

\operatorname {atan2} (y,x)={\begin{cases}\arctan \left({\frac {y}{x}}\right)&\quad x>0\\\arctan \left({\frac {y}{x}}\right)+\pi &\quad y\geq 0,\;x<0\\\arctan \left({\frac {y}{x}}\right)-\pi &\quad y<0,\;x<0\\{\frac {\pi }{2}}&\quad y>0,\;x=0\\-{\frac {\pi }{2}}&\quad y<0,\;x=0\\{\text{undefined}}&\quad y=0,\;x=0\end{cases}}

외부 링크

“Inverse trigonometric functions” (영어). 《Encyclopedia of Mathematics》. Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
“Arc function” (영어). 《Encyclopedia of Mathematics》. Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
Weisstein, Eric Wolfgang. “Inverse trigonometric functions” (영어). 《Wolfram MathWorld》. Wolfram Research.
Weisstein, Eric Wolfgang. “Inverse sine” (영어). 《Wolfram MathWorld》. Wolfram Research.
Weisstein, Eric Wolfgang. “Inverse cosine” (영어). 《Wolfram MathWorld》. Wolfram Research.
Weisstein, Eric Wolfgang. “Inverse tangent” (영어). 《Wolfram MathWorld》. Wolfram Research.
Weisstein, Eric Wolfgang. “Inverse cosecant” (영어). 《Wolfram MathWorld》. Wolfram Research.
Weisstein, Eric Wolfgang. “Inverse secant” (영어). 《Wolfram MathWorld》. Wolfram Research.
Weisstein, Eric Wolfgang. “Inverse cotangent” (영어). 《Wolfram MathWorld》. Wolfram Research.

같이 보기

역함수