실베스터 방정식

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제어이론에서 실베스터 방정식(Sylvester方程式, 영어:Sylvester Equation)은 다음과 같은 형태의 행렬 방정식을 말한다. [1]

A,B, 그리고 C는 주어진 행렬이고, 문제는 이 방정식을 따르는 행렬 X를 구하는 것이다. 모든 행렬은 복소수에서 계수를 가질 수 있다고 한다. 방정식이 성립하기 위하여, 행렬은 반드시 적절한 사이즈를 가져야 한다. 예를 들면 모든 행렬이 같은 크기의 정사각행렬이 되도록 하거나 말이다. 하지만 좀 더 일반적으로, 우리는 AB를 각각 nm 사이즈의 정사각행렬을 취하며, XC는 둘 다 nm열의 행렬을 취한다.

실베스터 방정식은 A-B가 공통된 고유값을 갖지 않을 때 X는 정확히 하나의 해를 가진다. 더 일반적으로는, AX+XB=C (아마도 무한한 차원의)바나흐 공간에서의 유계 작용소의 방정식으로 간주된다. 이 경우에는, X가 유일하게 존재하기 위한 조건은 ‘A-B스펙트럼서로소 집합일 때’로 거의 같다.[2]

해의 존재와 유일성[편집]

Roth의 제거 법칙[편집]

수치적 해[편집]

관련 항목[편집]

각주[편집]

  1. 이 방정식은 AX-XB=C의 형태로도 쓰인다.
  2. Bhatia and Rosenthal, 1997

참고 문헌[편집]

  • Sylvester, J. (1884). “Sur l’equations en matrices ”. 《C. R. Acad. Sc. Paris99 (2): 67–71, 115–116.  |title=에 지움 문자가 있음(위치 29) (도움말)
  • Bartels, R. H.; Stewart, G. W. (1972). “Solution of the matrix equation ”. 《Comm. ACM15 (9): 820–826. doi:10.1145/361573.361582.  |title=에 지움 문자가 있음(위치 33) (도움말)
  • Bhatia, R.; Rosenthal, P. (1997). “How and why to solve the operator equation  ?”. 《Bull. London Math. Soc.29 (1): 1–21. doi:10.1112/S0024609396001828.  |title=에 지움 문자가 있음(위치 45) (도움말)
  • Lee, S.-G.; Vu, Q.-P. (2011). “Simultaneous solutions of Sylvester equations and idempotent matrices separating the joint spectrum”. 《Linear Algebra Appl.435 (9): 2097–2109. doi:10.1016/j.laa.2010.09.034. 
  • Birkhoff and MacLane. 《A survey of Modern Algebra》. Macmillan. 213, 299쪽. 

외부 링크[편집]