시그마 대수

위키백과, 우리 모두의 백과사전.
(시그마-대수에서 넘어옴)
이동: 둘러보기, 검색

측도론에서, 시그마 대수(σ代數, 영어: sigma-algebra)는 가산 상한하한을 갖는 불 대수이다. 시그마 대수의 원소 위에 측도를 정의할 수 있다.

정의[편집]

시그마 대수[편집]

불 대수 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 불 대수(추상적) 시그마 대수(영어: (abstract) sigma-algebra)라고 한다.[1]:§2.3[2]:Definition 1

시그마 대수 준동형[편집]

두 시그마 대수 , 사이의 시그마 대수 준동형(영어: sigma-algebra homomorphism) 은 다음 조건들을 만족시키는 함수이다.

  • 임의의 가산 부분 집합 에 대하여, 이다. (특히, 일 경우, 이다.)
  • 임의의 가산 부분 집합 에 대하여, 이다. (특히, 일 경우, 이다.)
  • 임의의 원소 에 대하여, 이다.

여기서 은 각각 최대 원소최소 원소를 뜻한다.

시그마 대수와 시그마 대수 준동형은 구체적 범주 를 이룬다.

시그마 아이디얼[편집]

시그마 대수 시그마 아이디얼(영어: sigma-ideal)은 다음 조건들을 만족시키는 순서 아이디얼 이다.[1]:Definition 2.3.7

  • 가산 상한에 대하여 닫혀 있다. 즉, 임의의 가산 부분 집합 에 대하여, 이다.

불 대수가환환을 이루며, 불 대수의 순서 아이디얼아이디얼을 이룬다. 따라서 몫 불 대수 를 정의할 수 있으며, 가 시그마 아이디얼이라면 이는 시그마 대수를 이룬다. 이를 몫 시그마 대수 라고 한다.[1]:Definition 2.3.7

성질[편집]

함의 관계[편집]

다음과 같은 함의 관계가 성립한다.

완비 격자 완비 헤이팅 대수 완비 불 대수
시그마 대수
원순서 집합부분 순서 집합 유계 격자 헤이팅 대수 불 대수

분배 법칙[편집]

시그마 대수 의 원소 에 대하여, 다음이 성립한다.[2]:(1)

크기[편집]

기수 에 대하여 다음 세 조건이 서로 동치이다.[3][4][5]

  • 완비 불 대수 가 존재한다.
  • 인 시그마 대수 가 존재한다.
  • 만약 가 무한 기수라면, 이다. 만약 가 유한 기수라면, 인 기수 이 존재한다.

특히, 무한 시그마 대수의 크기는 항상 이상이며, 가산 무한 시그마 대수는 존재하지 않는다. (직접적으로, 이는 모든 무한 불 대수가산 무한 반사슬을 갖는데, 가산 완비성에 따라 이 반사슬의 부분 집합들의 상한(또는 하한)들의 수는 이기 때문이다.)

특히, 모든 유한 시그마 대수는 (유한 불 대수이므로) 그 크기가 2의 거듭제곱이며, 어떤 유한 집합 멱집합 와 동형이다.

루미스-시코르스키 표현 정리[편집]

루미스-시코르스키 표현 정리(Loomis-Sikorski表現定理, 영어: Loomis–Sikorski representation theorem)에 따르면, 임의의 (추상적) 시그마 대수 에 대하여,

가 되는

  • 집합
  • 시그마 대수
  • 의 시그마 아이디얼

가 존재한다.[1]:2.3.10[6]:167, Theorem 5.8[7]:255, Theorem XI.3[8] 그러나 일반적으로 이 아닐 수 있다. 즉, 멱집합의 부분 시그마 대수로 나타낼 수 없는 시그마 대수가 존재한다.

범주론적 성질[편집]

시그마 대수의 범주는 (가산 무한 개의 항을 가진 연산을 갖는) 대수 구조 다양체 범주이므로, 완비 범주이자 쌍대 완비 범주이며, 또한 자유 시그마 대수가 존재한다.

[편집]

집합 멱집합완비 불 대수이므로 시그마 대수이다.

측도 공간[편집]

가측 공간 에서, 는 정의에 따라 의 부분 시그마 대수이다.

측도 공간 에서, -영집합들의 족

의 시그마 아이디얼을 이루며, 는 시그마 대수를 이룬다.

구체적이지 않은 시그마 대수[편집]

폐구간의 보렐 시그마 대수 에서, 르베그 측도가 0인 보렐 집합들의 족은 시그마 아이디얼 을 이룬다. 그 몫 시그마 대수 멱집합 시그마 대수의 부분 시그마 대수로 나타낼 수 없다.[1]:Proposition 2.3.9

역사와 어원[편집]

"시그마 대수"라는 이름에서, 시그마(σ)는 "가산 무한"을 뜻한다.[9]:Remark 1.4.13 즉, 임의의 불 대수에서 유한 집합상한·하한이 존재하는 조건을 가산 집합으로 강화한 것이다.

루미스-시코르스키 표현 정리는 린 해럴드 루미스(영어: Lynn Harold Loomis, 1915~1994)[8]와 로만 시코르스키(폴란드어: Roman Sikorski, 1925~1983)[10]:256, Theorem 5.3가 증명하였다.

참고 문헌[편집]

  1. Tao, Terrence (2010). 《An epsilon of room I: real analysis. Pages from year three of a mathematical blog》 (PDF). Graduate Studies in Mathematics (영어) 117. American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-5278-1. 
  2. Kriz, Igor; Pultr, Aleš (2014년 2월). “Categorical geometry and integration without points”. 《Applied Categorical Structures》 (영어) 22 (1): 79-97. arXiv:1101.3762. Bibcode:2011arXiv1101.3762K. doi:10.1007/s10485-012-9295-2. ISSN 0927-2852. 
  3. Pierce, R. S. (1958). “A note on complete Boolean algebras”. 《Proceedings of the American Mathematical Society》 (영어) 9: 892–896. doi:10.1090/S0002-9939-1958-0102487-6. 
  4. Comfort, W. W.; Hager, Anthony W. (1972). “Cardinality of 𝔨-complete Boolean algebras”. 《Pacific Journal of Mathematics》 (영어) 40 (3): 541–545. MR 0307997. Zbl 0232.06008. 
  5. Monk, J. Donald; Sparks, Paul R. (1971). “Counting Boolean algebras”. 《Notices of the American Mathematical Society》 (영어) 18: 551–551. 
  6. Vladimirov, D. A. (2002). 《Boolean algebras in analysis》 (PDF). Mathematics and its Applications (영어) 540. Springer-Verlag. doi:10.1007/978-94-017-0936-1. ISBN 978-1-4020-0480-3. 
  7. Birkhoff, Garrett (1967). 《Lattice theory》. AMS Colloquium Publications (영어) 25 3판. American Mathematical Society. 
  8. Loomis, Lynn Harold (1947). “On the representation of σ-complete Boolean algebras”. 《Bulletin of the American Mathematical Society》 (영어) 53: 757–760. doi:10.1090/S0002-9904-1947-08866-2. ISSN 0273-0979. MR 21084. Zbl 0033.01103. 
  9. Tao, Terrence. 《An introduction to measure theory》 (PDF). Graduate Studies in Mathematics (영어) 126. American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-6919-2. 
  10. Sikorski, Roman (1948). “On the representation of Boolean algebras as fields of sets” (영어) 35 (1): 247–258. ISSN 0016-2736. 

바깥 고리[편집]