시그마-대수

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집합 X 상의 σ-대수(시그마-대수)는 집합 X의 멱집합부분집합으로, 여집합 연산과 가산개의 합집합 연산에 대해 닫혀 있는 성질을 가지는 것을 의미한다.

예를 들어, X = \{a, b, c, d\}일 때, \Sigma = \{ \varnothing, \{a, b\}, \{c, d\}, \{a, b, c, d\}\}X상의 σ-대수이다.

σ-대수는 측도를 정의할 때에 주로 사용된다. 이때 σ-대수에 속하는 집합은 측도가능한 집합이라고 부르며, (X, \Sigma)측도가능한 공간 혹은 가측공간(measurable space)이라고 부른다.

두 집합 X, Y와 각각의 σ-대수 \mathcal{F}, \mathcal{G}가 주어졌을 때, 함수 f: X \to Y가 임의의 집합 B \in \mathcal{G}에 대해 이 집합의 원상 f^{-1}(Y) = \{x: f(x) \in Y\}\mathcal{F}에 속할 경우, f가측함수, 측도가능한 함수라고 정의한다. 즉, 가측함수는 측도가능성을 보존하는 함수를 의미한다.

정의[편집]

집합 X에 대해, 멱집합 2^X의 부분집합 \Sigma \subseteq 2^X가 다음 조건을 만족하면 시그마-대수라고 한다.

  1. \Sigma는 공집합이 아니다.
  2. \Sigma는 여집합 연산에 대해 닫혀 있다. 즉, 집합 E\Sigma에 속하면, E여집합 X \setminus E\Sigma에 속한다.
  3. \Sigma의 가산 합집합에 대해 닫혀 있다. 즉, 집합 E_1, E_2, \cdots\Sigma에 속하면, \bigcup_{i=1}^\infty E_i\Sigma에 속한다.

위 정의로부터, \Sigma는 공집합 \O와 전체집합 X을 갖는다는 것을 유도할 수 있다. 또한, 드 모르간의 법칙에 따라 \Sigma는 가산 교집합에 대해서도 닫혀 있다.

위의 세 가지 조건에서 첫 번째 조건을 제외하고, 두 번째 조건에서 여집합 대신 차집합 연산을 사용하는 경우 시그마-환이라고 부른다.

두 시그마-대수의 교집합은 다시 시그마-대수가 된다. 이것은 시그마-대수의 정의를 이용하여 보일 수 있다.

예제[편집]

X를 임의의 집합이라고 할 때, 다음은 모두 X의 시그마-대수이다.

  • \{\O, X\}. 이 집합족은 자명한 시그마-대수라고 정의한다.
  • X의 멱집합 2^X
  • X의 부분집합 중, 가산집합인 것과 여집합이 가산집합인 것들을 모은 집합족. (만약 X가 비가산집합이라면 이 집합족은 X의 멱집합과는 다르다.)

생성된 시그마-대수[편집]

집합 X와 집합족 \mathcal{F} \subseteq 2^X에 대해, \mathcal{F}를 포함하는 모든 시그마-대수를 교집합한 것은 다시 시그마-대수가 되며, 이러한 집합족은 유일하게 결정된다. 그러한 집합족을 \mathcal{F}에 의해 생성된 시그마-대수라고 정의하고, \sigma(\mathcal{F})로 표기한다.