스펙트럼 삼조

비가환 기하학에서 스펙트럼 삼조(spectrum三組, 영어: spectral triple)는 스핀 다양체의 개념의 비가환 일반화이다.

정의

스펙트럼 삼조 $(H,{\mathcal {A}},D)$는 다음과 같은 데이터로 주어진다.

• $H$는 복소수 힐베르트 공간이다.
• ${\mathcal {A}}\subseteq \operatorname {B} (H,H)$는 $H$ 속의 유계 작용소들의 집합이며, 덧셈 · 스칼라곱 · 합성 · 에르미트 수반에 대하여 닫혀 있다 (즉, 복소수 대합 대수를 이룬다).
• $H$의 조밀 부분 벡터 공간 $V\subseteq H$ 위에 정의된 자기 수반 작용소 $D\colon V\to H$.

이는 다음 조건을 만족시켜야 한다.

임의의 $A\in {\mathcal {A}}$에 대하여, $\|[A,D]\|<\infty$. 여기서 $\|\;\|$는 작용소 노름이다.

예

콤팩트 스핀 다양체 $M$이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 그 위의 스피너 다발의 L² 단면 공간

$H=\Gamma _{\operatorname {L} ^{2}}(\mathrm {S} M)$

은 분해 가능 복소수 힐베르트 공간을 이룬다. 그 위의 디랙 연산자

$\nabla \colon (\operatorname {dom} \nabla \subseteq H)\to H$

는 $H$의 조밀 부분 벡터 공간 위에 정의된 자기 수반 작용소이다. 또한, $M$ 위의 2-르베그 공간은 $H$ 위에 점별 곱셈으로 작용한다.

$A=\operatorname {L} ^{2}(M;\mathbb {C} )$

$A\times H\to H$

$(f,\psi )\mapsto (x\mapsto f(x)\psi (x))$

이에 따라 $A\subseteq \operatorname {B} (H,H)$로 간주할 수 있다. 그렇다면, $(M,A,\nabla )$는 스펙트럼 삼조를 이룬다.

역사

알랭 콘이 “스펙트럼 삼조”라는 용어를 1995년에 도입하였다.

외부 링크

• “Spectral triple”. 《nLab》 (영어). 
• “2-spectral triple”. 《nLab》 (영어). 
• “Spectral action”. 《nLab》 (영어). 
• Schreiber, Urs (2007년 6월 12일). “Spectral triples and graph field theory”. 《The n-Category Café》 (영어).