스튜어트 정리

기하학에서 스튜어트 정리(-定理, 영어: Stewart's theorem)는 삼각형의 세 변과 체바 선분의 길이 사이에 성립하는 등식이다.

정의

삼각형 $ABC$의 꼭짓점 $A$, $B$, $C$의 대변의 길이를 각각 $a$, $b$, $c$라고 하고, 꼭짓점 $A$를 지나는 체바 선분 $AX$의 길이를 $d$라고 하고, 이로 나눠진 변 $BC$의 두 부분 $BX$와 $CX$의 길이를 각각 $m$과 $n$이라고 하자. 스튜어트 정리에 따르면, 다음이 성립한다.^{:70, §2D, Theorem 2.20}

$b^{2}m+c^{2}n=a(d^{2}+mn)$

특히 $m=n$일 경우 체바 선분 $AX$는 중선이 되고, 스튜어트 정리는 아폴로니우스 정리가 된다.

증명

삼각형 $ABC$와 $AXC$에 코사인 법칙을 적용하면^{:70, §2D}

$c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos C$

$d^{2}=b^{2}+n^{2}-2bn\cos C$

를 얻는다. 두 등식에서 $\cos C$를 소거하면

${\begin{aligned}c^{2}n-ad^{2}&=n(a^{2}+b^{2})-a(b^{2}+n^{2})\\&=an(a-n)-b^{2}(a-n)\\&=amn-b^{2}m\end{aligned}}$

를 얻으며, 이를 정리하면 된다 라고 한다

역사

스코틀랜드의 수학자 매튜 스튜어트의 이름을 땄다.

외부 링크

• Weisstein, Eric Wolfgang. “Stewart's theorem”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.