스튜어트의 정리

스튜어트의 정리(영어: Stewart's theorem)는 삼각형을 구성하는 선분들의 길이에 관한 식이다. 스코틀랜드의 수학자 매튜 스튜어트의 이름을 땄다.

스튜어트 정리

$a,b,c$는 삼각형의 세 변의 길이라고 하고, $d$는 변 $a$와 그 반대편의 꼭짓점을 잇는 선분의 길이라고 하자. $d$가 변 $a$를 길이 $n$, $m$으로 나눈다고 하면, 다음 관계가 성립한다.

$b^{2}m+c^{2}n=a(d^{2}+mn)\,$

특히 $m=n$일 경우 $d$는 중선이 되고 이때 관계식은 아폴로니우스의 중선 정리가 된다.

증명

$\theta$는 $m$과 $d$가 이루는 각이고, $\theta '$는 $n$과 $d$가 이루는 각이라 하자. 두 각을 합하면 180도 이므로 코사인의 성질 때문에 $\cos \theta '=-\cos \theta$이다. 제 2코사인 법칙에 의해 다음 식이 성립한다.

${\begin{aligned}c^{2}&=m^{2}+d^{2}-2dm\cos \theta \\b^{2}&=n^{2}+d^{2}-2dn\cos \theta '\\&=n^{2}+d^{2}+2dn\cos \theta .\,\end{aligned}}$

첫 번째 식에 $n$을 곱하고, 두 번째 식에 $m$을 곱하여 더해서 $\cos \theta$를 제거하면 다음을 얻는다.

${\begin{aligned}&b^{2}m+c^{2}n\\&=nm^{2}+n^{2}m+(m+n)d^{2}\\&=(m+n)(mn+d^{2})\\&=a(mn+d^{2})\\\end{aligned}}$

코사인 법칙을 이용하지 않은 증명도 있다. 수선의 발을 내리고 피타고라스의 정리를 여러번 사용하면 된다.

참조

• 아폴로니우스의 정리