스코로호드 공간

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카들라그 함수의 예. 왼쪽 극한과 오른쪽 극한이 항상 존재하며, 불연속점에서 함수의 값은 오른쪽 극한과 일치한다.

확률론실해석학에서, 스코로호드 공간(Скороход空間, 영어: Skorokhod space)은 실수 구간 위에 정의된, 왼쪽 극한을 가지며 오른쪽 연속인 함수들의 폴란드 공간이다.[1]:Chapter 3 그 원소를 카들라그 함수(càdlàg函數, 영어: càdlàg function)라고 한다. 그 위의 위상인 스코로호드 위상(Скороход位相, 영어: Skorokhod topology)에서의 수렴은 시간의 측정(특히, 함수의 불연속점이 발생하는 시각)이 오차를 가질 수 있음을 반영한다.

정의[편집]

다음이 주어졌다고 하자.

그렇다면, 함수 가 다음 조건을 만족시킨다면, 카들라그 함수라고 한다.[1]:121, Chapter 3

즉, 오른쪽 극한과 왼쪽 극한이 둘 다 존재하며, 실제 함수 값은 오른쪽 극한과 같아야 한다.

카들라드 함수들의 집합을 라고 하자. 이 위에, 다음과 같은 거리 함수를 주자.[1]:125, (12.16)

여기서

  • 전단사 증가 연속 함수들의 이다.

그렇다면, 이는 분해 가능 완비 거리 공간을 이룬다.[1]:Theorem 12.2 스코로호드 공간이라고 한다.

성질[편집]

스코로호드 공간에 다음과 같은, 더 단순한 거리 함수를 줄 수도 있다.

이는 와 같은 위상을 정의하지만, 이는 일반적으로 완비 거리 공간을 정의하지 못한다.[1]:125, Example 12.2

임의의 에 대하여,

는 정의에 따라 전단사 등거리 변환을 이룬다.

포함 관계[편집]

정의에 따라, 다음과 같은 포함 관계가 존재한다.

만약 거리 함수

를 부여할 경우, 이 포함 사상은 연속 함수이다. 또한, 연속 함수의 스코로호드 수렴은 이 거리 함수에서의 수렴과 동치이다. 따라서, 닫힌집합을 이룬다.

수렴[편집]

스코로호드 위상에서, 카들라그 함수열

로 수렴할 필요 충분 조건은 다음과 같다.

어떤 함수열 에 대하여, 균등 수렴하며, 또한 항등 함수 균등 수렴한다.

특히, 만약 함수열 연속 함수만으로 구성된다면, 그 (스코호로트 위상에서의) 수렴은 균등 수렴동치이다.[1]:124, §12

다른 위상[편집]

위에 L 노름

을 주면 이는 바나흐 공간을 이루지만, 이는 분해 가능 공간을 이루지 못한다. 이 때문에 이 위상은 확률론에서 잘 사용되지 않는다.

역사[편집]

“카들라그 함수”(프랑스어: fonction càdlàg)라는 용어는 프랑스어: continue à droite, limite à gauche 콩티뉘 아 드루아트, 리미트 아 고슈[*](오른쪽에서 연속, 왼쪽에서 극한)의 머리글자를 딴 것이다.

카들라그 함수의 공간 위의 스코로호드 위상은 L 노름의 분해 가능성의 실패를 고치기 위하여 아나톨리 볼로디미로비치 스코로호드(우크라이나어: Анато́лій Володи́мирович Скорохо́д, 러시아어: Анато́лий Влади́мирович Скорохо́д 아나톨리 블라디미로비치 스코로호트[*], 1930〜2011)가 1956년에 도입하였다.[2] 이 논문에서 스코로호드는 여러 개의 위상들(, , , )을 정의하였는데, 그 가운데 오늘날 ‘스코로호드 위상’이라고 불리는 것은 이다.

참고 문헌[편집]

  1. Billingsley, Patrick (1999). 《Convergence of probability measures》. Wiley Series in Probability and Statistics (영어) 2판. John Wiley and Sons. doi:10.1002/9780470316962. ISBN 978-0-471-19745-4. 
  2. Skorokhod, A. V. (1956). “Limit theorems for stochastic processes”. 《Theory of Probability and Applications》 (영어) 1–3: 261–290. doi:10.1137/1101022. 

외부 링크[편집]