스칼라배

수학에서 스칼라배(-倍, scalar multiple) 또는 스칼라 곱셈(scalar multiplication)은 스칼라와 벡터의 순서쌍에 벡터를 대응시키는 한 연산이다. 유클리드 공간의 경우, 벡터의 길이를 스칼라의 절댓값을 배수로 하여 늘이거나 줄이고, 방향은 스칼라가 양수라면 그대로 두고 음수면 반대로 바꾼다.

정의

스칼라배는 벡터 공간을 정의하는 데이터 가운데 하나다. 스칼라배는 구체적인 벡터 공간의 구체적인 스칼라배 연산을 뜻하기도 한다. 예를 들어, 유클리드 공간

$\mathbb {R} ^{n}=\{(x_{1},\dots ,x_{n})\colon x_{1},\dots ,x_{n}\in \mathbb {R} \}$

에서, 임의의 스칼라 $a\in \mathbb {R}$ 및 벡터 $\mathbf {x} =(x_{1},\dots ,x_{n})\in \mathbb {R} ^{n}$에 대하여, 그 스칼라배는 다음과 같다.

$a\cdot \mathbf {x} =(ax_{1},\dots ,ax_{n})$

스칼라배는 연산 기호를 생략하여 $a\mathbf {x}$와 같이 쓸 수 있다.

성질

유클리드 공간의 스칼라배는 다른 대부분 연산들과 잘 호환된다. 예를 들어, $\mathbb {R} ^{n}$에서 다음 항등식들이 성립한다 ($\cdot$는 스칼라곱).

$0\mathbf {x} =a\mathbf {0} =\mathbf {0}$

$1\mathbf {x} =\mathbf {x}$

$(ab)\mathbf {x} =a(b\mathbf {x} )$

$(a+b)\mathbf {x} =a\mathbf {x} +b\mathbf {x}$

$a(\mathbf {x} +\mathbf {y} )=a\mathbf {x} +a\mathbf {y}$

$(-a)\mathbf {x} =a(-\mathbf {x} )=-a\mathbf {x}$

$a(\mathbf {x} \cdot \mathbf {y} )=(a\mathbf {x} )\cdot \mathbf {y} =\mathbf {x} \cdot (a\mathbf {y} )$

만약 $n=3,7$일 때, 다음 항등식들이 추가로 성립한다 ($\times$는 벡터곱).

$a(\mathbf {x} \times \mathbf {y} )=(a\mathbf {x} )\times \mathbf {y} =\mathbf {x} \times (a\mathbf {y} )$

예

$\mathbb {R} ^{2}$에서의 예는 다음과 같다.

$3\cdot (4,5)=(3\cdot 4,3\cdot 5)=(12,15)$

$\mathbb {R} ^{3}$에서의 예는 다음과 같다.

$10\cdot (11,12,13)=(10\cdot 11,10\cdot 12,10\cdot 13)=(110,120,130)$

같이 보기

• 스칼라곱
• 행렬 곱셈
• 곱