선형대수학에서, 스미스 표준형(영어: Smith canonical form)은 주 아이디얼 정역 위에 주어진 임의의 모양의 행렬과 동치인 매우 단순한 꼴의 대각 행렬이다. 스미스 표준형의 존재는 주 아이디얼 정역 위의 유한 생성 자유 가군과 부분 가군의 적절한 기저 사이의 선형 관계는 아주 간단할 수 있다는 사실과 동치이다.
주 아이디얼 정역
(예를 들어, 정수환
또는 체 계수 일변수 다항식환
) 위의 임의의
행렬
에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 가역 행렬
와
및 유한 개의 원소
가 존재한다.



(여기서
는
영행렬이다.) 또한
은 가역원배의 차이를 무시하면 유일하다. 이를
의 스미스 표준형이라고 한다.
행렬의 스미스 표준형은 두 행 또는 두 열을 교환하는 연산과 한 행 또는 열에 다른 행 또는 열의 배수를 더하는 연산을 통해 구할 수 있다.
는 유일 인수 분해 정역이므로, 모든 0이 아닌 원소는 유일한 인수 분해를 갖는다. 임의의
에 대하여,
이
의 소인수의 중복집합의 크기라고 하자.
우선
위의
행렬

을 생각하자.
가 베주 정역이므로,
와
의 최대공약수
에 대하여,
인
가 존재한다.
,
라고 하자. 그렇다면
이다. 따라서

은 가역 행렬이며,

이다. 마찬가지로, 왼쪽에 가역 행렬을 곱하여 첫 행 첫 열 성분이
와
의 최대공약수이며 둘째 행 첫 열 성분이 0이도록 만들 수 있다.
이제 일반적인
행렬
를 생각하자. 만약
이라면,
는 이미 스스로의 스미스 표준형이다.
이라고 가정하자. 행과 열의 교환을 통해, 편의상
이라고 가정하자. (보통 과정을 간단하게 만들기 위해
가 가장 작도록 행·열을 교환한다.) 만약 모든
에 대하여
라면, 각 열에 첫 열의 배수를 더하고 각 행에 첫 행의 배수를 더하여, 첫 행과 첫 열의
을 제외한 모든 성분이 0이 되게 만들 수 있다. 만약
인
이 존재한다면, 행과 열의 교환 및 행 또는 열에 다른 행 또는 열의 배수를 더하는 연산을 통해
이거나
라고 가정할 수 있다. (예를 들어, 만약
이지만
라면, 첫 행의 적절한 배수를 둘째 행에서 빼 둘째 행 첫 열의 성분을 0으로 만들고, 마찬가지로 첫 행 둘째 열의 성분을 0으로 만든 뒤, 다시 둘째 행을 첫 행에 더하면,
은 변하지 않으며,
이 바로 오른쪽 성분을 나누지 못하게 된다.) 편의상
라고 하자. 그렇다면


인 가역 행렬
이 존재한다. 따라서

는 가역 행렬이며, 행렬
의 첫 행 첫 열 성분은
이다. 또한
이므로
은

을 만족시킨다. (
인 경우에도 가역 행렬의 왼쪽 곱셈을 통해 첫 행 첫 열의 소인수의 수를 감소시킬 수 있다.) 첫 행 첫 열의 원소는 소인수의 수가 줄어들수록 가역원에 가까워져 ‘다른 성분들을 나눌 가능성’이 늘어난다. 따라서 이와 같은 과정을 반복하면 결국 첫 행 첫 열의 성분이 모든 다른 성분을 나누는 행렬을 얻는다. 이제 첫 행의 적절한 배수를 다른 행에 더하고 첫 열의 적절한 배수를 다른 열에 더하면
는 다음과 같은 꼴의 행렬과 동치가 된다.


다시
에 대하여 같은 과정을 반복하면
와 동치인 다음과 같은 꼴의 행렬을 얻는다.


여기서
인 이유는
가
의 성분의 선형 결합이기 때문이다.
위와 같은 과정을 반복하면 결국 스미스 표준형을 얻는다.
유리수 계수 다항식환
위의 행렬

의 스미스 표준형은 다음과 같이 구할 수 있다.

주 아이디얼 정역 위의 유한 생성 가군의 구조
[편집]
스미스 표준형을 통해 주 아이디얼 정역 위의 유한 생성 가군의 불변 인자 분해를 유도할 수 있다.
헨리 존 스티븐 스미스의 이름을 땄다.