슈바르츠 공간

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슈바르츠 공간(Schwartz空間, 영어: Schwartz space)은 매끄럽고, 그 어느 다항함수보다 빨리 감소하는 함수로 이루어진 프레셰 공간이다. 푸리에 변환에 대하여 닫혀 있다. 조절 분포를 정의하는 데 쓰인다.

정의[편집]

편의상 다중지표를 사용하자. 차원 공간에서, 다중지표의 원소다. 즉, 개의 음이 아닌 정수의 순서쌍이다. 다중지표 가 주어지면, 다음을 정의하자. 임의의 에 대해,

.

또한,

.

(편미분 연산은 가환한다고 가정한다.)

임의의 매끄러운 함수 에 대하여 다음과 같은 노름을 정의하자. 임의의 다중지표 에 대하여,

.

슈바르츠 함수(Schwartz函數, 영어: Schwartz function)란 매끄럽고 모든 -노름이 유한한 함수다. 슈바르츠 공간 은 슈바르츠 함수의 집합이다. 슈바르츠 공간은 자명하게 벡터 공간을 이루며, 또한 곱셈에 대해 닫혀 있다. 이에 따라, 푸리에 변환은 슈바르츠 공간에 유니타리 연산자임을 보일 수 있다. 즉, 푸리에 변환은 슈바르츠 공간의 선형 자기 동형이다.

-노름을 통하여 슈바르츠 공간에 위상을 정의할 수 있다. 즉 함수열으로 수렴하려면, 모든 에 대하여

이어야 한다. 자명하게, 슈바르츠 공간은 프레셰 공간을 이룬다.

역사[편집]

로랑 슈바르츠분포의 푸리에 변환을 정의하기 위하여 도입하였다.

바깥 고리[편집]