수반 함자

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범주론에서, 수반 함자(隨伴函子, 영어: adjoint functor) 또는 딸림 함자(-函子)는 두 개의 함자가 서로간에 가질 수 있는 일종의 밀접한 관계이다. 이는 수학의 많은 분야에서 널리 나타나는 관계이며, 범주론의 연구 대상이다.

정의[편집]

두 범주 \mathcal C, \mathcal D 사이의 두 함자

F\colon\mathcal C\to\mathcal D
G\colon\mathcal D\to\mathcal C

가 주어졌다고 하자. 그렇다면, FG 사이의 수반(영어: adjunction) (\epsilon,\eta)는 다음과 같은 두 개의 자연 동형의 순서쌍이다.

\epsilon\colon FG\Rightarrow\operatorname{id}_{\mathcal D}
\eta\colon\operatorname{id}_{\mathcal C}\Rightarrow GF

여기서 \operatorname{id}_{\mathcal C}\colon\mathcal C\to\mathcal C\operatorname{id}_{\mathcal D}\colon\mathcal D\to\mathcal D는 항등 함자이다. 이는 다음 조건을 만족시켜야만 한다.

\operatorname{id}_F=\epsilon F\circ F\eta
\operatorname{id}_G=G\epsilon\circ\eta G

여기서 \operatorname{id}_F\colon F\Rightarrow F\operatorname{id}_G\colon G\Rightarrow G는 항등 자연 변환이다. 즉, 다음 두 그림이 가환하여야 한다.

\begin{matrix}
F&\xrightarrow{F\eta}&FGF\\
&{\scriptstyle\operatorname{id}_F}\searrow&\downarrow\scriptstyle\epsilon F\\
&&F
\end{matrix}
\qquad\begin{matrix}
G&\xrightarrow{\eta G}&GFG\\
&{\scriptstyle\operatorname{id}_G}\searrow&\downarrow\scriptstyle G\epsilon\\
&&G
\end{matrix}

이 경우, FG왼쪽 수반 함자(-隨伴函子, 영어: left-adjoint functor))라고 하고, GF오른쪽 수반 함자(-隨伴函子, 영어: right-adjoint functor)라고 하며, \epsilon쌍대단위원(雙對單位元, 영어: counit), \eta단위원(單位元, 영어: unit)이라고 한다. 이는 기호로

F\dashv G

또는

F\colon\mathcal C\leftrightarrow\mathcal D\colon G

와 같이 쓴다.

사상 집합을 통한 정의[편집]

\mathcal C\mathcal D국소적으로 작은 범주라면, 이 두 범주 사이의 수반 함자

F\colon\mathcal C\leftrightarrow\mathcal D\colon G

는 다음과 같이 정의할 수 있다. FG 사이의 수반은 함자

\hom_{\mathcal D}(F(-),-)\colon\mathcal \mathcal C^{\operatorname{op}}\times\mathcal D\to\operatorname{Set}
\hom_{\mathcal C}(-,G(-))\colon\mathcal \mathcal C^{\operatorname{op}}\times\mathcal D\to\operatorname{Set}

사이의 자연 동형

\Phi\colon\hom_{\mathcal D}(F(-),-)\Rightarrow\hom_{\mathcal C}(-,G(-))

이다.

성질[편집]

프레이드 수반 함자 정리[편집]

다음과 같은 범주가 주어졌다고 하자.

프레이드 수반 함자 정리(영어: Freyd adjoint functor theorem)에 따르면, 함자 G\colon\mathcal D\to\mathcal C에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.[1]:121, Theorem V.6.2

  • G는 왼쪽 수반 함자를 갖는다.
  • G는 모든 작은 극한을 보존하며, 해집합 조건을 만족시킨다.

여기서 해집합 조건(解集合條件, 영어: solution set condition)이란 다음과 같다. 임의의 대상 X\in\mathcal C에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 대상들의 집합 \{\tilde X_i\}_{i\in I}\subseteq\mathcal D 및 사상들의 집합 \{f_i\colon X\to G(\tilde X_i)\}_{i\in I}이 존재한다.

임의의 \tilde Y\in\mathcal D 및 사상 g\colon X\to G(\tilde Y)에 대하여, g= G(\tilde g)\circ f_i를 만족시키는 i\in I\tilde g\colon\tilde X_i\to\tilde Y가 존재한다.
\begin{matrix}
X&\xrightarrow g&G(\tilde Y)\\
{\scriptstyle f_i}\downarrow&\nearrow\scriptstyle G(\tilde g)\\
G(\tilde X_i)
\end{matrix}

만약 실제로 어떤 수반 함자쌍

F\colon\mathcal C{\to\atop\leftarrow}\mathcal D\colon G

이 존재한다면, 대상 X\in\mathcal C에 대하여

I=\{0\}
\tilde X_0=F(X)
f\colon X\to G(F(X))=G(\tilde X_0)

로 놓으면 해집합 조건이 자명하게 성립한다. 즉, 프레이드 수반 함자 정리에서 자명하지 않은 경우는 해집합 조건으로부터 왼쪽 수반 함자를 구성하는 것이다.

특수 수반 함자 정리[편집]

다음과 같은 범주가 주어졌다고 하자.

  • \mathcal D
    • 완비 범주이다.
    • 국소적으로 작은 범주이다.
    • (좋은 거듭제곱의 존재 영어: well-poweredness) 며, 임의의 대상 X\in\mathcal D의 임의의 부분 대상들의 집합 \{\iota_i\colon A_i\to X\}_{i\in I}당김 \textstyle\prod_i\iota_i을 갖는다.
    • (작은 쌍대생성 집합의 존재 영어: existence of small cogenerating set) 다음 조건을 만족시키는 대상 집합 \{S_i\}_{i\in I}\subseteq\mathcal C가 존재한다.
      임의의 두 사상 f,g\colon X\to Y에 대하여, 만약 f\ne g라면, h\circ f\ne h\circ gi\in Ih\colon Y\to S_i가 존재한다.
  • \mathcal C국소적으로 작은 범주이다.

특수 수반 함자 정리(영어: special adjoint functor theorem)에 따르면, 함자 G\colon\mathcal D\to\mathcal C에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.[1]:129, Theorem V.8.2

[편집]

자유-망각 수반[편집]

대수 구조 다양체의 범주 \mathcal V에서, 자유 대수 함자

\langle-\rangle\colon\operatorname{Set}\to\mathcal V

는 망각 함자

|-|\colon\mathcal V\to\operatorname{Set}

의 왼쪽 수반 함자를 이룬다.

\langle-\rangle\dashv|-|

곱-지수 수반[편집]

데카르트 닫힌 범주 \mathcal C의 임의의 대상 X\in\mathcal C에 대하여, 함자

-\times X\colon\mathcal C\to\mathcal C
-\times X\colon Y\mapsto Y\times Y

지수 대상 함자

(-)^X\colon\mathcal C\to\mathcal C
(-)^X\colon Y\mapsto Y^X

의 왼쪽 수반 함자를 이룬다.

-\times X\dashv(-)^X

집합함수의 범주에서의 곱-지수 수반은 커링이라고 한다.

다른 범주의 경우, 지수 대상 함자가 왼쪽 수반을 가지지만, 이 함자가 범주론적 이 아닌 경우가 있다. 이 경우, 왼쪽 수반은 보통 텐서곱이라고 한다. (예를 들어, 유한 차원 벡터 공간의 범주의 경우 텐서곱은 통상적인 벡터 공간의 텐서곱 \otimes이다.)

대각-극한 수반[편집]

범주 \mathcal C 및 범주 \mathcal J가 주어졌고, 모든 함자 D\colon\mathcal J\to\mathcal C극한이 존재한다고 하자. 그렇다면, 극한 함자

\varprojlim\colon\mathcal C^{\mathcal J}\to\mathcal C

는 왼쪽 수반 함자

\Delta\dashv\varprojlim

를 가진다. 이는 \mathcal C의 대상을 상수 함자에 대응시킨다.

\Delta\colon\mathcal C\to\mathcal C^{\mathcal J}
\Delta\colon X\mapsto(J\mapsto X)

예를 들어, \mathcal C을 갖는 범주라고 하자. 그렇다면

(-)^2\colon\mathcal C^2\to\mathcal C
(-)^2\colon X\mapsto X\times X
\Delta\colon\mathcal C\to\mathcal C^2
\Delta\colon X\mapsto(X,X)

는 서로 수반 함자를 이룬다.

\Delta\dashv(-)^2

마찬가지로, 범주 \mathcal C 및 범주 \mathcal J가 주어졌고, 모든 함자 D\colon\mathcal J\to\mathcal C쌍대극한이 존재한다고 하자. 그렇다면, 쌍대극한 함자

\varinjlim\colon\mathcal C^{\mathcal J}\to\mathcal C

는 오른쪽 수반 함자

\varinjlim\dashv\Delta

를 가진다. 즉, 만약 해당 극한 및 쌍대극한이 동시에 존재한다면

\varinjlim \dashv \Delta \dashv \varprojlim

가 된다.

참고 문헌[편집]

  1. Mac Lane, Saunders (1998). 《Categories for the working mathematician》 (영어). Graduate Texts in Mathematics 5 2판. Springer. doi:10.1007/978-1-4757-4721-8. ISBN 978-1-4419-3123-8. ISSN 0072-5285. MR 1712872. Zbl 0906.18001. 

바깥 고리[편집]

같이 보기[편집]