소수 (기수법)

1과 자기 자신만을 약수로 갖는 수(素數, prime number)에 대해서는 소수 (수론) 문서를 참고하십시오.

수학의 기수법에서 소수(小數, 영어: decimal)는 각각의 자리에 놓인 숫자와 소수점을 통해 나타낸 실수이다. 소수점 왼쪽에 놓인 숫자들은 실수의 정수 부분, 소수점 오른쪽에 놓인 숫자들은 실수의 소수 부분을 나타낸다.

정의

음이 아닌 실수 $r$의 소수 표기는 다음과 같은 꼴이다.

$r=r_{0}.r_{1}r_{2}r_{3}\cdots$

여기서 각 $i=0,1,2,\dots$에 대하여, $r_{i}$는 0부터 9까지의 숫자 가운데 하나이다. 음의 실수의 경우, 왼쪽에 부호를 붙여준다. 또한, 만약 어떤 $n$번째 자릿수 $r_{n}$부터

$0=r_{n}=r_{n+1}=r_{n+2}=\cdots$

가 성립한다면, 이러한 끝쪽의 0들을 생략하여 다음과 같이 표기할 수 있다.

$r=r_{0}.r_{1}r_{2}r_{3}\cdots r_{n-1}$

엄밀히 말해, 소수는 극한의 개념을 통해 정의된다. 즉, 위의 표기가 실수의 소수 표기가 되려면, 다음과 같은 급수 공식을 만족시켜야 한다.

$r=\sum _{n=0}^{\infty }10^{-n}r_{n}=\lim _{n\to \infty }r_{0}.r_{1}r_{2}\cdots r_{n}$

또한, 표준적인 소수 표기는 다음을 추가로 만족시켜야 한다.

• $9=r_{n}=r_{n+1}=r_{n+2}=\cdots$인 $n$이 존재하지 않는다.

즉, 만약 맨 끝에 숫자 9가 끝없이 반복된다면 이를 올림하여야 한다. 예를 들어, 0.999… = 1이며, 1.234999... = 1.235이며, 37.271999...=37.272이다.간혹 올림하여 얻는 표기 대신 끝에 9가 붙은 표기를 표준으로 간주하기도 한다.

유리수의 소수 표기는 유한하거나, 무한하지만 순환한다. 그 예는 다음과 같다.

${\frac {1}{2}}=0.5$

${\frac {1}{3}}=0.333333\cdots$

무리수의 소수 표기는 무한하며 비순환이다.. 그 예는 다음과 같다.

${\sqrt {2}}=1.41421356\cdots$

$\pi =3.14159265358979323846\cdots$

종류

소수는 자릿수들의 열의 성질에 따라 다음과 같이 나뉜다.

유한 소수

소수점 아랫자리가 유한한 수를 유한 소수(有限小數, 영어: finite decimal)라고 한다. 모든 유한 소수는 유리수이다.

십진법과 이십진법에서는 만약 기약 분수의 분모가 $2^{m}5^{n}$ ($m,n$은 음이 아닌 정수) 꼴이라면, 그 기약 분수는 유한 소수이다. 반대로 만약 기약 분수의 분모가 $2^{m}5^{n}$ ($m,n$은 음이 아닌 정수) 꼴이 아니라면, 그 기약 분수는 유한 소수가 아니다.

마찬가지로, 육진법과 십이진법과 십팔진법에서는 만약 기약 분수의 분모가 $2^{m}3^{n}$ ($m,n$은 음이 아닌 정수) 꼴이라면, 그 기약 분수는 유한 소수이다. 반대로 만약 기약 분수의 분모가 $2^{m}3^{n}$ ($m,n$은 음이 아닌 정수) 꼴이 아니라면, 그 기약 분수는 유한 소수가 아니다.

유한 소수의 예는 다음과 같다. 가분수도 게재한다.

십진법

$1/2=0.5$

$3/4=0.75$

$1/5=0.2$

$8/5=1.6$

$3/8=0.375$

$1/16=0.0625$

$27/16=1.6875$

$7/20=0.35$

$8/25=0.32$

$1/50=0.02$

$11/64=0.171875$

$1/80=0.0125$

$8/125=0.064$

$13/160=0.08125$

육진법

$1/2=0.3$

$1/3=0.2$

$3/4=0.43$

$3/12=0.213$

$5/13=0.32$

$41/13=2.44$

$11/20=0.33$

$1/24=0.0213$

$43/24=1.4043$

$1/30=0.02$

$12/43=0.144$

$1/120=0.0043$

$15/144=0.101043$

$1/213=0.0024$

$21/240=0.04513$

보다 기본적으로, $b$가 2이상의 자연수일 때, $b$진법으로 소수를 나타내었을 때, 어떤 기약 분수가 유한 소수가 되기 위한 필요충분조건은 해당 분수를 기약 분수로 바꾸고 난 후 분모른 소인수분해할 때, 분모의 모든 소인수가 $b$의 소인수로 이루어져 있어야 되는 것이다. 즉, 기약분수의 분모에서 그 외의 다른 소인수가 하나 이상 들어가 있으며 $b$진법 소수 표현이 순환소수가 된다는 얘기다.

순환 소수

 이 부분의 본문은 순환 소수입니다.

소수점 아래에서 어떤 숫자들의 유한 열이 무한히 반복되는 소수를 순환 소수(循環小數, 영어: repeating decimal)라고 한다. 어떤 수가 순환 소수로 나타낼 수 있을 필요충분조건은 유리수이다. 무한 순환 소수의 예는 다음과 같다.

십진법

$1/3=0.{\dot {3}}=0.333\cdots$

$1/6=0.1{\dot {6}}=0.1666\cdots$

$1/7=0.{\dot {1}}4285{\dot {7}}=0.142857142857142857\cdots$

$5/9=0.{\dot {5}}=0.555\cdots$

$25/9=2.{\dot {7}}=2.777\cdots$

$3/11=0.{\dot {2}}{\dot {7}}=0.272727\cdots$

$8/27=0.{\dot {2}}9{\dot {6}}=0.296296\cdots$

$1/48=0.0208{\dot {3}}=0.0208333\cdots$

$1/81=0.{\dot {0}}1234567{\dot {9}}=0.012345679012345679\cdots$

육진법

$1/5=0.{\dot {1}}=0.111\cdots$

$12/5=1.{\dot {3}}=1.333\cdots$

$1/11=0.{\dot {0}}{\dot {5}}=0.050505\cdots$

$3/14=0.1{\dot {4}}=0.1444\cdots$

$1/15=0.{\dot {0}}31345242{\dot {1}}=0.03134524210313452421\cdots$

$12/41=0.{\dot {1}}530{\dot {4}}=0.1530415304\cdots$

$1/212=0.0024{\dot {1}}=0.0024111\cdots$

비순환 소수

 이 부분의 본문은 순환소수입니다.

순환 소수가 아닌 소수를 비순환 소수(非循環小數, 영어: non-repeating decimal)라고 한다.어떤 수가 비순환 소수로 나타낼 수 있을 필요충분조건은 무리수이다. 비순환 소수의 예는 다음과 같다. 이 경우는 십진법 (소인수가 2와 5) 이든 육진법 (소인수가 2 와 3) 이든 기타 위치 기수법을 사용하여도 무한에 따른다.

십진 표기

${\sqrt {2}}=1.41421356\cdots$

$\pi =3.14159265\cdots$

$e=2.718281\cdots$

육진 표기

${\sqrt {2}}=1.225245314\cdots$

$\pi =3.0503300514\cdots$

$e=2.41505204\cdots$

무한소수

 이 부분의 본문은 무리수입니다.

 원주율 문서를 참고하십시오.

무리수 (무한소수)는 소수점 이하로 같은 수의 배열이 반복적으로 나타나지 않는(순환하지 않는) 무한소수이다

실수와 그 소수 표기 사이의 대응을 생각하면, 실수의 집합의 크기가 숫자의 열의 집합의 크기와 같으며, 특히 자연수의 집합의 크기보다 큼을 알 수 있다.

실수의 소수 표기는 실수의 구성에 쓰일 수 있다.