소수 (기수법)

위키백과, 우리 모두의 백과사전.
(소수점 표기에서 넘어옴)
이동: 둘러보기, 검색

수학에서, 소수(小數, 영어: decimal)는 각각의 자리에 놓인 숫자소수점을 통해 나타낸 실수이다. 소수점 왼쪽에 놓인 숫자들은 실수의 정수 부분, 소수점 오른쪽에 놓인 숫자들은 실수의 소수 부분을 나타낸다.

정의[편집]

음이 아닌 실수 의 소수 표기는 다음과 같은 꼴이다.

여기서 각 에 대하여, 는 0부터 9까지의 숫자 가운데 하나이다. 음의 실수의 경우, 왼쪽에 부호를 붙여준다. 또한, 만약 어떤 번째 자릿수 부터

가 성립한다면, 이러한 끝쪽의 0들을 생략하여 다음과 같이 표기할 수 있다.

엄밀히 말해, 소수는 극한의 개념을 통해 정의된다. 즉, 위의 표기가 실수의 소수 표기가 되려면, 다음과 같은 급수 공식을 만족시켜야 한다.

또한, 표준적인 소수 표기는 다음을 추가로 만족시켜야 한다.

  • 이 존재하지 않는다.

즉, 만약 맨 끝에 숫자 9가 끝없이 반복된다면 이를 올림하여야 한다. 예를 들어, 0.999... = 1이며, 1.234999... = 1.235이다. 간혹 올림하여 얻는 표기 대신 끝에 9가 붙은 표기를 표준으로 간주하기도 한다.

유리수의 소수 표기는 유한하거나, 무한하지만 순환한다. 그 예는 다음과 같다.

무리수의 소수 표기는 무한하며 비순환이다. 그 예는 다음과 같다.

종류[편집]

소수는 자릿수들의 열의 성질에 따라 다음과 같이 나뉜다.

유한 소수[편집]

소수점 아랫자리가 유한한 수를 유한 소수(有限小數, 영어: finite decimal)라고 한다. 모든 유한 소수는 유리수이다. 만약 기약 분수의 분모가 (은 음이 아닌 정수) 꼴이라면, 그 기약 분수는 유한 소수이다. 반대로 만약 기약 분수의 분모가 (은 음이 아닌 정수) 꼴이 아니라면, 그 기약 분수는 유한 소수가 아니다. 유한 소수의 예는 다음과 같다.

보다 일반적으로, 진법 소수 표기에서, 어떤 기약 분수가 유한 소수일 필요충분조건은 분모의 모든 소인수가 의 소인수인 것이다.

순환 소수[편집]

소수점 아래에서 어떤 숫자들의 유한 열이 무한히 반복되는 소수를 순환 소수(循環小數, 영어: repeating decimal)라고 한다. 어떤 수가 순환 소수로 나타낼 수 있을 필요충부조건은 유리수이다. 무한 순환 소수의 예는 다음과 같다.

비순환 소수[편집]

순환 소수가 아닌 소수를 비순환 소수(非循環小數, 영어: non-repeating decimal)라고 한다.어떤 수가 비순환 소수로 나타낼 수 있을 필요충분조건은 무리수이다. 비순환 소수의 예는 다음과 같다.

응용[편집]

실수와 그 소수 표기 사이의 대응을 생각하면, 실수의 집합의 크기가 숫자의 열의 집합의 크기와 같으며, 특히 자연수의 집합의 크기보다 큼을 알 수 있다.

실수의 소수 표기는 실수의 구성에 쓰일 수 있다.