소거론

가환대수학과 대수기하학에서 소거론(영어: Elimination theory)은 연립 다항 방정식을 풀기 위해 다변수 다항식들 사이에서 일부 변수를 소거하는 알고리듬을 다루는 방법의 고전적인 이름이다.

고전적 소거론은 바르털 레인더르트 판데르바르던이 집필한 현대 대수학 초판(1930)의 소거론에 관한 장에 설명된 바와 같이 다변수 종결식에 대한 프란시스 맥컬리의 작업으로 최고조에 달했다. 그 후 기호 계산에 필요한 그뢰브너 기저와 같은 다항식을 푸는 새로운 방법이 도입될 때까지 소거론은 거의 30년 동안 대부분의 대수 기하학자들에 의해 중요하지 않게 여겨졌다.

역사와 현대 수학과의 연결

소거론 분야는 연립 다항 방정식을 푸는 방법을 연구하면서 시작 되었다.

첫 번째 결과 중 하나는 해의 수를 제한하는 베주 정리이다.

베주의 정리를 제외하면, 문제를 하나의 일변수 방정식으로 줄이기 위해 변수를 소거하는 것이 일반적인 방식이였다.

선형방정식은 완전히 가우스 소거법으로 풀리는데, 기존의 크라메르 법칙은 소거법으로 진행하지 않고 방정식의 개수가 변수의 개수와 같은 경우에만 적용된다. 19세기에는 에르미트 표준형과 스미스 표준형으로 선형 디오판토스 방정식과 아벨 군으로 확장되었다.

20세기 이전에는 종결식과 다양한 종류의 판별식을 포함하여 다양한 유형의 eliminants 가 도입되었다. 일반적으로 이러한 소거법은 변수의 다양한 변화에도 불변하며 불변량 이론의 기본이기도 하다.

이러한 모든 개념은 그 정의에 계산 방법이 포함되어 있다는 점에서 효과적이다. 1890년경 다비트 힐베르트는 비효율적인 방법을 도입했고, 이것은 20세기 전반의 대부분의 대수 기하학자들이 "소거법 소거"를 시도하도록 이끈 혁명으로 여겨졌다. 하지만, 힐베르트 영점 정리는 상수 방정식 1 = 0을 얻기 위해 모든 미지수를 제거할 수 있는 경우에만 연립 다항 방정식이 어떠한 해도 갖지 않는다고 주장하기 때문에 소거론에 속하는 것으로 볼 수 있다.

소거론은 레오폴트 크로네커의 작업으로 절정에 이르렀고, 마지막으로 맥컬리는 다변수 종결식과 U-종결식을 도입하여 연립 다항 방정식에 대한 완전한 소거법을 제공했다. 이는 바르털 레인더르트 판데르바르던이 쓴 현대 대수학의 소거론 장에서 볼 수 있다.

나중에 소거론은 구식으로 간주되어 나중에는 판데르바르던의 현대 대수학 책에서 빠졌다. 소거론은 컴퓨터, 특히 기호 계산이 도입될 때까지 일반적으로 중요하게 취급되지 않았으며, 기호 계산이 도입된 이후 소거론의 발전은, 존재성 및 구조적 결과보다는 구체적인 계산을 할 수 있는 효율적인 소거 알고리듬의 설계와 관련이 있다. 이러한 구체적인 소거론에는 1970년 경에 도입된 그뢰브너 기저와 원통형 대수 분해가 있다.

수리논리학과의 연관성

부울 충족 가능성 문제에서 볼 수 있듯이 소거론과 수리논리에는 연관성이 있다. 최악의 경우 계산적으로 변수를 제거하는 것이 아마도 어려울 것이다. 수량사 소거는 일부 이론에서 모든 공식이 수량사가 없는 공식과 동일함을 설명하기 위해 수리 논리에서 사용되는 용어이다. 이것은 대수적으로 닫힌 체에 대한 다항식 이론의 경우이며, 소거론은 수량사 소거를 알고리듬적으로 효과적으로 만드는 방법에 대한 이론으로 볼 수 있다. 실수에 대한 수량자 제거는 전산 대수 기하학의 기본에 해당하는 예이다.

같이 보기

• 부흐베르거 알고리듬
• 종결식
• 삼각 분해
• 소거론의 주요 정리

참조

• Israel Gelfand, Mikhail Kapranov, Andrey Zelevinsky, Discriminants, resultants, and multidimensional determinants. Mathematics: Theory & Applications. Birkhäuser Boston, Inc., Boston, MA, 1994. x+523 pp. ISBN 0-8176-3660-9
• 틀:Lang Algebra
• David Cox, John Little, Donal O'Shea, Using Algebraic Geometry. Revised second edition. Graduate Texts in Mathematics, vol. 185. Springer-Verlag, 2005, xii+558 pp., ISBN 978-0-387-20733-9