사영 스펙트럼

대수기하학에서 사영 스펙트럼(射影spectrum, 영어: projective spectrum)은 등급환으로부터 스킴을 만드는 한 방법이다.^:76–77 이를 다항식들의 등급환에 적용하면 통상적인 사영 공간을 얻는다. 기호는 Proj(R).

정의

가환환 $R$ 위에 자연수 등급이 주어져 등급환

$R=\bigoplus _{i=0}^{\infty }R_{i}=R_{0}\oplus R_{1}\oplus R_{2}\oplus \dotsb$

을 이룬다고 하자. (즉, 등급 가환이 아니라 가환이다.) 이 등급환의 무관 아이디얼 $\textstyle R_{+}=\bigoplus _{i=1}^{\infty }R_{i}$을 생각하자. 그렇다면, $R$의 사영 스펙트럼 $\operatorname {Proj} R$는 집합으로서 다음 조건들을 만족시키는 $R$의 소 아이디얼 ${\mathfrak {a}}$들의 집합이다.

1. 동급이다. 즉, 임의의 $r\in {\mathfrak {a}}$에 대하여, 그 성분들을 $r_{i}\in R_{i}$라고 하면, $\forall i\in \mathbb {N} \colon r_{i}\in {\mathfrak {a}}$이다.
2. 무관 아이디얼을 부분 집합으로 포함하지 않는다. 즉, $R_{+}\not \subseteq {\mathfrak {a}}$이다.

여기서 두 번째 조건은 (고전적) 사영 공간에서 무관 아이디얼을 포함하는 아이디얼의 영점의 집합은 공집합이기 때문이다.

자리스키 위상

$\operatorname {Proj} R$에 다음과 같은 자리스키 위상을 주어, 위상 공간으로 만든다. $\operatorname {Proj} R$의 열린집합들은 다음과 같은 꼴의 부분 집합들로 이루어진다. $R$의 임의의 동급 아이디얼 ${\mathfrak {a}}$에 대하여,

$U({\mathfrak {a}})=\{{\mathfrak {b}}\in \operatorname {Proj} R|b\not \subset {\mathfrak {a}}\}\subset \operatorname {Proj} R$

이다. 이들은 위상 공간의 공리들을 만족시킴을 쉽게 확인할 수 있다.

구조층

$\operatorname {Proj} R$에 다음과 같은 가환환 값의 층 ${\mathcal {O}}$를 주어, 환 달린 공간으로 만들 수 있다. 임의의 열린 집합 $U$에 대하여, ${\mathcal {O}}(U)$는 다음과 같은 두 성질들을 만족시키는 함수들

$f\colon {\mathcal {O}}(U)\to \bigcup _{{\mathfrak {p}}\in U}R_{\mathfrak {p}}$

이 이루는 가환환이다. 여기서 $S\subset R\setminus {\mathfrak {p}}$를 ${\mathfrak {p}}$의 원소가 아닌 모든 동급 원소들의 부분 집합이라고 하면, $R_{({\mathfrak {p}})}$는 $R$의 $S$에서의 국소화이다. 모든 ${\mathfrak {p}}\in U$에 대하여,

1. $f({\mathfrak {p}})\in R_{({\mathfrak {p}})}$
2. ${\mathfrak {p}}$는 국소적으로 동급 원소들의 비이다. 즉, 근방 ${\mathfrak {p}}\in V\subset U$가 존재하여, 모든 ${\mathfrak {q}}\in V$에 대해서 다음 두 조건을 만족시키는 원소 $r,s\in R$가 존재한다.
   1. $f({\mathfrak {q}})=r/s$
   2. $r$와 $s$는 둘 다 동급 원소이며, 그 등급이 서로 같다. 즉, $r,s\in R_{i}$인 $i\in \mathbb {N}$이 존재한다.
   3. $s\not \in {\mathfrak {q}}$.

이렇게 층을 주면, $\operatorname {Proj} R$는 스킴의 구조를 이루는 것을 보일 수 있다.

사영 스펙트럼 위의 가군층

등급환 $R$ 위에 등급 가군 $M$이 주어졌다고 하자. 그렇다면 사영 스펙트럼의 정의와 유사하게, $\operatorname {Proj} R$ 위의 가군층 ${\tilde {M}}$을 정의할 수 있다. 구체적으로, 임의의 열린집합 $U$에 대하여, ${\mathcal {O}}_{\tilde {M}}(U)$는 다음과 같은 두 성질들을 만족시키는 함수들

$f\colon {\mathcal {O}}_{\tilde {M}}(U)\to \bigcup _{{\mathfrak {p}}\in U}M_{\mathfrak {p}}$

이 이루는 가환환이다. 여기서 $S\subset R\setminus {\mathfrak {p}}$를 ${\mathfrak {p}}$의 원소가 아닌 모든 동급 원소들의 부분 집합이라고 하면, $M_{({\mathfrak {p}})}$는 $M$의 $S$에서의 국소화이다. 모든 ${\mathfrak {p}}\in U$에 대하여,

1. $f({\mathfrak {p}})\in M_{({\mathfrak {p}})}$
2. ${\mathfrak {p}}$는 국소적으로 동급 원소들의 비이다. 즉, 근방 ${\mathfrak {p}}\in V\subset U$가 존재하여, 모든 ${\mathfrak {q}}\in V$에 대해서 다음 두 조건을 만족시키는 원소 $m\in M$, $s\in R$가 존재한다.
   1. $f({\mathfrak {q}})=m/s$
   2. $m$과 $s$는 동급 원소이며, 그 등급이 서로 같다. 즉, $m\in M_{i}$, $s\in R_{i}$인 $i\in \mathbb {N}$이 존재한다.
   3. $s\not \in {\mathfrak {q}}$.

특히, $R$ 자체를 $R$의 등급 가군으로 간주하면, ${\tilde {R}}$는 $\operatorname {Proj} R$의 구조층이다.

임의의 등급 가군 $\textstyle M=\bigoplus _{i}M_{i}$가 주어지면, 임의의 정수 $l\in \mathbb {Z}$에 대하여 그 뒤틀림(twist) $M(l)$은

$M(l)_{i}=M_{i+l}$

인 등급 가군이다. 즉, 등급을 단순히 $l$만큼 이동시킨 것이다. 이 연산을 층에 정의하면, 층 ${\tilde {M}}$의 뒤틀림 ${\tilde {M}}(l)$을 정의할 수 있다. 구조층 ${\tilde {R}}={\mathcal {O}}$의 뒤틀림 ${\mathcal {O}}(1)$은 세르 뒤틀림 층(영어: Serre twisting sheaf)이라고 한다. 이는 항상 가역층이며, 장피에르 세르의 이름을 딴 것이다.

대역적 사영 스펙트럼

다음 데이터가 주어졌다고 하자.

• 스킴 $(X,{\mathcal {O}}_{X})$
• ${\mathcal {O}}_{X}$-준연접층들의 족 $({\mathcal {S}}_{i})_{i\in \mathbb {N} }$. 또한, $\textstyle {\mathcal {S}}=\bigoplus _{i\in \mathbb {N} }{\mathcal {S}}_{i}$로 놓자.
• 각 열린집합 $U\in \operatorname {Open} (X)$에 대하여, $\textstyle \bigoplus _{i\in \mathbb {N} }\Gamma (U,{\mathcal {S}}_{i})$ 위의 $\mathbb {N}$-등급 ${\mathcal {O}}_{X}(U)$-결합 대수 구조

그렇다면, 각 아핀 열린집합 $U\subseteq X$에 대하여 다음과 같은 스킴을 정의하자.

$Y_{U}=\operatorname {Proj} \Gamma (U,{\mathcal {S}})$

이제, 자연스러운 스킴 사상

$\pi _{U}\colon Y_{U}\to U$

이 존재한다. (이는 $\Gamma (U,{\mathcal {S}})$가 ${\mathcal {O}}_{X}(U)$-등급 대수이기 때문이다.) 이에 따라, 위 스킴 사상들을 통해 $\pi _{U}$들을 짜깁기할 수 있다. 이렇게 하여 얻는 스킴을 대역적 사영 스펙트럼(大譯的射影spectrum영어: global projective spectrum) 또는 상대 사영 스펙트럼(相對射影spectrum, 영어: relative projective spectrum) $\operatorname {\underline {Proj}} {\mathcal {S}}$라고 한다. (이 단계에서 준연접층 조건이 필요하다.)

성질

$\operatorname {Proj} R$의 구조층 ${\mathcal {O}}$의 ${\mathfrak {p}}\in \operatorname {Proj} R$에서의 줄기 ${\mathcal {O}}_{\mathfrak {p}}=R_{({\mathfrak {p}})}$이다.^:76 여기서 $R_{({\mathfrak {p}})}$는 ${\mathfrak {p}}$의 원소가 아닌 동급 원소들에 대한 국소화다. 이러한 환은 항상 국소환이다.

함자성의 실패

아핀 스펙트럼은 가환환의 범주의 반대 범주에서 스킴의 범주로 가는 함자를 이룬다. 반면, 사영 스펙트럼은 함자를 이루지 않는다. 즉, 등급환 사이의 등급 준동형은 일반적으로 그 사영 스펙트럼 사이의 스킴 사상을 정의할 필요가 없다.

다만, 가환 등급환 $R$의 동차 아이디얼 ${\mathfrak {i}}$이 주어졌을 때, 몫 사상 $R\to R/{\mathfrak {i}}$는 사영 스펙트럼 사이의 닫힌 몰입

$\operatorname {Proj} {\frac {R}{\mathfrak {i}}}\to \operatorname {Proj} R$

을 정의한다.^{:100, §Ⅲ.2.2}

아핀 스펙트럼의 경우 서로 다른 아이디얼은 서로 다른 닫힌 부분 스킴에 대응하지만, 사영 스펙트럼의 경우 서로 다른 동차 아이디얼이 같은 닫힌 부분 스킴에 대응될 수 있다.^{:100, §Ⅲ.2.2, Exercise Ⅲ-15} 예를 들어, 체 $K$에 대한 사영 공간 $\operatorname {Proj} K[x_{0},x_{1},\dotsc ,x_{n}]$에 대하여, 임의의 동차 아이디얼 ${\mathfrak {i}}$가 주어졌을 때, ${\mathfrak {i}}$와 $\textstyle \sum _{n\geq N}{\mathfrak {i}}_{n}$은 같은 닫힌 부분 스킴을 정의한다 ($N\geq 0$은 임의의 자연수).

예

자명한 사영 스펙트럼

임의의 (단위원을 가진) 가환환 $R$이 주어지면, 여기에 모든 등급을 0으로 매겨 이를 자명한 등급환으로 취급할 수 있다. 이는 0개의 변수를 가지는 다항식환 $R\cong R[]$이다. 이 등급환의 사영 스펙트럼(즉, 0차원 사영 공간 $\mathbb {P} _{R}^{0}$)은 공집합이다. 이는 무관 아이디얼이 영 아이디얼 $R_{+}=(0)$이며, 이는 모든 아이디얼의 부분 아이디얼이기 때문이다.

보다 일반적으로, 등급환 $\textstyle R=\bigoplus _{i\in \mathbb {N} }R_{i}$에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.^:80

• 사영 스펙트럼이 공집합이다. 즉, $\operatorname {Proj} R=\varnothing$이다.
• $\textstyle R_{+}\subseteq {\sqrt {(0)}}$이다. 즉, $R_{+}$의 모든 원소가 멱영원이다.

사영 공간

 이 부분의 본문은 사영 공간입니다.

$K$가 (단위원을 가진) 가환환이라고 하자. 그렇다면 $K$에 대한 n차원 사영 공간 $\mathbb {P} _{K}^{n}$은 등급환 $K[x_{0},x_{1},\dots ,x_{n}]$의 사영 스펙트럼이다.^:77

사영 공간 $\mathbb {P} _{K}^{n}=\operatorname {Proj} K[x_{0},x_{1},\dots ,x_{n}]$의 경우, 세르 뒤틀림 층 ${\mathcal {O}}(1)$의 단면은 1차 동차다항식

$\sum _{i}c_{i}x_{i}$

의 꼴의 함수들이다. 즉, 세르 뒤틀림 층은 일종의 좌표들의 층으로 볼 수 있다. 이 경우, 세르 뒤틀림 층은 가역층이고, 그 역은 사영 공간의 표준 선다발이다.

특히, 0차원 사영 공간은 아핀 스펙트럼과 같다. 즉, 임의의 가환환 $K$에 대하여

$\operatorname {Proj} K[x]=\operatorname {Spec} K$

이다.

준연접층에 대응되는 대역적 사영 스펙트럼

다음이 주어졌다고 하자.

• 스킴 $(X,{\mathcal {O}}_{X})$
• ${\mathcal {O}}_{X}$-준연접층 ${\mathcal {E}}$

그렇다면, 대칭 대수의 층

$\operatorname {\underline {Sym}} _{{\mathcal {O}}_{X}}({\mathcal {E}})\colon U\mapsto \operatorname {Sym} _{{\mathcal {O}}_{X}(U)}\Gamma (U,{\mathcal {E}})$

및 이에 대응하는 대역적 사영 스펙트럼

$\operatorname {\underline {Proj}} \left(\operatorname {\underline {Sym}} _{{\mathcal {O}}_{X}}({\mathcal {E}})\right)=\mathbb {P} ({\mathcal {E}})$

를 정의할 수 있다.

특히, 만약 추가로 ${\mathcal {E}}$가 유한 생성 가군층일 때, 만약 어떤 닫힌 몰입 $\iota$에 대하여

$Y{\xrightarrow {\iota }}\mathbb {P} ({\mathcal {E}})\to X$

의 꼴로 분해될 수 있는 스킴 사상 $Y\to X$를 사영 사상(射影寫像, 영어: projective morphism)이라고 한다.

외부 링크

• Shokurov, V.V. (2001). “Projective spectrum of a ring”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Projective scheme”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Murfet, Daniel (2006년 5월 16일). “The Proj construction” (PDF) (영어). 
• Murfet, Daniel (2006년 10월 5일). “The relative Proj construction” (PDF) (영어).