수학 에서 상 (像, 영어 : image )은 어떤 함수 에 대한 정의역 의 원소(들)에 대응하는 공역 의 원소(들)이다. 반대로, 원상 (原像, 영어 : preimage ) 또는 역상 (逆像, 영어 : inverse image )은 어떤 함수에 대한 공역 의 원소(들)에 대응하는 정의역 의 원소(들)이다.
정의역 이
X
{\displaystyle X}
공역 이
Y
{\displaystyle Y}
f
:
X
→
Y
{\displaystyle f\colon X\to Y}
정의역의 원소
x
∈
X
{\displaystyle x\in X}
f
{\displaystyle f}
상 은 공역의 원소
f
(
x
)
∈
Y
{\displaystyle f(x)\in Y}
이다. 정의역의 부분 집합
A
⊆
X
{\displaystyle A\subseteq X}
f
{\displaystyle f}
상 은 공역의 부분 집합
f
(
A
)
=
{
f
(
x
)
:
x
∈
A
}
⊆
Y
{\displaystyle f(A)=\{f(x)\colon x\in A\}\subseteq Y}
이다.
공역의 원소
y
∈
Y
{\displaystyle y\in Y}
f
{\displaystyle f}
원상 은 정의역의 부분 집합
f
−
1
(
y
)
=
{
x
∈
X
:
f
(
x
)
=
y
}
⊆
X
{\displaystyle f^{-1}(y)=\{x\in X\colon f(x)=y\}\subseteq X}
이다. 이는 정의역의 원소가 아니라, 정의역의 부분 집합이라는 데 주의하자.
공역의 부분 집합
B
⊆
Y
{\displaystyle B\subseteq Y}
f
{\displaystyle f}
원상 은 정의역의 부분 집합
f
−
1
(
B
)
=
{
x
∈
X
:
f
(
x
)
∈
B
}
⊆
X
{\displaystyle f^{-1}(B)=\{x\in X\colon f(x)\in B\}\subseteq X}
이다.
정의역의 상을 치역
상과 원상의 표기는 다음과 같이 여러 가지가 있다.
상
원상
f
(
A
)
{\displaystyle f(A)}
f
−
1
(
B
)
{\displaystyle f^{-1}(B)}
f
[
A
]
{\displaystyle f[A]}
f
−
1
[
B
]
{\displaystyle f^{-1}[B]}
f
∗
(
A
)
{\displaystyle f_{*}(A)}
f
∗
(
B
)
{\displaystyle f^{*}(B)}
f
→
(
A
)
{\displaystyle f^{\rightarrow }(A)}
f
←
(
B
)
{\displaystyle f^{\leftarrow }(B)}
함수
f
:
X
→
Y
{\displaystyle f\colon X\to Y}
A
,
A
′
,
A
i
⊆
X
{\displaystyle A,A',A_{i}\subseteq X}
B
,
B
′
,
B
j
⊆
Y
{\displaystyle B,B',B_{j}\subseteq Y}
f
(
⋃
i
∈
I
A
i
)
=
⋃
i
∈
I
f
(
A
i
)
{\displaystyle \textstyle f(\bigcup _{i\in I}A_{i})=\bigcup _{i\in I}f(A_{i})}
f
(
⋂
i
∈
I
A
i
)
⊆
⋂
i
∈
I
f
(
A
i
)
{\displaystyle \textstyle f(\bigcap _{i\in I}A_{i})\subseteq \bigcap _{i\in I}f(A_{i})}
f
(
A
∖
A
′
)
⊇
f
(
A
)
∖
f
(
A
′
)
{\displaystyle f(A\setminus A')\supseteq f(A)\setminus f(A')}
f
−
1
(
⋃
j
∈
J
B
j
)
=
⋃
j
∈
J
f
−
1
(
B
j
)
{\displaystyle \textstyle f^{-1}(\bigcup _{j\in J}B_{j})=\bigcup _{j\in J}f^{-1}\left(B_{j}\right)}
f
−
1
(
⋂
j
∈
J
B
j
)
=
⋂
j
∈
J
f
−
1
(
B
j
)
{\displaystyle \textstyle f^{-1}(\bigcap _{j\in J}B_{j})=\bigcap _{j\in J}f^{-1}\left(B_{j}\right)}
f
−
1
(
B
∖
B
′
)
=
f
−
1
(
B
)
∖
f
−
1
(
B
′
)
{\displaystyle f^{-1}\left(B\setminus B'\right)=f^{-1}\left(B\right)\setminus f^{-1}\left(B'\right)}
f
−
1
(
f
(
A
)
)
⊇
A
{\displaystyle f^{-1}(f(A))\supseteq A}
f
(
f
−
1
(
B
)
)
⊆
B
{\displaystyle f(f^{-1}(B))\subseteq B}
A
⊆
A
′
{\displaystyle A\subseteq A'}
f
(
A
)
⊆
f
(
A
′
)
{\displaystyle f(A)\subseteq f(A')}
B
⊆
B
′
{\displaystyle B\subseteq B'}
f
−
1
(
B
)
⊆
f
−
1
(
B
′
)
{\displaystyle f^{-1}(B)\subseteq f^{-1}(B')}
외부 링크 [ 편집 ]
![{\displaystyle f[A]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/35ed71bdb47bfe4c79812b2740415da6f8914c21)
![{\displaystyle f^{-1}[B]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6089e39c5def7b9907ba317bbb0593f74e5550aa)
