모리타 문맥

환론에서 모리타 문맥([森田]文脈, 영어: Morita context)은 두 개의 쌍가군으로 정의되는 수학적 구조이며, 이를 사용하여 모리타 환([森田]環, 영어: Morita ring)이라는, 2×2 행렬들로 구성된 환을 정의할 수 있다. 만약 두 쌍가군 가운데 하나가 0이라면, 이에 대응되는 환은 삼각환(三角環, 영어: triangular (matrix) ring)이라고 하며, 이는 2×2 상삼각행렬들로 구성된다.

정의

행렬을 통한 정의

환 $R$와 $S$ 사이의 모리타 문맥은 다음과 같은 데이터로 구성된다.^{:486; 503, Exercise §18.18}

• $(R,S)$-쌍가군 ${}_{R}M_{S}$
• $(S,R)$-쌍가군 ${}_{S}N_{R}$
• $(R,R)$-쌍가군 준동형 $\phi \colon {}_{R}(M\otimes _{S}N)_{R}\to {}_{R}R_{R}$
• $(S,S)$-쌍가군 준동형 $\psi \colon {}_{S}(N\otimes _{R}M)_{S}\to {}_{S}S_{S}$

이 데이터는 다음 조건들을 만족시켜야 한다.

• $\operatorname {id} _{M}\otimes _{S}\psi =\phi \otimes _{R}\operatorname {id} _{N}$
• $\psi \otimes _{S}\operatorname {id} _{N}=\operatorname {id} _{M}\otimes _{R}N$

모리타 문맥 $(R,S,M,N,\phi ,\psi )$이 주어졌을 때, 아벨 군

$R\oplus M\oplus N\oplus S$

위에 다음과 같은 이항 연산을 부여하면 이는 환을 이루며, 이를 모리타 환(영어: Morita ring)이라고 한다.

$(r,m,n,s)(r',m',n',s')=\left(rr'+\phi (m\otimes _{S}n'),rm'+ms',nr'+sn',ss'+\psi (n\otimes _{R}m')\right)$

$R\oplus M\oplus N\oplus S$의 원소를 다음과 같은 2×2 행렬

${\begin{pmatrix}r&m\\n&s\end{pmatrix}}\qquad (r\in R,\;m\in M,\;n\in N,\;s\in S)$

로 나타내며 $\phi$와 $\psi$를 생략한다면, 모리타 환의 곱은 행렬의 곱셈으로 생각할 수 있다. 따라서, 모리타 환은 기호로

${\begin{pmatrix}R&M\\N&S\end{pmatrix}}$

로 표기한다.

특수한 경우로, $N=0$이며 $\phi$, $\psi$는 영 쌍가군을 정의역으로 하는 유일한 쌍가군 준동형이라고 하자. 이 경우 모리타 환 $({\begin{smallmatrix}R&M\\0&S\end{smallmatrix}})$은 상삼각행렬로 구성되며, 이를 삼각환이라고 한다.^{:16, Example 1.14:503, Exercise §18.18} 즉, 이는 아벨 군으로서 직합 $R\oplus M\oplus S$이며, 그 위의 환 구조는 다음과 같다.

$(r,m,s)(r',m',s')=(rr',rm'+ms',ss')\qquad (r,r'\in R,\;m,m'\in M,\;s,s'\in S)$

멱등원을 통한 정의

삼각환은 다음과 같이 다르게 정의할 수도 있다.^{:430, Theorem 6.4(c)} 모리타 문맥 $(T,e)$은 다음과 같은 데이터로 주어진다.

• $T$는 환이다.
• $e\in T$는 멱등원이다. 즉, $e^{2}=e$를 만족시킨다.

이 정의는 쌍가군을 통한 정의와 동치이다. 구체적으로, $(T,e)$가 주어졌을 때,

$R=eTe$

$S=(1-e)T(1-e)$

$M=eT(1-e)$

$N=(1-e)Te$

$\phi \colon \left(eT(1-e)\otimes _{R}(1-e)Te\right)\to eTe$

$\phi \colon \left(et(1-e)\otimes _{R}(1-e)t'e\right)\mapsto et(1-e)t'e$

$\psi \colon \left((1-e)Te\otimes _{S}eT(1-e)\right)\to (1-e)T(1-e)$

$\psi \colon \left((1-e)te\otimes _{S}et'(1-e)\right)\mapsto (1-e)tet'(1-e)$

로 놓으면, $(R,S,M,N,\phi ,\psi )$는 모리타 문맥을 이룬다. 반대로, 모리타 문맥 $(R,S,M,N,\phi ,\psi )$이 주어졌을 때,

$T={\begin{pmatrix}R&M\\N&S\end{pmatrix}}$

$e={\begin{pmatrix}1_{R}&0_{M}\\0_{N}&0_{S}\end{pmatrix}}$

로 놓으면, 이는 위 정의를 만족시킨다.

특히, 만약 $N=(1-e)Te=0$일 경우, $(T,e)$는 삼각환 $({\begin{smallmatrix}R&M\\0&S\end{smallmatrix}})$을 정의한다.

준가법 범주를 통한 정의

모리타 문맥의 개념은 범주론적으로 간단히 정의할 수 있다.

모리타 문맥은 2개의 대상을 갖는 준가법 범주(즉, 아벨 군의 범주 $\operatorname {Ab}$ 위의 풍성한 범주)이다.^{:430, Theorem 6.4(a)} 이러한 준가법 범주 ${\mathcal {C}}$가 주어졌으며, 그 두 대상이 $X$와 $Y$라고 하자. 그렇다면

$R=\operatorname {End} _{\mathcal {C}}(X)=\hom _{\mathcal {C}}(X,X)$

$S=\operatorname {End} _{\mathcal {C}}(Y)=\hom _{\mathcal {C}}(Y,Y)$

$M=\hom _{\mathcal {C}}(X,Y)$

$N=\hom _{\mathcal {C}}(Y,X)$

로 놓으면, (준가법 범주에서의 자기 사상 모노이드는 환을 이루므로) $R$와 $S$는 자연스럽게 환의 구조를 가지며, 사상의 합성을 통해 $M$은 $(R,S)$-쌍가군, $N$은 $(S,R)$-쌍가군을 이룬다. 또한, 사상의 합성을 통하여 자연스럽게 사상

$\phi \colon M\otimes _{S}N\to R$

$\psi \colon N\otimes _{S}M\to S$

이 존재한다. 만약 $N=0$일 경우 이는 삼각환을 정의한다.

2-범주를 통한 정의

2-범주 이론을 통해, 모리타 문맥의 개념을 일반화할 수 있다. 구체적으로, 2-범주 ${\mathcal {C}}$ 속의 모리타 문맥 $(R,S,M,N,\phi ,\psi )$은 다음과 같은 데이터로 구성된다.^{:424–425, Definition 5.1}

• $R$와 $S$는 ${\mathcal {C}}$의 대상(=0-사상)이다.
• $M\colon R\to S$와 $N\colon S\to R$는 ${\mathcal {C}}$의 1-사상이다.
• $\phi \colon N\circ M\Rightarrow \operatorname {id} _{R}$와 $\psi \colon M\circ N\to \operatorname {id} _{S}$는 ${\mathcal {C}}$의 2-사상이다.

다음과 같은 쌍가군 2-범주 $\operatorname {Bimod}$를 생각하자.

• $\operatorname {Bimod}$의 대상(=0-사상)은 환이다.
• $\operatorname {Bimod}$의 두 대상 $R$, $S$ 사이의 1-사상은 $(R,S)$-쌍가군이다. 1-사상의 합성은 쌍가군의 텐서곱 $(_{S}N_{T})\circ (_{R}M_{S})={}_{R}(M\otimes _{S}N)_{T}$으로 주어진다.
• $\operatorname {Bimod}$의 두 대상 $R$, $S$ 사이의 두 1-사상 $_{R}M_{S}$, $_{R}N_{S}$ 사이의 2-사상은 $(R,S)$-쌍가군 준동형 $\phi \colon M\to N$이다.

그렇다면, 2-범주 $\operatorname {Bimod}$ 속의 모리타 문맥은 위의 다른 정의들과 동치이다.

성질

삼각환 $({\begin{smallmatrix}R&M\\0&S\end{smallmatrix}})$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• $({\begin{smallmatrix}R&M\\0&S\end{smallmatrix}})$은 가환환이다.
• $R$와 $S$는 가환환이며, $M=0$이다.

아이디얼

환 $R$와 $S$ 및 $(R,S)$-쌍가군 $_{R}M_{S}$이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 삼각환 $({\begin{smallmatrix}R&M\\0&S\end{smallmatrix}})$의 왼쪽 아이디얼은 다음과 같은 꼴이다.^{:17, Proposition 1.17(1)}

$N\oplus {\mathfrak {S}}$

여기서

• ${\mathfrak {S}}\subseteq S$는 $S$의 왼쪽 아이디얼이다.
• $N\subseteq R\oplus M$은 $_{R}R\oplus {}_{R}M$의 $R$-부분 가군이며, $M{\mathfrak {S}}\subseteq N\cap M$이다.

마찬가지로, 삼각환 $({\begin{smallmatrix}R&M\\0&S\end{smallmatrix}})$의 오른쪽 아이디얼은 다음과 같은 꼴이다.^{:17, Proposition 1.17(2)}

${\mathfrak {R}}\oplus N$

여기서

• ${\mathfrak {R}}\subseteq R$는 $R$의 오른쪽 아이디얼이다.
• $N\subseteq M\oplus S$은 $M_{S}\oplus S_{S}$의 $S$-부분 가군이며, ${\mathfrak {R}}M\subseteq N\cap M$이다.

마찬가지로, 삼각환 $({\begin{smallmatrix}R&M\\0&S\end{smallmatrix}})$의 양쪽 아이디얼은 다음과 같은 꼴이다.^{:17, Proposition 1.17(3)}

${\mathfrak {r}}\oplus N\oplus {\mathfrak {s}}$

여기서

• ${\mathfrak {r}}\subseteq R$는 $R$의 양쪽 아이디얼이다.
• ${\mathfrak {s}}\subseteq S$는 $S$의 양쪽 아이디얼이다.
• $_{R}N_{S}\subseteq {}_{R}M{}_{S}$은 $_{R}M_{S}$의 $(R,S)$-부분 쌍가군이며, ${\mathfrak {r}}M\subseteq N$이자 $M{\mathfrak {s}}\subseteq N$이다.

뇌터·아르틴 조건

삼각환 $({\begin{smallmatrix}R&M\\0&S\end{smallmatrix}})$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.^{:19, Theorem 1.22}

• $({\begin{smallmatrix}R&M\\0&S\end{smallmatrix}})$은 왼쪽 뇌터 환이다.
• $R$와 $S$는 왼쪽 뇌터 환이며, $_{R}M$은 $R$-뇌터 가군이다.

삼각환 $({\begin{smallmatrix}R&M\\0&S\end{smallmatrix}})$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.^{:19, Theorem 1.22}

• $({\begin{smallmatrix}R&M\\0&S\end{smallmatrix}})$은 오른쪽 뇌터 환이다.
• $R$와 $S$는 오른쪽 뇌터 환이며, $M_{S}$은 $S$-뇌터 가군이다.

삼각환 $({\begin{smallmatrix}R&M\\0&S\end{smallmatrix}})$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.^{:19, Theorem 1.22}

• $({\begin{smallmatrix}R&M\\0&S\end{smallmatrix}})$은 왼쪽 아르틴 환이다.
• $R$와 $S$는 왼쪽 아르틴 환이며, $_{R}M$은 $R$-아르틴 가군이다.

삼각환 $({\begin{smallmatrix}R&M\\0&S\end{smallmatrix}})$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.^{:19, Theorem 1.22}

• $({\begin{smallmatrix}R&M\\0&S\end{smallmatrix}})$은 오른쪽 아르틴 환이다.
• $R$와 $S$는 오른쪽 아르틴 환이며, $M_{S}$은 $S$-아르틴 가군이다.

예

자명한 경우

만약 $M=N=0$이라면, 모리타 환은 다음과 같이 단순히 환의 직접곱과 같다.

${\begin{pmatrix}R&0\\0&S\end{pmatrix}}\cong R\times S$

만약 $R=S$이며, $M={\mathfrak {m}}\subseteq R$과 $N={\mathfrak {n}}\subseteq R$이 $R$의 양쪽 아이디얼이라면, 모리타 환

${\begin{pmatrix}R&{\mathfrak {m}}\\{\mathfrak {n}}&R\end{pmatrix}}\subseteq \operatorname {Mat} (2;R)$

은 $R$ 계수 2×2 행렬환의 부분환이다.

오른쪽 가군에 대응되는 모리타 문맥

환 $R$ 위의 오른쪽 가군 $M_{R}$가 주어졌을 때, 다음과 같은 모리타 문맥을 정의할 수 있다.^:486

• $S=\hom(M_{R},M_{R})$
• ${}_{R}N_{S}=\hom({}_{S}M_{R},{}_{R}R_{R})$
• $\phi \colon M\otimes _{R}N\to S$, $(m\otimes _{R}n)\mapsto (m'\mapsto mn(m'))$
• $\psi \colon N\otimes _{S}M\to R$, $(n\otimes _{R}m)\mapsto n(m)$

이러한 모리타 문맥은 모리타 동치의 정의에 사용된다. 구체적으로, 만약 $M_{R}$가 유한 생성 사영 가군이며 오른쪽 가군 범주 $\operatorname {Mod} _{R}$의 생성 대상이라면, 이는 $R$와 $S$ 사이의 모리타 동치를 정의한다.

역사

모리타 문맥과 모리타 환은 모리타 기이치가 모리타 동치 이론을 전개하기 위하여 도입하였다. "모리타 문맥"(영어: Morita context)이라는 용어는 하이먼 배스가 도입하였다.^:460

참고 문헌

• Loustaunau, Philippe; Shapiro, Jay (1990). 〈Morita contexts〉 (영어). 《Non-commutative ring theory. Proceedings of a conference held in Athens, Ohio, Sept. 29–30, 1989》. Lecture Notes in Mathematics 1448. 80–92쪽. doi:10.1007/BFb0091253. 

외부 링크

• “Morita context” (영어). 《nLab》.