산술-기하 평균 부등식

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산술-기하 평균 부등식산술 평균기하 평균 사이에 성립하는 절대부등식이다. 이 부등식은 음수가 아닌 실수들의 산술 평균이 같은 숫자들의 기하 평균보다 크거나 같고, 특히 숫자들이 모두 같을 때만 두 평균이 같음을 나타낸다. 조화 평균에 대해서도 비슷한 부등식이 성립하며, 세 평균 사이의 부등식을 산술기하평균 부등식이라 통칭하기도 구체적으로 n개의 음수가 아닌 실수들 x1, x2, …, xn이 있을 때 다음이 성립한다.

여기서 각 변들은 산술 평균, 기하 평균, 조화 평균에 대응된다. 특히 x1 = x2 = … = xn일 때만 다음이 성립한다.

산술-기하 평균 부등식의 증명[편집]

수학적 귀납법[편집]

음이 아닌 실수 에 대하여

라 하면 산술-기하 평균 부등식을 다음과 같이 쓸 수 있다.

우선, n=1인 경우 주어진 식은 자명하게 성립한다.

다음으로 n=k일 때 주어진 식이 성립한다고 가정하자.

n + 1개의 음이 아닌 실수 에 대하여 산술 평균을 라 하면 다음 식이 성립된다.

만약 모든 라면 n = k+1일때도 주어진 식이 만족하므로 성립한다.

위의 경우가 아닌 경우, 산술평균 보다 큰 수와 작은 수의 쌍을 적어도 하나 정할 수 있다. 보다 큰 수를 , 보다 작은 수를 라고 하자. 그러면,

① 이다.

으로 정의하면 y가 양수이므로 n개의 실수 에 대하여 다음 식이 성립한다.

여기서 의 산술평균이 됨을 확인할 수 있다. 따라서,

가 성립하게 되고, ①에 의하여

즉, 이다. 따라서

가 성립하게 되므로 증명이 끝나게 된다.

코시의 증명 : 수학적 귀납법(Proof by Cauchy using forward–backward induction)[편집]

모든 가 같은 경우[편집]

이면 산술평균과 기하평균이 으로 일치하게 되므로 주어진 식이 성립한다.

모든 가 같지는 않은 경우[편집]

n = 2[편집]

서로 다른 두 실수 를 정하면 다음 식이 성립한다.

따라서 아래의 식이 성립하게 된다.

n = 2k[편집]

수학적 귀납법을 이용하자. n=1일 때 성립함은 위에서 증명했다.

n=k일 때 성립함을 가정하면, 다음 식이 성립한다.

n=k+1인 경우도 시도해 보면,

여기서 등호성립조건은,

일 때와
일 때이다.

또한, 두 개의 기하평균이 같아야 하므로 :

따라서 아래 식이 성립됨이 증명된다.

n < 2k[편집]

n이 2의 거듭제곱꼴이 아니라면, 어떠한 n을 잡더라도 그것보다 큰 2의 거듭제곱꼴의 수를 정할 수 있다. 그것을 m이라 하자.

임의의 음이 아닌 실수 의 기하평균을 라 하고, 로 놓으면, m은 2의 거듭제곱꼴이므로 (1≤i≤m)에 대하여 산술-기하 평균 부등식이 성립함을 알 수 있다.


따라서

미분을 이용한 증명[편집]

우선, n=1인 경우 주어진 식은 자명하게 성립한다.

다음으로 n=k일 때 주어진 식이 성립한다고 가정하자.

n=k+1에 대해서도 성립함을 증명하려면 다음 식이 성립함을 증명해야 한다.

라 하면 주어진 식을 다음과 같은 함수식으로 바꿔 쓸 수 있다.

에서 극값을 가진다고 하자.

이므로
따라서 이다. 그리고 에서 유일한 극소값을 가짐을 확인할 수 있다.

n개의 실수에 대하여 산술-기하 평균 부등식이 성립한다고 했으므로

따라서 는 항상 0보다 크거나 같으므로, 를 넣으면 n=k+1에 대해서도 성립함이 증명된다.

일반화[편집]

가중 산술 평균가중 기하 평균 사이에도 비슷한 부등식이 성립한다. n개의 음수가 아닌 실수들 x1, x2, …, xn과 그에 대응하는 가중치 α1, α2, …, αn가 있을 때, 가중치의 합 이라 하면 다음이 성립한다.

마찬가지로 이 부등식은 모든 xk들이 같을 때 등식이 이 부등식의 다른 일반화된 형태로는 뮤어헤드 부등식일반화된 평균 부등식이 있다.

일반화된 산술-기하 평균 부등식의 증명[편집]

를 가중치로 갖는 은 전체 식에 영향을 주지 않으므로 배제하고 생각하면, 증명에서 다루는 모든 는 양수라고 가정할 수 있다.

에서 젠센 부등식을 이용하면 쉽게 증명할 수 있다.

일때 는 오목함수, 즉 위로 볼록한 함수이므로

이다. 는 단조증가함수이므로

가 성립함이 증명된다.