산술 평균-기하 평균 부등식

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산술 평균-기하 평균 부등식산술 평균기하 평균 사이에 성립하는 절대부등식이다. 이 부등식은 음수가 아닌 실수들의 산술 평균이 같은 숫자들의 기하 평균보다 크거나 같고, 특히 숫자들이 모두 같을 때만 두 평균이 같음을 나타낸다. 조화 평균에 대해서도 비슷한 부등식이 성립하며, 세 평균 사이의 부등식을 산술기하평균 부등식이라 통칭하기도 구체적으로 n개의 음수가 아닌 실수들 x1, x2, …, xn이 있을 때 다음이 성립한다.

\frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_n}{n} \geq \sqrt[n]{x_1 \cdot x_2 \cdots x_n} \geq \frac{n}{\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} + \cdots + \frac{1}{x_n}}

여기서 각 변들은 산술 평균, 기하 평균, 조화 평균에 대응된다. 특히 x1 = x2 = … = xn일 때만 다음이 성립한다.

\frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_n}{n} = \sqrt[n]{x_1 \cdot x_2 \cdots x_n} = \frac{n}{\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} + \cdots + \frac{1}{x_n}}

일반화[편집]

가중 산술 평균가중 기하 평균 사이에도 비슷한 부등식이 성립한다. n개의 음수가 아닌 실수들 x1, x2, …, xn과 그에 대응하는 가중치 α1, α2, …, αn가 있을 때, 가중치의 합 \alpha = \alpha_1 + \alpha_2 + \cdots + \alpha_n이라 하면 다음이 성립한다.

\frac{\alpha_1 x_1 + \alpha_2 x_2 + \cdots + \alpha_n x_n}{\alpha} \geq \sqrt[\alpha]{x_1^{\alpha_1} x_2^{\alpha_2} \cdots x_n^{\alpha_n}}

마찬가지로 이 부등식은 모든 xk들이 같을 때 등식이 이 부등식의 다른 일반화된 형태로는 뮤어헤드 부등식일반화된 평균 부등식이 있다.