산술-기하 평균 부등식

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산술 평균-기하 평균 부등식산술 평균기하 평균 사이에 성립하는 절대부등식이다. 이 부등식은 음수가 아닌 실수들의 산술 평균이 같은 숫자들의 기하 평균보다 크거나 같고, 특히 숫자들이 모두 같을 때만 두 평균이 같음을 나타낸다. 조화 평균에 대해서도 비슷한 부등식이 성립하며, 세 평균 사이의 부등식을 산술기하평균 부등식이라 통칭하기도 구체적으로 n개의 음수가 아닌 실수들 x1, x2, …, xn이 있을 때 다음이 성립한다.

\frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_n}{n} \geq \sqrt[n]{x_1 x_2 \cdots x_n} \geq \frac{n}{\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} + \cdots + \frac{1}{x_n}}

여기서 각 변들은 산술 평균, 기하 평균, 조화 평균에 대응된다. 특히 x1 = x2 = … = xn일 때만 다음이 성립한다.

\frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_n}{n} = \sqrt[n]{x_1 x_2 \cdots x_n} = \frac{n}{\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} + \cdots + \frac{1}{x_n}}

산술 평균-기하 평균 부등식의 증명[편집]

수학적 귀납법[편집]

음이 아닌 실수 {x_1, x_2, \cdots, x_n} 에 대하여

\alpha = \frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_n}{n} 라 하면 산술 평균-기하 평균 부등식을 다음과 같이 쓸 수 있다.
{\alpha}^n \ge {x_1 x_2 \cdots x_n}

우선, n=1인 경우 주어진 식은 자명하게 성립한다.

다음으로 n=k일 때 주어진 식이 성립한다고 가정하자.

n + 1개의 음이 아닌 실수 {x_1, x_2, \cdots, x_{n+1}}에 대하여 기하 평균을 \alpha라 하면 다음 식이 성립된다.

 (n+1)\alpha=\ x_1 + \cdots + x_n + x_{n+1}.\,

만약 모든 x_i (i=1, 2, \cdots, n+1)\alpha라면 n = k+1일때도 주어진 식이 만족하므로 성립한다. 위의 경우가 아닌 경우, 기하평균 \alpha보다 큰 수와 작은 수의 쌍을 적어도 하나 정할 수 있다. \alpha보다 큰 수를 x_n, \alpha보다 작은 수를 x_{n+1}라고 하자. 그러면,

(x_n-\alpha)(\alpha-x_{n+1})>0 \cdots① 이다.

y=x_n+x_{n+1}-\alpha\ge x_n-\alpha>0으로 정의하면 y가 양수이므로 n개의 실수 {x_1, x_2, \cdots, x_{n-1}, y}에 대하여 다음 식이 성립한다.

n\alpha=x_1 + \cdots + x_{n-1} + \underbrace{x_n+x_{n+1}-\alpha}_{=\,y},

여기서 \alpha{x_1, x_2, \cdots, x_{n-1}, y}의 기하평균이 됨을 확인할 수 있다. 따라서,

\alpha^{n+1}=\alpha^n\cdot\alpha\ge x_1x_2 \cdots x_{n-1} y\cdot\alpha

가 성립하게 되고, ①에 의하여

(\underbrace{x_n+x_{n+1}-\alpha}_{=\,y})\alpha-x_nx_{n+1}=(x_n-\alpha)(\alpha-x_{n+1})>0,
즉, y\alpha>x_nx_{n+1}이다. 따라서
\alpha^{n+1}>x_1x_2 \cdots x_{n-1} x_nx_{n+1}\,,

가 성립하게 되므로 증명이 끝나게 된다.

코시의 증명 : 수학적 귀납법(Proof by Cauchy using forward–backward induction)[편집]

모든 x_k가 같은 경우[편집]

x_1 = x_2 = \cdots = x_n

이면 산술평균과 기하평균이 x_n으로 일치하게 되므로 주어진 식이 성립한다.

모든 x_k가 같지는 않은 경우[편집]

n = 2[편집]

서로 다른 두 실수 x_1, x_2를 정하면 다음 식이 성립한다.

\begin{align}
\Bigl(\frac{x_1+x_2}{2}\Bigr)^2-x_1x_2
&=\frac14(x_1^2+2x_1x_2+x_2^2)-x_1x_2\\
&=\frac14(x_1^2-2x_1x_2+x_2^2)\\
&=\Bigl(\frac{x_1-x_2}{2}\Bigr)^2>0,
\end{align}

따라서 아래의 식이 성립하게 된다.


\frac{x_1 + x_2}{2} > \sqrt{x_1 x_2}
n = 2k[편집]

수학적 귀납법을 이용하자. n=1일 때 성립함은 위에서 증명했다.

n=k일 때 성립함을 가정하면, 다음 식이 성립한다.

\frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_{2^k}}{2^k} > \sqrt[2^k]{x_1 x_2 \cdots x_{2^k}}

n=k+1인 경우도 시도해 보면,


\begin{align}
\frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_{2^{k+1}}}{2^{k+1}} & {} =\frac{\frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_{2^{k}}}{2^{k}} + \frac{x_{2^{k} + 1} + x_{2^{k} + 2} + \cdots + x_{2^{k+1}}}{2^{k}}}{2} \\[7pt]
& \ge \frac{\sqrt[2^{k}]{x_1 x_2 \cdots x_{2^{k}}} + \sqrt[2^{k}]{x_{2^{k} + 1} x_{2^{k} + 2} \cdots x_{2^{k+1}}}}{2} \\[7pt]
& \ge \sqrt{\sqrt[2^{k}]{x_1 x_2 \cdots x_{2^{k}}} \sqrt[2^{k}]{x_{2^{k} + 1} x_{2^{{k}} + 2} \cdots x_{2^{k+1}}}} \\[7pt]
& = \sqrt[2^{k+1}]{x_1 x_2 \cdots x_{2^{k+1}}}
\end{align}

여기서 등호성립조건은,

x_1 = x_2 = \cdots = x_{2^{k}} 일 때와
x_{2^{k}+1} = x_{2^{k}+2} = \cdots = x_{2^{k+1}} 일 때이다.

또한, 두 개의 기하평균이 같아야 하므로 :x_1 = x_2 = \cdots = x_{2^{k}} = x_{2^{k}+1} = \cdots = x_{2^{k+1}}

따라서 아래 식이 성립됨이 증명된다.

\frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_{2^k}}{2^k} > \sqrt[2^k]{x_1 x_2 \cdots x_{2^k}}
n < 2k[편집]

n이 2의 거듭제곱꼴이 아니라면, 어떠한 n을 잡더라도 그것보다 큰 2의 거듭제곱꼴의 수를 정할 수 있다. 그것을 m이라 하자.

임의의 음이 아닌 실수 x_1, x_2, \cdots, x_n의 기하평균을 \alpha라 하고, x_{n+1} = x_{n+2} = \cdots = x_m = \alpha로 놓으면, m은 2의 거듭제곱꼴이므로 x_i(1≤i≤m)에 대하여 산술 평균- 기하 평균 부등식이 성립함을 알 수 있다.



\begin{align}
\alpha & = \frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_n}{n} \\[6pt]
& = \frac{\frac{m}{n} \left( x_1 + x_2 + \cdots + x_n \right)}{m} \\[6pt]
& = \frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_n + \frac{m-n}{n} \left( x_1 + x_2 + \cdots + x_n \right)}{m} \\[6pt]
& = \frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_n + \left( m-n \right) \alpha}{m} \\[6pt]
& = \frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_n + x_{n+1} + \cdots + x_m}{m} \\[6pt]
& > \sqrt[m]{x_1 x_2 \cdots x_n x_{n+1} \cdots x_m} \\[6pt]
& = \sqrt[m]{x_1 x_2 \cdots x_n \alpha^{m-n}}\,,
\end{align}

따라서

\alpha^m > x_1 x_2 \cdots x_n \alpha^{m-n}
\alpha > \sqrt[n]{x_1 x_2 \cdots x_n}

미분을 이용한 증명[편집]

우선, n=1인 경우 주어진 식은 자명하게 성립한다.

다음으로 n=k일 때 주어진 식이 성립한다고 가정하자.

n=k+1에 대해서도 성립함을 증명하려면 다음 식이 성립함을 증명해야 한다.

\frac{x_1 + \cdots + x_n + x_{n+1}}{n+1} - ({x_1 \cdots x_n x_{n+1}})^{\frac{1}{n+1}}\ge0

x_{n+1} = t라 하면 주어진 식을 다음과 같은 함수식으로 바꿔 쓸 수 있다.

 f(t)=\frac{x_1 + \cdots + x_n + t}{n+1} - ({x_1 \cdots x_n t})^{\frac{1}{n+1}}(t>0)

f(t)t = t_0에서 극값을 가진다고 하자.

f'(t)=\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+1}({x_1 \cdots x_n})^{\frac{1}{n+1}}t^{-\frac{n}{n+1}}(t>0)이므로
({x_1 \cdots x_n})^{\frac{1}{n+1}}t_0^{-\frac{n}{n+1}}=1
t_0^{\frac{n}{n+1}}=({x_1 \cdots x_n})^{\frac{1}{n+1}}
따라서 t_0=({x_1 \cdots x_n})^{\frac{1}n}이다. 그리고 f(t)t=t_0에서 유일한 극소값을 가짐을 확인할 수 있다.

\begin{align}
f(t_0) &= \frac{x_1 + \cdots + x_n + ({x_1 \cdots x_n})^{1/n}}{n+1} - ({x_1 \cdots x_n})^{\frac{1}{n+1}}({x_1 \cdots x_n})^{\frac{1}{n(n+1)}}\\
&= \frac{x_1 + \cdots + x_n}{n+1} + \frac{1}{n+1}({x_1 \cdots x_n})^{\frac{1}n} - ({x_1 \cdots x_n})^{\frac{1}n}\\
&= \frac{x_1 + \cdots + x_n}{n+1} - \frac{n}{n+1}({x_1 \cdots x_n})^{\frac{1}n}\\
&= \frac{n}{n+1}\Bigl(\frac{x_1 + \cdots + x_n}n - ({x_1 \cdots x_n})^{\frac{1}n}\Bigr)\end{align}.

n개의 실수에 대하여 산술 평균-기하 평균 부등식이 성립한다고 했으므로

\frac{x_1 + \cdots + x_n}{n} - ({x_1 \cdots x_n})^{\frac{1}{n}}\ge0

따라서 f(t)는 항상 0보다 크거나 같으므로, t=x_{n+1}를 넣으면 n=k+1에 대해서도 성립함이 증명된다.

일반화[편집]

가중 산술 평균가중 기하 평균 사이에도 비슷한 부등식이 성립한다. n개의 음수가 아닌 실수들 x1, x2, …, xn과 그에 대응하는 가중치 α1, α2, …, αn가 있을 때, 가중치의 합 \alpha = \alpha_1 + \alpha_2 + \cdots + \alpha_n이라 하면 다음이 성립한다.

\frac{\alpha_1 x_1 + \alpha_2 x_2 + \cdots + \alpha_n x_n}{\alpha} \geq \sqrt[\alpha]{x_1^{\alpha_1} x_2^{\alpha_2} \cdots x_n^{\alpha_n}}

마찬가지로 이 부등식은 모든 xk들이 같을 때 등식이 이 부등식의 다른 일반화된 형태로는 뮤어헤드 부등식일반화된 평균 부등식이 있다.

일반화된 산술 평균-기하 평균 부등식의 증명[편집]

\alpha_k=0(k=0, 1, \cdots, n) 를 가중치로 갖는 x_k은 전체 식에 영향을 주지 않으므로 배제하고 생각하면, 증명에서 다루는 모든 \alpha_k는 양수라고 가정할 수 있다.

f(x)=lnx에서 젠센 부등식을 이용하면 쉽게 증명할 수 있다.

x>0일때 f(x)=lnx는 오목함수, 즉 위로 볼록한 함수이므로

\begin{align}
\ln\Bigl(\frac{\alpha_1x_1+\cdots+\alpha_nx_n}\alpha\Bigr) & >\frac{\alpha_1}\alpha\ln x_1+\cdots+\frac{\alpha_n}\alpha\ln x_n \\
& =\ln \sqrt[\alpha]{x_1^{\alpha_1} x_2^{\alpha_2} \cdots x_n^{\alpha_n}}.
\end{align}

이다. f(x)=lnx는 단조증가함수이므로

\frac{\alpha_1 x_1 + \alpha_2 x_2 + \cdots + \alpha_n x_n}{\alpha} \geq \sqrt[\alpha]{x_1^{\alpha_1} x_2^{\alpha_2} \cdots x_n^{\alpha_n}}

가 성립함이 증명된다.