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고전전자기학에서의 관성질량

1881년 조지프 존 톰슨은 관성을 전자기적 현상으로 설명할 수 있음을 발표하였다. 톰슨은 전하를 가진 도체구가 무한한 크기의 유전체를 통과할 때를 생각하였다. 맥스웰의 전자기학 이론에 의하면 변위 전류에 의해 자기장이 만들어지므로, 도체구가 운동하면 전자기장이 생긴다. 에너지 보존 법칙에 의해 전자기장의 에너지는 움직이는 도체에 의해 공급된 것이다. 따라서 도체는 유전체를 통과하며 저항을 받았을 것이다. 유전체는 전도성이 없으므로 도체구는 마치 질량이 증가한 것처럼 느끼게 된다.

톰슨은 유체역학과의 비교를 통해 도체구의 질량 변화를 표현하였다. 구의 질량이 m이라고 할 때 ½mv²의 운동에너지를 가지는 것처럼, 유전체를 통과하며 받는 저항에 의해 ½μv²의 에너지를 가지는 것으로 해석할 수 있다. 즉 도체구의 전체 에너지는 ½(m+μ)v²로 나타난다. 따라서 구의 질량이 m+μ처럼 보이며, 톰슨은 유체역학에서와 같이 μ을 유도질량이라고 하였다. 톰슨은 구가 움직일 때 도체구의 전하 분포가 변하지 않는 전기장이 구에 영향을 주지 않은 채 진행한다고 가정하였다. 톰슨이 계산한 구의 관성질량은 구의 속도와는 상관 없는 값이었다. 톰슨은 결과를 일반화하여 모든 관성질량을 유도질량으로 설명하려 하지 않았다.

올리버 헤비사이드

1889년 올리버 헤비사이드는 톰슨의 가정에서의 오류를 개선해 구의 운동에 의해 증가한 구 바깥의 전자기장의 에너지와 질량의 증가는 각각

$\Delta U={q^{2}v^{2} \over 3ac^{2}}$, $\mu ={2 \over 3}{q^{2} \over ac^{2}}$

임을 보였다. 반지름이 a이고 표면 전하가 q인 정지된 도체구 바깥의 전자기장 U₀의 전체 에너지는 q²/2a으로 표현되므로, 표면전하가 균일하게 분포하는 움직이는 구의 질량 증가는 정지 상태의 전자기장 에너지의 4/3을 c²으로 나눈 것과 같다. 헤비사이드는 톰슨과 달리 질량의 증가분을 관성질량의 일부로 인식하였다.

헤비사이드의 논문에 이어서 전자기적 현상을 역학으로 설명하려는 연구가 여러 있었다. 예를 들어 윌리엄 톰슨과 제임스 클러크 맥스웰은 에테르를 역학적 모형으로 설명하고자 하였다. 반면 루트비히 볼츠만 등은 역학을 전자기학으로 설명할 것을 주장하였다. 빌헬름 빈은 전자기학을 역학으로 설명하는 것이 점점 복잡해지므로 맥스웰 방정식에 근거해 역학 법칙을 유도하고자 하였다. 빈은 헤비사이드의 오류를 개선해 타원체가 정지했을 때의 에너지가 U₀이고 타원체의 속도가 v일때 β=v/c이면 타원체가 움직일 때 주어지는 에너지는

$U=U_{0}\left(1+{2 \over 3}\beta ^{2}+{16 \over 45}\beta ^{4}+\cdots \right)$

임을 구하였다. 타원체의 속도가 작을 경우 두 번째 항까지 근사해서

$\mu ={4 \over 3}{U_{0} \over c^{2}}$

으로 헤비사이드의 결과와 일치한다. 또한 큰 속도에서는 더 많은 항을 가지고 근사해야 하므로 빈의 결과에서 전자기적 질량은 속도에 의존한다.

막스 아브라함

막스 아브라함은 전자의 질량을 순수하게 전자기적 관점에서 설명하고자 하였다. 아브라함은 맥스웰 방정식과 힘의 밀도에 대한 로렌츠 공식에서 시작해 역학적 선운동량과 전자기장의 선운동량의 합이 보존됨을 보였다. 비오-사바르 법칙을 적용해 아브라함은 전자가 속도 v로 움직일 때 전자기장의 전체 운동량

$\mathbf {G^{\left(f\right)}} ={4 \over 3}{U_{0} \over c^{2}}\mathbf {(} v)$

임을 유도하였다. 전자의 속도가 시간에 대해 일정하다면 전자기장의 운동량 또한 일정하며, 역학적 운동량과 장의 운동량의 합이 보존되므로 역학적 운동량 또한 일정하다. 아브라함은 이를 관성의 법칙의 전자기적 해석으로 보았다. w가 가속도이고 μ가 전자기적 질량일 때

${d\mathbf {G^{\left(f\right)}} \over dt}=\mu \mathbf {w}$

발터 카우프만

으로 표현할 수 있다. 아브라함은 운동에 평행한 방향의 운동량과 운동에 수직한 방향의 운동량을 구분하여 운동에 평행한 방향의 질량과 운동에 수직한 방향의 질량을 각각 구한다. 작은 속도의 경우 두 방향의 질량이 같고 헤비사이드의 결과와 일치한다. 발터 카우프만은 전자의 비전하를 측정하는 실험을 통해 전자의 질량이 속도에 의존함을 확인하였으며, 특히 전자의 질량이 온전히 전자기적 질량임을 보였다.

전자기적 질량의 성공을 통해 일부 물리학자들은 전하와 자기장으로만 모든 물리법칙을 설명할 수 있다고 믿게 되었다. 질량은 물질이 통과하는 매질에서의 작용에 의해 나타나며, 이로서 질량과 물질의 양 사이의 관계가 사라졌다. 그러나 전자 이외의 다른 물질에 대해서 전자기적 질량을 일반화하는데 실패하였고, 상대론적 질량과의 괴리로 인해 전자기적 질량에 대한 반론이 증가하였다.

상대론적 질량

갈릴레이 변환에서는 질량이 불변량이며, 운동량 보존 법칙이 유지된다. 그래서 질량은 속도에 의존하지 않는다. 그러나 특수 상대성 이론에서는 모든 관성계에서 맥스웰 방정식에 의한 빛의 속력이 동등하게 나타나도록 하기 위해 로렌츠 변환을 채택한다.

알베르트 아인슈타인

1905년 아인슈타인이 발표한 논문에서는 전하 e를 가진 질량 m₀의 물체의 운동을 생각한다. 물체의 위치가 x이고 전기장 E가 작용할 때 뉴턴의 운동 제2법칙에서 m₀(d²x/dt²)=eE이다. 여기에 로렌츠 변환을 적용하고 질량을 힘을 가속도로 나눈 것으로 이해했을 때 질량이

$m={m_{0} \over {\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}$

로 정리된다. 하지만 아인슈타인의 상대론적 질량의 유도는 전자기 이론에서 유도된 것이므로 전하를 띠지 않는 물체의 상대론적 질량을 이야기하지 않는다.

1909년 길버트 루이스와 리처드 톨만은 질량이 같은 두 물체의 비탄성 충돌을 생각해 운동량 보존 법칙과 로렌츠 변환에 근거해서만 상대론적 질량을 유도한다. 엡스타인은 충돌이 운동방향에 수직인 경우에 대해 상대론적 질량 식을 유도하였고, 외트너는 두 물체가 탄성충돌하는 경우에 대해서 식을 유도하였다. 이 연구들은 모두 운동량 보존 법칙이 로렌츠 변환 후에도 성립한다고 가정하였다. 일반적으로 로렌츠 변환이 일어날 때 운동량 보존 법칙이 여전히 성립하면 질량은 속도에 의존한다.

운동량 보존 법칙이 로렌츠 변환 후에도 성립한다고 가정하고 상대론적 질량 식을 간단히 유도해 보자.

두 물체 A, B의 정지 질량이 m₀로 같다고 하자. 두 물체의 질량 중심이 정지한 좌표계에서 물체 A가 물체 B를 향해 좌표계에 대해 속도 -u로 접근하면, 운동량 보존 법칙에 의해 물체 B는 물체 A의 방향으로 속도 u로 움직인다. 운동량이 보존에 의해 두 물체의 완전 비탄성 충돌이 일어난 후에는 합쳐진 물체가 질량 중심이 정지한 좌표계에 대해 정지해 있을 것이다.

충돌 전 물체 A에 대해 정지한 좌표계에서 바라보자. 충돌 전 물체 B의 속도 v를 계산하면

$v={2u \over 1+u^{2}/c^{2}}$

이다. 속도 v로 움직이는 물체 B의 질량이 m_v일 때 운동량 보존 법칙을 적용하면

$m_{0}\cdot 0+m_{v}\cdot v=(m_{0}+m_{v})\cdot u$

이다. v에 대한 식을 변형하여 m_v에 대해 m₀, u로 정리하면

$m_{v}={m_{0} \over v/u-1}={m_{0} \over {\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}$

로 상대론적 질량의 식이 얻어진다.

헤르만 민코프스키

헤르만 민코프스키는 3차원 운동량 벡터에 에너지와 관련된 성분을 추가한 4차원 에너지-운동량 벡터 Pⁱ를 사용해 상대론적 역학을 정리하였다. 에너지-운동량 벡터는 4차원 속도벡터 Uⁱ에 항상 평행해야 하고, 외력을 받지 않는 물체의 운동량-에너지 벡터가 일치해야 한다는 것이다. 그러면 3차원 공간과 관련된 성분은

$\mathbf {P} ={m_{0} \over {\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}\mathbf {u}$

로 표현된다. 여기서 m₀는 물체의 고유 질량 또는 정지 질량이라고 하며, 물체의 속도와 상관 없이 변하지 않는 양이다. 물체의 고유 질량은 또한 시간이 지나도 변하지 않는다.

질량-에너지 등가성

존 헨리 포인팅은 1884년 포인팅 벡터를 사용해 전자기장을 통해 전달되는 에너지를 계산하였다. 1900년에 푸앙카레는 빛의 운동량을 포인팅 벡터로 표현해 전자기파의 관성질량을 E/c으로 유도한다. 푸앙카레는 전자기 에너지를 공간에 분포하는 가상의 유체로 해석할 수 있다고 하였지만, 이 유체가 보존되는 존재임은 받아들이지 않았다. 1904년 하센뇌를은 전자기 에너지가 내부가 완벽한 거울로 되어 있는 질량이 없는 빈 상자 안에 갇혀 있으면, 그 상자가 움직일 때 전자기 에너지의 크기에 비례하는 관성질량을 가진 것처럼 운동한다는 것을 보였다.

일반적으로 질량-에너지 등가성은 1905년 아인슈타인이 유도한 것으로 인정된다. 아인슈타인은 맥스웰 방정식으로부터 물체가 전자기 복사의 형태로 질량 E를 방출하면 물체의 질량이 E/c²만큼 감소함을 보였다. 이로부터 아인슈타인은 물체의 질량은 물체가 가지는 에너지의 척도라고 결론을 내렸다. 그러나 아인슈타인의 1905년 논문에서는 유도 과정에서 질량-에너지 동등성과 관계된 가정이 포함되어 있어 순환 논리의 오류가 있다. 질량-에너지 동등성은 1907년 막스 플랑크에 의해 올바르게 유도되었다.

물체의 운동에너지에 대해서는 질량-에너지 동등성을 간단히 증명할 수 있다. 운동에너지는

$E_{k}=mc^{2}-m_{0}c^{2}$

로 정리된다. m₀c²을 물체의 정지질량에너지라 한다.

전자와 양전자의 쌍소멸 및 쌍생성의 파인만 도표

만일 물체의 모든 에너지가 운동에너지로 환원될 수 있으면 정지질량에너지는 0이고, 질량과 에너지는 동일한 물리적 존재의 다른 표현이 된다. 질량이 남김없이 에너지를 전환될 수 있음은 물질의 쌍생성과 쌍소멸에 대한 실험에 의해 확인되었다.

질량과 에너지가 남김없이 상호 전환될수 있지만 항상 모든 질량이 에너지로 전환되는 것은 아니다. 고전적 관점에서 물체를 질량과 에너지로 구분하는 기준은 반응의 종류에 따라 다르다. 화학 반응에서는 최외곽 전자의 에너지만이 변화하며 물질의 핵력, 내부 전자껍질의 에너지 등의 나머지 부분은 질량으로 볼 수 있다. 반면 기본 입자의 반응에서는 입자의 모든 에너지가 다른 형태로 전환되기 때문에 입자의 변화하지 않는 질량은 존재하지 않는다.

질량-에너지 동등성이 확립되기 이전에는 운동량 보존, 질량 보존, 에너지 보존의 법칙이 각각 따로 존재하였다. 공간에서 운동량 보존 법칙은 세 가지가 존재하므로 모든 물리적 현상은 총 다섯 가지 등식을 만족해야 했다. 질량-에너지 동등성 이후에는 4차원 운동량-에너지 벡터의 보존 하나만이 존재한다. 따라서 질량 보존과 에너지 보존이 통합되어 물리적 현상 네 가지 등식만을 만족하면 된다. 더불어 질량-에너지 동등성에 의해 에너지의 단순한 차이뿐만 아니라 절대적인 값이 의미를 가지게 되었으며, 전자기적 질량이 전자기장의 에너지를 질량으로 표현하려는 노력임을 이해하게 되었다.

상대론적 질량과 전자기적 질량의 비교

β=v/c일 때 아브라함의 전자기적 질량을 급수로 전개하면

$m=m_{0}\left(1+{2 \over 5}\beta +{9 \over 35}\beta ^{2}+\cdots \right)$

이고 아인슈타인의 상대론적 질량을 전개하면

$m=m_{0}\left(1+{1 \over 2}\beta +{3 \over 8}\beta ^{2}+\cdots \right)$

로 다르다. 전자기적 질량과 상대론적 질량 중 옳은 식을 실험을 통해 가려내고자 하는 노력이 있었다. 카우프만의 실험은 전자기적 질량 식을 지지하였다. 그러나 전자의 비전하를 측정한 이후의 실험들의 결과는 상대론적 질량 식을 지지하였다. 에너지의 관점에서 전자기적 질량과 상대론적 질량의 차이를 이해할 수 있다. 전자기적 질량의 경우 $m=$$(4/3)$$E/c^{2}$이지만, 상대론적 질량의 경우 $m=E/c^{2}$으로 두 개념의 질량-에너지 동등성 식에 차이가 존재한다. 전자기적 질량에 계수 4/3이 붙은 것은 아브라함의 전자기적 질량의 정의가 움직이는 입자의 부피 바깥에서만 전자기장의 에너지를 적분하였기 때문이다. 상대론적으로 올바른 전자기적 질량의 정의에서는 입자의 텐서를 포함하는 전체 에너지-운동량 텐서에 기반해야 한다.

중력질량

능동적 중력질량

능동적 중력질량은 물체 주위의 공간에 중력장을 만들어내는 물체의 성질이다.

요하네스 케플러

케플러의 중력질량

요하네스 케플러는 튀코 브라헤의 행성 관측 결과를 바탕으로 행성들의 궤도를 설명하는 법칙 세 가지를 발표하였다. 세 번째 법칙인 조화의 법칙은 태양계의 모든 행성의 공전 장반경의 세제곱과 공전 주기의 제곱의 비가 일정하다는 것이다. 이 비율은 태양이 만드는 중력의 세기를 서술하므로 태양의 능동적 중력질량을 의미한다. 이 값을 표준 중력계수라 한다.

$\mu =4\pi ^{2}{\frac {a^{3}}{T^{2}}}\propto m_{g}$

자유낙하하는 공이 낙하한 거리는 낙하한 시간의 제곱에 비례한다.

갈릴레오 갈릴레이는 케플러가 조화의 법칙을 발표한 이듬해 망원경으로 목성 주위를 도는 위성 네 개를 발견한다. 갈릴레오는 위성들의 공전 주기와 공전 장반경을 측정한다. 여기서 목성의 능동적 중력질량을 측정할 수 있는데, 그 값은 태양의 1000분의 1 정도이다.

갈릴레오의 중력장

갈릴레오 갈릴레이

갈릴레오 갈릴레이는 실험을 통해 낙하하는 물체의 운동을 설명하고자 하였다. 아리스토텔레스와 달리 갈릴레오는 물체의 운동이 물체의 무거운 정도와 관련이 없다고 주장하였다. 이를 증명하기 위해 갈릴레오는 두 개의 무게가 다른 물체가 실로 연결된 경우에 대한 사고 실험을 제안하였다. 고전적 사고방식에서는 두 물체의 무게의 총합이 더 커졌으므로 각각을 떨어뜨릴 때보다 더 빨리 떨어지는지, 가벼운 물체가 무거운 물체가 빨리 떨어지는 것을 방해할 것인지 모순이 생긴다. 갈릴레오는 이에 대한 결론은 모든 물체가 같은 빠르기로 운동해야 한다는 것이다.

갈릴레오는 1638년에 발간된 <새로운 두 과학>에서 기울어진 면을 내려오는 구의 가속도를 측정한 실험을 소개한다. 갈릴레이는 기울어진 면의 다양한 각도에서 실험한 결과 물체는 자유낙하에서 낙하한 시간의 제곱에 비례하는 길이만큼 낙하한다고 하였다. 이로써 갈릴레이는 지구의 중력장에 의한 중력 가속도는 낙하하는 물체의 질량과 관계 없음을 보였다. 그러나 케플러의 중력 질량과 갈릴레이의 중력장은 뉴턴에 의해서야 통합된다.

뉴턴의 능동적 중력질량

로버트 훅은 1674년에 모든 천체는 다른 천체에 자신의 중심으로 향하는 인력을 작용한다고 기술하였다. 훅은 이 인력이 다른 천체가 천체의 중심에 얼마나 가까운지에 따라 인력이 증가한다고 생각하였다. 훅은 중력이 두 천체의 거리의 역제곱에 비례함을 아이작 뉴턴에게 증명하게 하였다. 뉴턴은 프린키피아에 중력의 역제곱 법칙을 서술하였다.

뉴턴은 케플러의 세 법칙으로부터 중력질량과 갈릴레오의 중력가속도를 연결하는 다음 관계를 증명하였다.

$g={\frac {\mu }{r^{2}}}$

g는 천체가 중력장에 의해 받는 가속도이고, μ는 중력을 생성하는 천체의 표준 중력 계수이며, r은 두 천체 사이의 거리이다. 이제 두 가지 방법으로 지구의 질량을 측정할 수 있게 되었다. 달의 궤도를 분석해 케플러의 방법에 따라 지구의 질량을 계산할 수 있고, 지구 표면에서 중력가속도를 측정하여 지구 반지름의 제곱을 곱해 지구의 능동적 중력질량을 측정할 수도 있다. 두 방법으로 계산한 결과 지구의 질량은 태양 질량의 300만분의 1로 일치한다.

사과는 지구의 중심 방향의 중력을 받는다. 사과가 느끼는 중력의 크기는 지구의 각 부분이 사과에게 작용하는 중력의 합이다.

훅의 논의에서는 왜 천체만 중력장을 형성하는지와 왜 인력의 방향이 천체의 중심을 향하는지를 설명하지 않았다. 뉴턴은 천체에 대한 훅의 논의를 모든 물체로까지 보편화시켜 모든 물체가 능동적 중력질량을 가지고 따라서 중력장을 형성한다고 하였으며, 그 세기는 거리의 제곱에 반비례한다고 하였다. 뉴턴은 이를 바탕으로 큰 구형 물체가 여러 작은 질량 요소로 이루어져 있을 때 각각이 형성하는 중력장의 합을 구하여 천체가 만드는 중력장의 방향을 계산하였다. 계산 결과 같은 반지름에 해당하는 지점의 밀도가 모두 같을 경우 물체는 전체 질량에 비례하고 물체 중심으로부터 거리의 제곱에 반비례하는 중력장을 형성하여 훅의 이론의 문제점을 설명하였다. 왼쪽 그림에서 지구의 각 부분은 능동적 중력질량을 가지므로 각 부분마다 중력장을 형성한다. 각 부분의 영향을 모두 합성하면 마치 오른쪽 그림처럼 지구 전체가 지구 중심으로 향하는 중력장을 형성한 것과 같다.

수동적 중력질량

수동적 중력질량은 중력장에 의해 영향을 받는 물체의 성질이다.

물체가 중력장 내에 있을 때, 중력가속도의 크기가 g이고 물체가 받는 중력의 크기가 F일 때, 물체의 수동적 중력질량은

$m_{p}={F \over g}$

로 주어진다.

무게와 수동적 중력질량

무게는 중력장 내에서 물체가 정지하도록 가해 주어야 하는 힘의 크기이다. 따라서 물체의 무게는 물체의 수동적 중력질량과 비례한다. 그러나 무게는 실생활에서 흔히 질량과 혼용된다. 무게는 힘의 크기이므로 단위가 뉴턴(N)이며, 중력장의 세기가 바뀌면 무게도 바뀐다. 질량은 중력장의 세기와 무관하게 주어진 값이므로 어느 곳에서나 일정하다. 하지만 지구 표면에서는 중력장의 세기가 거의 바뀌지 않기 때문에 물체의 무게는 어디서나 똑같이 느껴지고, 따라서 옛날 사람들은 무게가 물질의 근본적인 성질이라 착각하였다.

능동적, 수동적 중력질량의 동등성

능동적 중력질량과 수동적 중력질량의 동등성은 작용 반작용의 법칙에 의해 주어진다. 물체 1의 수동적 중력질량을 $m_{p1}$, 능동적 중력질량(표준 중력계수)을 $\mu _{1}$라 하고, 물체 2의 수동적, 능동적 중력질량을 각각 $m_{p2}$, $\mu _{2}$라 하자. 물체 1이 물체 2에 작용하는 중력의 크기와 이고 물체 2가 물체 1에 작용하는 중력의 크기는 각각

$F_{21}={m_{p2}\mu _{1} \over r^{2}}$, $F_{12}={m_{p1}\mu _{2} \over r^{2}}$

로 주어진다. 작용 반작용의 법칙에 의해 $F_{21}=F_{12}$이므로

${m_{p1} \over \mu _{1}}={m_{p2} \over \mu _{2}}$

로 수동적 중력질량과 능동적 중력질량이 비례하는 것은 당연한 결과이다.

캐번디시의 비틀림 저울

이 때 두 가지 중력질량의 비례계수를 1로 해주는 상수를 중력상수 G로 정의한다. 따라서 뉴턴의 중력법칙은

$F_{21}=G{m_{a1}m_{p2} \over r^{2}}$

로 주어진다. 1797년 헨리 캐번디시가 처음으로 비틀림 저울을 사용해 중력상수를 측정했으며, 오늘날 중력상수의 값은

$G=6.674\times 10^{-11}\ {\mbox{m}}^{3}\ {\mbox{kg}}^{-1}\ {\mbox{s}}^{-2}$

으로 알려져 있다.

관성질량과 중력질량의 동등성

뉴턴 역학에서의 동등성

뉴턴의 운동 제2법칙과 중력법칙을 이용하면 물체가 중력만을 받을 때 물체의 가속도는

$a={M \over m}g$

로 주어진다. 여기서 m은 물체의 관성질량이고 M은 물체의 중력질량이다. 따라서 물체가 똑같은 중력장 내에서 항상 일정한 가속도를 가지는 것과 물체의 관성질량과 중력질량의 동등성은 동치이다.

물체의 관성질량과 중력질량의 동등성은 실험적인 사실이다. 뉴턴은 진자를 사용한 실험을 바탕으로 관성질량과 중력질량의 동등성을 주장하였다. 이후 베셀, 외트뵈시, 디키 등에 의해 정밀도가 향상된 실험이 진행되었고, 모두 관성질량이 중력질량에 비례함을 확인하였다. 현재 관성질량과 중력질량이 5×10^-13의 정밀도로 일치함이 확인되어 있다.

일반 상대론에서의 동등성

 이 부분의 본문은 등가원리입니다.

일반 상대성 이론에서는 관성질량과 수동적 중력질량이 서로 비례하는 것이 등가원리에 의해 당연하다. 일반상대론의 등가원리에서는 '균일한 중력장 아래서 기술되는 물리법칙은 그 중력장에 해당하는 등가속도 운동을 하는 기준계에서 기술되는 물리법칙과 동일하다.' 즉 중력장에 의해 물체가 느끼는 중력과 가속되는 물체가 느끼는 힘은 동일하며, 관성질량과 수동적 중력질량이 동등하다.

반면 일반 상대성 이론에서는 작용 반작용의 법칙을 적용할 수 없으므로 수동적 중력질량과 관성적 중력질량의 동등성을 바로 유도할 수 없다. 하지만 에너지-운동량 텐서를 통해 관성질량과 능동적 중력질량의 동등성을 증명할 수 있다. 따라서 일반 상대성 이론에서는 세 가지 질량의 정의가 이론적으로 동등하다.