사용자:Kjhwddd/최소 상계 성질

유계인 실수의 부분집합은 최소 상계를 갖는다.

수학에서, 최소 상계 성질 (때때로 완비성 또는 상한 성질) 은 실수와 특정한 다른 순서집합의 기본적인 성질이다. 집합 X가 최소 상계 성질을 만족할 때, 그리고 그 때에만 X의 공집합이 아니고 상계를 갖는 모든 부분집합이 X에서 최소상계 (상한)을 갖는다는 것을 의미한다.

최소 상계 성질은 실수에 대한 완비성 공리의 한 형태이고, 때때로 데데킨트 완비성이라고 불리기도 한다. 이는 실해석학의 많은 기본적인 정리 (예를 들면 중간값 정리, 볼차노-바이어슈트라스 정리, 극값 정리, 하이네-보렐 정리) 들을 증명하는데 사용된다. 이는 때때로 실수의 구성에서 공리로 사용되고 (최소 상계 공리), 데데킨트 절단을 사용하여 실수를 구성하는데 사용된다.

순서론에서, 이 성질은 부분 순서 집합에 대한 완비성의 개념으로 일반화 될 수 있다. 조밀하고 최소 상계 성질을 갖는 선형 순서 집합을 선형 연속체라 한다.

성질에 대한 명제

실수에서의 명제

S를 공집합이 아닌 실수들의 집합이라 하자.

• 모든 s ∈ S에 대해 x ≥ s 일 때, 실수 x를 S에 대한 상계라고 한다.
• 실수 x가 S의 상계이고 S의 임의의 상계 y에 대해 x ≤ y 이면, x를 최소 상계 (또는 상한)이라고 한다.

최소 상계 성질은 임의의 공집합이 아니고 상계를 갖는 실수들의 집합이 반드시 실수 집합에서 최소 상계를 갖는다는 것을 의미한다.

순서 집합으로의 일반화

더 일반적으로, "실수"를 "X의 원소"로 바꿈으로써 부분 순서 집합 X의 임의의 부분집합에 대한 상계와 최소 상계를 정의할 수 있다. 이 때는, 공집합이 아니고 상계를 갖는 X의 모든 부분집합이 상계를 가질 때 X가 최소 상계 성질을 갖는다고 말한다.

예를 들어, 유리수의 집합 Q 는 일반적인 순서 하에서는 최소 상계를 갖지 않는다. 예를 들어, 집합

${\displaystyle }$

는 Q에서 상계를 가지지만, (2의 제곱근이 무리수이기 때문에) Q에서 최소상계는 존재하지 않는다. 데데킨트 절단을 사용하여 실수를 구성하면 무리수를 유리수의 어떠한 부분집합의 최소 상계로 정의함으로써 이러한 문제에 대한 이점을 갖는다.

증명

논리적인 진술

최소 상계 성질은 코시 수열 또는 축소 구간 정리와 같은 완비성 공리의 다른 형태들과 동일하다. 이 성질에 대한 논리적인 명제는 사용하는 실수의 구성에 따라 달라진다 : 실수 공리에서, 이 성질은 실수에 대한 공리로 여겨진다. (최소 상계 공리); 구성에 의한 접근 방식에서는, 이 성질은 정리로서 증명되어야 하는데, 구성으로 부터 직접 얻어지거나, 완비성의 다른 형식의 결과로 얻어진다.

코시 수열을 이용한 증명

It is possible to prove the least-upper-bound property using the assumption that every Cauchy sequence of real numbers converges. Let S be a nonempty set of real numbers, and suppose that S has an upper bound B₁. Since S is nonempty, there exists a real number A₁ that is not an upper bound for S. Define sequences A₁, A₂, A₃, ... and B₁, B₂, B₃, ... recursively as follows:

A₁ that is not an upper bound for S. Define sequences A₁, A₂, A₃, ... and B₁, B₂, B₃, ... recursively as follows:

Notes

[[분류:순서론]] [[분류:실해석학]]