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수학에서 쓰이는 함수 중에는 고유한 이름을 가질 정도로 중요한 함수가 여러 개 존재한다. 이 문서는 그에 해당되는 함수에 대해 더 자세한 설명을 해 주는 기사의 링크롤 모아 둔 목록이다. 통계학과 수리물리학에서 유래한 특수함수에 대한 이론이 존재하기도 한다. 현대 수학의 추상적인 관점에서는 무한차원이면서도 대다수의 함수가 익명 함수인 큰 함수공간과 별도로 대칭성이나 조화해석학, 군 표현론 등에 대한 관계에 따라 선별된 특수 함수를 구분한다.
초등함수[편집]
초등함수 are 함수 built from basic operations (e.g. addition, 지수s, 로그...)
대수함수[편집]
대수함수 are 함수 that can be expressed as the solution of a 다항식equation with integer coefficients.
초등초월함수[편집]
대수함수가 아닌 함수는 초월함수라고 한다.
- 지수 함수: 밑이 상수이고 지수가 변수인 함수.
- 거듭제곱 함수: 밑이 변수이고 지수가 상수인 함수. 지수가 유리수일 경우 엄격하게는 초월함수가 아님.
- 쌍곡선함수: 삼각함수의 변수가 허수일 때의 형태.
- 로그: 지수 함수의 역함수. 지수와 관련된 방정식을 풀 때 유용.
- 주기함수
특수함수[편집]
기본적인 특수 함수[편집]
- 표시함수: maps x to either 1 or 0, depending on whether or not x belongs to some subset.
- 계단함수: A finite linear combination of indicator 함수s of half-open intervals.
- 헤비사이드 계단함수: 0 for negative arguments and 1 for positive arguments. The적분 of the 디랙 델타함수.
- 바닥 함수, 천장 함수: Largest integer less than or equal to a given수.
- 부호함수: Returns only the sign of a수, as +1 or −1.
- 절대값: distance to the origin (zero point)
정수론 함수[편집]
- 시그마함수: Sums of 거듭제곱s of divisors of a given 자연수.
- 오일러's totient 함수:수 of수 coprime to (and not bigger than) a given one.
- Prime-counting 함수: 수 of primes less than or equal to a given수.
- Partition 함수: Order-independent count of ways to write a given positive integer as a sum of positive integers.
초등함수의 원시함수[편집]
- 로그ic적분 함수:적분 of the reciprocal of the 로그, important in the prime수 theorem.
- 지수적분
- 삼각적분: Including Sine적분 and Cosine적분
- 오차 함수: An적분 important for normal random variables.
- 프레넬 적분: related to the error 함수; used in optics.
- 도슨 함수: occurs in probability.
감마 및 관련 함수[편집]
- 감마함수: 팩토리얼의 일반화.
- 반스 G 함수
- 베타 함수: 이항계수의 일반화.
- 다이감마함수, 폴리감마함수
- 불완전 베타함수
- 불완전 감마함수
- K-함수
- 다변수 감마함수: 다변량 통계학에 유용한 감마함수의 일반화.
- t 분포
타원 및 관련 함수[편집]
- 타원적분s: Arising from the path length of ellipses; important in many applications. Related 함수 are the quarter period and the nome. Alternate notations include:
- 타원함수s: The inverses of 타원적분s; used to model double-주기phenomena. Particular types are 바이어슈트라스's 타원함수 and Jacobi's 타원함수.
- 세타함수
- Closely related are the modular 형식s, which include
베셀 및 관련 함수[편집]
- 에어리 함수
- 베셀 함수s: Defined by a differential equation; useful in astronomy, electromagnetism, and mechanics.
- 베셀-클리퍼드 함수
- 르장드르 함수: From the 이론 of 구면조화함수.
- 스코러 함수
- 싱크함수
- 에르미트 다항식
- 체비쇼프 다항식
리만 제타 및 관련 함수[편집]
- 리만 제타함수: A special case of 디리클레 급수.
- 디리클레 에타함수: An allied 함수.
- 후르비츠 제타함수
- 르장드르 카이함수
- Lerch 초월함수
- 폴리로그 and related 함수:
- 불완전 poly로그
- 클라우센 함수
- 완전 페르미-디랙 적분, an alternate 형식 of the poly로그.
- 불완전 페르미-디랙 적분
- 쿰머 함수
- 스펜스 함수
- Riesz 함수
초기하 및 관련 함수[편집]
- 초기하함수s: Versatile family of 거듭제곱 급수.
- 합류 초기하함수
- 부수된 르장드르 함수
- 마이어 G 함수
반복 지수 및 관련 함수[편집]
기타 표준적인 함수[편집]
기타[편집]
- 애커만 함수: in the 이론 of computation, a computable 함수 that is not primitive recursive.
- 디랙 델타함수: everywhere zero except for x = 0; total적분 is 1. Not a 함수 but a 분포, but sometimes in형식ally referred to as a 함수, particularly by physicists and engineers.
- 디리클레 함수: is an indicator 함수 that matches 1 to 유리수 and 0 to 무리s. It is nowhere continuous.
- 크로네커 델타함수: is a 함수 of two variables, usually integers, which is 1 if they are equal, and 0 otherwise.
- 민코프스키's question mark 함수: Derivatives vanish on the 유리s.
- 바이어슈트라스 함수: is an example of continuous 함수 that is nowhere differentiable