사용자:Dolicom/수학/수학 고등학교

고등학교 수학

• 수학I : 공통 교육과정 기간인 중학교 3학년까지의 수학을 이수한 후 보다 높은 수준의 수학을 학습하기 위하여 선택할 수 있는 기본 과목이다.

목표 : 다항식, 방정식과 부등식, 도형의 방정식에 관련된 개념, 원리, 법칙과 이들 사이의 관계를 이해

• 수학II : 공통 교육과정 기간인 중학교 3학년까지의 수학과 수학I의 내용을 이해한 학생이 보다 높은 수준의 수학을 학습하기 위하여 선택할 수 있는 기본 과목이다.

목표 : 집합과 명제, 함수, 수열, 지수와 로그에 관련된 개념, 원리, 법칙과 이들 사이의 관계를 이해

• 미적분I : 수학I과 수학II의 내용을 이해한 학생이 선택할 수 있는 과목이다.

목표 : 수열의 극한, 함수의 극한과 연속, 다항함수의 미분법, 다항함수의 적분법에 관련된 개념, 원리, 법칙과 이들사이의 관계를 이해

• 미적분II : 미적분I의 내용을 이해한 학생이 선택할 수 있는 과목으로 대학의 자연계열 또는 공학계열 등의 미적분의 내용을 필요로 하는 분야로 진학하려는 학생이 이수하기에 알맞은 과목이다.

목표 : 지수함수와 로그함수, 삼각함수, 미분법, 적분법에 관련된 개념, 원리, 법칙과 이들 사이의 관계를 이해

• 확률과 통계 : 미적분I이나 미적분II의 내용을 이해한 학생이 선택하는 것이 바람직하지만, 미적분I이나 미적분II를 이수하지 않은 학생도 선택할 수 있는 과목이다.

목표 : 순열과 조합, 확률, 통계에 관련된 개념, 원리, 법칙과 이들 사이의 관계를 이해하는 능력을 기른다.

• 기하와 벡터 : 미적분I이나 미적분II의 내용을 이해한 학생이 보다 높은 수준의 수학을 학습하기 위하여 선택할수 있는 과목이다.

목표 : 평면 곡선, 평면벡터, 공간도형과 공간벡터에 관련된 개념, 원리, 법칙과 이들 사이의 관계를 이해

내용

• 수학 I : 다항식, 방정식과 부등식, 도형의 방정식
• 수학II : 집합과 명제, 함수, 수열, 지수와 로그

내용별 :

• 미적분I : 수열의 극한, 함수의 극한과 연속, 다항함수의 미분법, 다항함수의 적분법
• 미적분II : 지수함수와 로그함수, 삼각함수, 미분법, 적분법
• 확률과 통계 : 순열과 조합, 확률, 통계
• 기하와 벡터 : 평면 곡선, 평면벡터, 공간도형과 공간벡터

다항식

다항식(polynomial)은 일반적으로 $7x^{3}+(-x^{2})+14x+(-3y^{2})+y+(-9)$ 와 같이 특정한 문자를 포함하거나 포함하지 않는 항들의 합으로 이루어진 식을 말한다.

다항식의 표현

다항식에 있는 문자가 한두 개가 아닐 수 있으므로, 초점이 되는 '특정한 문자'가 무엇인지 알려주기 위해 (특정한 문자)에 대한 다항식 이라고 표현한다. 예를 들어 위의 다항식은 '$x$에 대한 다항식' 또는 '$y$에 대한 다항식' 등으로 표현할 수 있다.

다항식의 항

x에 대한 다항식 $(7x^{3})+(-x^{2})+(14x)+(-3y^{2}+y-9)$ 에서 소괄호 안에 있는 각각의 식들을 다항식을 이루는 항이라고 한다. 다항식의 항들 중에서 특정한 문자(위 다항식에서는 x가 된다)의 차수가 가장 높은 항이 있을때, 그 항의 차수가 그 다항식의 차수가 된다. 예시로 제시한 위의 다항식은 x에 대한 삼차다항식이다. 또한 (특정한 문자)를 포함하지않는 항($-3y^{2}+y-9$ 또는 -9)을 상수항으로 따로 지칭하여 부른다.

단항식

단항식이란 $2x,3xy^{2}$ 와 같이 몇 개의 수나 문자들의 곱으로 나타낸 항이 하나인 식을 말한다. 단항식에서 곱해진 문자의 개수를 그 단항식의 차수라 하고, 그 문자를 제외한 나머지 부분을 계수라고 한다. 참고로 n개의 단항식으로 이루어진 다항식을 n항식이라고 한다.

계수가 상수인 일변수 다항식

정수 $n$이 $0$보다 크거나 같고, $a_{0},a_{1},\cdots ,a_{n}$을 $n+1$개의 실수 혹은 복소수인 상수일 때, 변수 $x$의 거듭제곱과 $a_{0},a_{1},\cdots ,a_{n}$의 곱의 합으로 표현되는 식

$P(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_{0}=\sum _{k=0}^{n}{a_{k}x^{k}}\quad (x^{0}=1)$

를 변수 $x$에 대한 계수가 상수인 일변수 다항식(univariate polynomial with constant coefficient with respect to $x$)이라 하며, 일반적으로 $x$에 대한 다항식(polynomial with respect to $x$)이라 한다.

• $a_{m}\neq 0$인 최대의 정수 $m$을 다항식 $P(x)$의 차수(次數, degree)라고 하며 $\deg P=m$이라 쓴다.
• 다항식 $P(x)$를 이루고 있는 $a_{k}x^{k}$를 항(項, terms)이 하며, $k$를 그 항의 차수라 한다. 혹은, 다항식 $P(x)$의 $k$차 항을 $a_{k}x^{k}$라 한다.
• $m=\deg P$인 정수 $m$에 대하여 $a_{m}x^{m}$을 다항식 $P(x)$의 최고차항(最高次項, leading term)이라 한다.
• 변수 $x$의 거듭제곱 $x^{k}$에 곱하여진 상수 $a_{k}$를 $x^{k}$의 계수(係数, coefficient)라 한다.
• $x$에 대한 $0$차항 $a_{0}$를 상수항(constant term)이라 한다. 상수 하나는 상수항으로만 이루어진 다항식이라 할 수 있다.

추상대수학에서, $x$에 대한 다항식 $P(x)$의 모든 계수 $a_{i}$가 어떤 환 $K$의 원소일 때, 다항식 $P(x)$의 집합을 $K[x]$라 쓴다. 예를 들어, 모든 실계수 다항식의 집합은 $\mathbb {R} [x]$, 모든 복소계수 다항식의 집합은 $\mathbb {C} [x]$ 등으로 표기한다. 이 때, 집합 $K$가 가환환이면 집합 $K[x]$는 $K$-대수이다.

다항 방정식의 해

일반적으로 다항 방정식

$\sum _{i=0}^{n}a_{i}x^{i}=0$

의 해는 다음과 같이 구한다.

$\sum _{i=0}^{n}a_{i}x^{i}$를 인수 분해하여 $a_{n}\prod _{j=1}^{n}(x-b_{i})$ 와 같은 꼴로 만든다.

$a_{n}\prod _{j=1}^{n}(x-b_{j})=0$의 해집합은

{$b_{k}$|$k$는 $n$ 이하의 음 아닌 정수}

이므로, 위 방정식의 해도 이와 같다.

방정식과 부등식

일차함수	이차함수	3차함수	4차함수
$y=0.5x+2$ $y=-x+5$	$y=x^{2}-x-2$ $y=(x+1)(x-2)$	$y={\frac {1}{4}}(x^{3}+3x^{2}-6x-8)$ $y={\frac {1}{4}}(x-2)(x+1)(x+4)$

• 일차 연립방정식의 예와 그래프

함수를 다음과 같이 방정식으로 변환하면

$0.5x-y=-2$

$x+y=5$

연립방정식의 해를 구하기 위해 두 방정식을 더하면

$1.5x=3$

$x=3/1.5=2$

$y=3$

이 연립방정식의 해는 그래프의 교차점의 좌표 (2,3) 이다.

• 이차방정식의 해

그림의 이차함수

$y=x^{2}-x-2=(x+1)(x-2)$

의 그래프에서 x축과 만나는 점의 x좌표

$x=-1,2$는

$x^{2}-x-2=0$

이라는 이차방정식의 해가 된다.

x절편은 y = 0 이므로 위에서 구한 이차방정식의 해와 같다.

y절편은 $x=0$ 이므로 이차함수에 x값에 0을 넣으면

$y=-2$

가 된다.

일차방정식

일차 방정식(Linear equation) 또는 선형 방정식은 최고차항의 차수가 1인 방정식을 뜻한다.

변수가 한 개인 일차 방정식의 예

방정식 $2x+5-4x=-3x+45$ 의 해를 구하여라. 이때 변수는 변수끼리, 수는 수끼리 정리해주면

$-2x+5=-3x+45$ 의 꼴이 나온다.

이때 $-3x$ 와 $5$ 를 각각 이항하면 $x=40$ 이다. 이때 변수 $x$ 의 계수는 $1$ 이므로 주로 마지막 단계인 변수의 계수를 이항하는것은 이 상황에서는 필요하지 않다.

해가 없을때

일차 방정식의 해는 $ax=b$ 의 꼴일때 $a=0$ 이고 $b\neq 0$ 의 조건을 만족할 때 해가 없다. (불능)

$2x-5+4x=3x-6+3x,6x-5=6x-6$

$0x=-1$

해가 무수히 많을때

일차 방정식의 해는 $ax=b$ 의 꼴일때 $a=0$ 이고 $b=0$ 의 조건을 만족할 때 해가 무수히 많다. (부정)

$x-3+2x=7x+8-4x-11,3x-3=3x-3$

$0x=0$

이차방정식

이차 방정식(영어: quadratic equation)이란, 최고차항의 차수가 2인 다항 방정식을 뜻한다. $x$에 관한 이차 방정식의 일반적인 모양은

$ax^{2}+bx+c=0,\quad a\neq 0$

와 같고, 여기서 $x$는 변수, $a$와 $b$는 각각 $x^{2},x$의 계수라고 하며, $c$는 상수항이라고 부른다.

근의 공식

다음은 이차 방정식의 일반적인 해법인 근의 공식이다. 그 사용법은 다음과 같다.

$ax^{2}+bx+c=0$,

단, $a$, $b$, $c$는 실수이고 $a$가 0이 아닐 때, 이 방정식의 두 해 $x_{1}$, $x_{2}$는

$x_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac\ }}}{2a}}$

이다.

여기에서 제곱근 기호 안의 수, 즉

$D=b^{2}-4ac$

를 이 이차방정식의 판별식이라고 한다.

판별식의 값에 따라 방정식의 해는 세 가지로 나뉜다.

• 만약 판별식이 양수이면, 방정식은 서로 다른 두 실근을 갖는다.
• 만약 판별식이 0이면, 방정식은 한 개의 실근을 갖는다. 이 때의 실근을 중근이라고 한다.
• 만약 판별식이 음수이면, 방정식은 서로 다른 두 허근을 갖는다. 따라서, 실수 범위 내에서는 해가 존재하지 않는다.

삼차 방정식

삼차 방정식이란, 최고차항의 차수가 3인 다항 방정식을 뜻한다. 일반적인 모양은 다음과 같다.

$ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0,a\neq 0$

여기에서 $a,b,c$는 각각 $x^{3},x^{2},x$의 계수라고 한다. $d$는 상수항이다.

근의 개수

삼차방정식에서 실근은 '서로 다른 실근 3개', '서로 다른 실근 2개 (하나는 이중근)', '실근 하나'와 같은 경우가 존재한다. 여기서 근의 개수가 몇 개인지를 알아보고자 할 때, 삼차방정식을 미분하여 생긴 이차방정식을 분석함으로써 이를 알아낼 수 있다.

삼차방정식 $f(x)=$를 미분한 함수 ${\frac {d}{dx}}f(x)=ax^{2}+bx+c$ 라 하자.

이차함수의 판별식 $D=b^{2}-4ac$ 라 할때,

$D>0$ 인 경우 $f(x)=0$ 의 근을 각각 $\alpha ,\beta$ 라 하자.

• $f(\alpha )f(\beta )>0$ 인 경우 실근은 하나만 존재하고, (이 경우엔 두 허근이 존재한다.)
• $f(\alpha )f(\beta )=0$ 인 경우 실근은 서로 다른 두 개가 존재하고,
• $f(\alpha )f(\beta )<0$ 인 경우 실근은 서로 다른 세 개가 존재한다.

$D=0$ 인 경우 ${\frac {d}{dx}}f(x)=0$ 의 근을 $\gamma$ 라 하자.

• $f(\gamma )=0$ 인 경우 근은 실근을 삼중근으로 가지고 있고,
• $f(\gamma )\neq 0$ 인 경우 근은 실근 하나와 두 허근을 가지고 있다.

$D<0$ 인 경우 실근은 하나가 나오고, 허근은 두 개가 나오게 된다.

카르다노의 해법

일반적인 3차 방정식의 대수적 해법은 카르다노의 방법 혹은 카르다노의 공식으로 알려져있다

$x^{3}+ax^{2}+bx+c=0$

2차항을 없애기 위해, 치환 $x=t-a/3$을 사용한다.

새로운 방정식 $t^{3}+pt+q=0$을 얻는다.

여기서

$p=b-{\frac {a^{2}}{3}}\ \ q=c+{\frac {2a^{3}-9ab}{27}}$

$x^{3}-3x+1$의 예

3차 방정식의 근의 공식

• 방정식 $x^{3}-3x+1=0$ 을 생각하자.
• $p=-3,q=1$ 이므로,

$-{q \over 2}+{\sqrt {{q^{2} \over 4}+{p^{3} \over 27}}}=-{\frac {1}{2}}+{\frac {i{\sqrt {3}}}{2}}=e^{2\pi i/3}$

$-{q \over 2}-{\sqrt {{q^{2} \over 4}+{p^{3} \over 27}}}=-{\frac {1}{2}}-{\frac {i{\sqrt {3}}}{2}}=e^{-2\pi i/3}$

• $A=e^{2\pi i/9}$, $B=e^{-2\pi i/9}$, $\omega =e^{2\pi i/3}$

• 방정식의 세 근은 $A+B,\omega A+\omega ^{2}B,\omega ^{2}A+\omega B$ 는

$2\cos \left({\frac {2\pi }{9}}\right),-2\cos \left({\frac {\pi }{9}}\right),2\sin \left({\frac {\pi }{18}}\right)$

가 된다.

사차 방정식

사차 방정식이란, 최고차항의 차수가 4인 다항 방정식을 뜻한다. 일반적인 모양은

$ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e=0,a\neq 0$

와 같다. 여기에서 $a,b,c,d$는 각각 $x^{4},x^{3},x^{2},x$의 계수라고 한다. $e$는 상수항이라고 부른다.

해법

$\textstyle ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e=0\$

이 방정식에서 양변을 $x$의 최고차항인 $a$로 나눈 다음 $\textstyle x=y-{b \over 4a}$ 라고 두면 $y^{4}+p{y^{2}}+qy+r=0$ 꼴로 정리할 수 있다.

$y^{4}=-p{y}^{2}-qy-r$ 에서 양변에 나중에 결정될 적절한 값 $z$를 취해서 $2zy^{2}+z^{2}$ 을 더하면

$(y^{2}+z)^{2}=(2z-p){y}^{2}-qy+z^{2}-r$.

이 된다. 이 우변이 완전제곱식이 되면, 사차방정식은 두 개의 이차방정식으로 분해된다. 그러므로 우변의 이차식은 판별식

$\Delta =q^{2}-4(2z-p)(z^{2}-r)$

의 값이 0이 되어야 한다. 이것은 $z$에 대한 삼차방정식이므로 이것을 풀어 $z$의 값을 알아낸다. 그리하여 주어진 사차방정식은

$(y^{2}+z)^{2}=(sy+t)^{2}$

의 형태가 된다. 따라서 두 이차방정식 $y^{2}+z=\pm (sy+t)$ 을 풀어서 네 개의 해를 구한다.

도형의 방정식

기하학(geometry)은 공간에 있는 도형이나 대상들의 치수, 모양, 상대적 위치 등을 연구하는 수학의 한 분야이다. 기하학이 다루는 대상으로는 점, 선, 면, 도형, 공간과 같은 것이 있다. 기하학을 뜻하는 영어 단어 "geometry"는 땅을 뜻하는 그리스어 단어 γε(게)와 측정하다를 뜻하는 그리스어 단어 μετρία(메트리아)를 합하여 만든 말로서 고대 그리스에서부터 사용되었다.

좌표

 이 부분의 본문은 좌표계입니다.

2차원의 좌표는 직교 좌표계, 극좌표계, 지리 좌표계 등으로 나타낸다. 2차원의 직교 좌표계를 좌표평면이라고도 한다.

직교 좌표계	극좌표계	지리 좌표계

원의 방정식

2차원 직교 좌표계에서 $(a,b)=(1.2,-0.5)$가 원의 중심이고 $r$이 반지름인 원

2차원 직교 좌표계에서 원의 중심이$(a\,,b\,)$이고 반지름이 $r\,$인 원은

$(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r\,^{2}$ 이고, 이를 원의 방정식이라고 부른다.

이는 원의 중심에서 원주상의 임의의 한 점 까지의 거리가 항상 같음을 이용해 서로 다른 두 점 사이의 거리 공식으로 유도한 것이다.

원을 호도각에 따른 매개변수 t로 다음과 같이 나타낼 수 있다.

$x=a+r\,\cos t$

$y=b+r\,\sin t$, $(0\leq t<2\pi )$

접선의 방정식

• 원주상의 한 점 $(x\,_{1},y\,_{1})$에서 그은 접선의 방정식

$(x\,_{1}-a)(x\,-a)+(y\,_{1}-b)(y\,-b)=r\,^{2}$

• 기울기가 $m\,$인 접선의 방정식

$y\,-b=m\,(x\,-a)\pm {\sqrt {r\,^{2}(m\,^{2}+1)}}$

집합과 명제

수학에서 집합(set)은 어떤 조건이 주어졌을때, 그 조건이 가리키는 대상이 분명한 것들의 모임을 말한다. 집합을 다루는 이론을 집합론이라고 한다.

집합의 원소

집합을 이루는 대상 하나하나를 그 집합의 원소 또는 원이라고 한다. 또 어떤 것이 집합의 원소일 때 그것은 그 집합에 속한다라고 한다.

집합 A가 A = {1, 2, 3, 4}라고 할 때 3이 집합 A에 속한다는 것을 다음과 같이 표기한다.

$3\in A$

마찬가지로, 5가 집합 A에 속하지 않는다는 것은 다음과 같이 표기한다.

$5\notin A$

집합의 기수

집합이 가진 원소의 수를 집합의 기수(혹은 크기)라고 한다.

유한 집합 : 집합 {1, 2, 3, 4, 5}의 기수는 5이다. 이와 같이 기수가 유한한 집합

공집합 : 기수가 0인 집합, Ø라는 기호로 나타낸다. 예를 들어, '평면 위에서 변이 4개인 삼각형의 집합'이나 '이차부등식 $x^{2}+3x+5<0$의 해의 집합'은 공집합이다. 공집합은 원소의 개수가 유한하므로 유한 집합에 포함된다.

집합 중에는 자연수의 집합을 비롯해 무한히 많은 원소를 가진 것도 있으며, 이를 무한 집합이라 한다.

집합의 포함 관계

집합 A의 모든 원소가 다른 집합 B의 원소가 될 때 'A는 B에 포함된다', 또는 'B는 A를 포함한다'라고 한다. 여기서 A는 B의 부분집합이다. 또한 자신과 동일하지 않은 자신의 모든 부분집합을 진부분집합이라고 한다. 공집합은 모든 집합의 부분집합이며, 모든 집합은 그 자신의 부분집합이다.

집합간의 포함관계는 다음과 같이 포함(Contain)의 약자 C를 기호화하여 표기한다.

$A\subset B$

예를 들어, 두 집합 A, B가 있을 때 A={1,2,3}, B={1,2,3,5,7}이면, A는 B에 포함되고, B는 A를 포함한다.

A의 진부분집합은 Ø, {1}, {2}, {3}, {1,2}, {1,3}, {2,3}의 7개이다.

두 집합 A, B가 가지고 있는 모든 원소가 서로 같다면, 두 집합은 같다(상동)고 말한다. 좀 더 엄밀히 말하면, A가 B의 부분집합이면서 동시에 B가 A의 부분집합이면, 두 집합은 같은 집합이다.

$A=B\Leftrightarrow A\subset B$ 그리고 $B\subset A$

벤 다이어그램

집합 A와 B

벤 다이어그램(Venn diagram)은 서로 다른 집합들 사이의 관계를 보여주기 위한 그림이다. 원을 그리고 밖에 집합의 기호를 쓰고 안에 원소를 쓰는 방법이다.

교집합 : 주황색 원(집합 A)은 두 다리를 가진 모든 생물들의 모임이라고 하고, 푸른 원(집합 B)은 날아다니는 모든 생물들의 모임이라고 하자. 이때 주황색과 푸른색 원이 겹쳐지는 부분은 두 다리를 가지고, 또한 날아다닐 수 있는, 예를 들면 비둘기 같은 생물들의 모임을 나타낸다. 합집합 : A와 B의 두 영역을 합친 영역은 A와 B의 합집합이다.

집합의 연산

집합 A와 B의 교집합	집합 A와 B의 합집합	여집합 $B-A$

• 교집합 : 두 집합 A와 B가 있을 때, A와 B에 모두 속하는 원소의 집합을 A와 B의 교집합이라 정의하고 A ∩ B 로 적는다. 논리학에서는 A∧B나 A·B로도 표시한다.
• 합집합 : 두 집합 A와 B가 있을 때, A에 속하거나 B에 속하는 원소의 집합을 A와 B의 합집합(合集合)이라 정의하고 $A\cup B$ 로 적는다. 합집합의 원소의 갯수를 구할 때에 사용하는 공식은 $n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)$가 된다.
• 여집합(차집합) : 차집합은 집합에 포함되면서 다른 집합에 포함되지 않는 원소들의 집합으로, 즉 어떤 집합의 원소에서 다른 집합의 원소를 뺀 집합으로 생각할 수 있다. 예를 들어 $\{1,2,3\}\setminus \{2,3,4\}=\{1\}$이고, 실수의 집합 $\mathbb {R}$에서 유리수의 집합 $\mathbb {Q}$를 뺀 집합은 무리수의 집합이 된다. 집합 A의 여집합은 전체집합 U에 대해서 $U\setminus A$로 생각할 수 있다.

수의 집합

다음의 집합들은 수학에서 매우 자주 사용되며, 따라서 특별한 기호를 배정해 나타낸다.

• $\mathbb {N}$은 자연수의 집합이다.
• $\mathbb {Z}$는 정수의 집합이다.
• $\mathbb {Q}$는 유리수의 집합이다.
• $\mathbb {I}$는 무리수의 집합이다. 간혹 $\mathbb {P}$로 쓰기도 한다.
• $\mathbb {R}$는 실수의 집합이다.
• $\mathbb {C}$는 복소수의 집합이다.

수열

실수의 무한수열

수열(數列, sequence of numbers)은 차례로 수를 나열한 것을 의미한다.

수열의 항

수열을 이루는 각각의 수를 수열의 항 또는 원소, 열이라고 한다. 수열의 항을 앞에서부터 차례로 나열할 때 앞에서부터 n번째에 오는 항을 제n항이라고 하며, 이를 기호로 $a_{n}$과 같이 나타난다. 제n항에서 n에 자연수를 대입하여 $a_{1},a_{2},a_{3},a_{4},a_{5},...$와 같이 표기하며, 차례로 제1항, 제2항, 제3항, 제4항, 제5항, ...과 같이 지칭한다. 특히 제1항 $a_{1}$는 첫째항 또는 초항이라고도 한다.

수열에서 제n항 $a_{n}$은 n에 대한 식 $f(n)$과 같이 나타내어지는데, 이를 수열의 일반항이라고 한다. n에 대입하는 자연수의 값에 따라 구해지는 모든 항의 값을 일반적으로 나타낸 것이기 때문이다. 다시 말해 일반항 $a_{n}$은 수열의 모든 항을 하나로 일반화한 것으로, 수열의 모든 항을 대표한다고 할 수 있다. 따라서 수열을 간단한 기호로 나타낼 때에는 집합의 조건제시법과 유사하게, {$a_{n}$}으로 나타낸다.

수열의 일반항이 $a_{n}=f(n)$의 꼴로 나타내어지므로 이를 함수와 관련지을 때, 정의역이 자연수의 집합이고 공역이 실수의 집합인 함수 f에 대하여, 자연수 n의 값과 이에 따른 함숫값 $f(n)$의 대응을 생각할 수 있다. 즉, $n=1,2,3,4,...$를 차례대로 이 함수에 대입하여 얻은 함숫값들을 차례대로 나열하면 $f(1),f(2),f(3),f(4),...$인데, $f(n)=a_{n}$이므로 이는 $a_{1},a_{2},a_{3},a_{4},...$의 수열과 동일하다. 때문에 일반항 $a_{n}$이 자연수 n에 대한 식 $f(n)$으로 나타내어지면, 수열 {$a_{n}$}의 모든 항들을 나타낼 수 있는 것이다.

한 수열에서 항의 수를 수열의 길이라고 하며, 이는 유한할 수도 있고 무한할 수도 있다. 항의 수가 유한한 수열을 유한수열, 항의 수가 무한한 수열을 무한수열이라고 한다. 유한수열에서는 항을 차례로 나열할 때 맨 마지막 항이 존재하는데, 이 항을 끝항이라고 한다.

수열의 각 항은 순서에 따라 구분되므로 (1, 2, 3)과 (1, 3, 2)는 엄연히 서로 다른 수열이며, 집합의 경우와 달리 (1, 1, 2)처럼 하나의 수가 두 항에 동시에 등장할 수도 있다.

수열 예

• 2, 4, 6, 8, 10, 12, ... : 각 항 간의 차가 일정한 등차수열이다.
• 3, 9, 27, 81, 243, ... : 각 항 간의 비가 일정한 등비수열이다.
• 1, 4, 10, 19, 31, ... : 계차수열이 등차수열인 수열이다.
• 5, 9, 25, 89, 345, ... : 계차수열이 등비수열인 수열이다.
• 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ... : 피보나치 수열이다.
• 7, 9, 3, 1, 7, 9, 3, ... : $a_{n}=(7^{n}$의 일의 자리의 숫자)로 정의되는 수열이다.
• 3, 7, 6, 5, -1, ... : 규칙이 전혀 없는 수열이다.
• 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, ... : 삼각수 수열이다.
• 1, 4, 9, 16, 25, 49, 64, ... : 사각수 수열이다.
• 0, 0, 0, 0, 120, 720, 2520, ... : $a_{n}=n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)$로 정의되는 수열이다.

수열의 합

수열 {$a_{n}$}의 제 1항부터 제 n항까지의 합 $a_{1}+a_{2}+a_{3}+...+a_{n}$은 편의상 기호 $\sum _{}$를 이용하여

$\sum _{k=1}^{n}a_{k}$와 같이 나타낸다.

여기서, $\sum _{k=1}^{n}a_{k}$의 의미는 '일반항이 $a_{k}$인 수열의 제 1항부터 제 n항까지의 합'이다.

시그마$\sum _{}$의 성질

시그마$\sum _{}$는 다음과 같은 성질을 가지고 있다. 이 성질은 수열의 합을 구하는 과정에서 자주 쓰인다.

1. $\sum _{k=1}^{n}(a_{k}+b_{k})$ = $\sum _{k=1}^{n}a_{k}+\sum _{k=1}^{n}b_{k}$
2. $\sum _{k=1}^{n}(a_{k}-b_{k})$ = $\sum _{k=1}^{n}a_{k}-\sum _{k=1}^{n}b_{k}$
3. $\sum _{k=1}^{n}ca_{k}$ = $c$$\sum _{k=1}^{n}a_{k}$
4. $\sum _{k=1}^{n}c$ = $nc$
5. $\sum _{k=m}^{n}a_{k}$ = $\sum _{k=1}^{n}a_{k}-\sum _{k=1}^{m-1}a_{k}$ 단, $(m<n)$

한편, 수열의 일반항이 $a_{k}={\frac {1}{f(k)g(k)}}$ 와 같이 분수꼴로 표현될 때에는, 이항분리 ${\frac {1}{FG}}=({\frac {1}{G-F}})({\frac {1}{F}}-{\frac {1}{G}})$ 의 성질을 이용하여 수열의 일반항을 변형시키고, 이를 통해 수열의 소거 규칙성을 찾아내어 일반항을 간단화하여 정리하기도한다.

자연수의 거듭제곱의 합

자연수의 거듭제곱의 합은 다음과 같이 공식화할 수 있다. 이들도 수열의 합을 구하는 데 자주 쓰인다.

1. $1+2+3+...+n=\sum _{k=1}^{n}k$ = ${\frac {n(n+1)}{2}}$
2. $1^{2}+2^{2}+3^{2}+...+n^{2}=\sum _{k=1}^{n}k^{2}$ = ${\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}$
3. $1^{3}+2^{3}+3^{3}+...+n^{3}=\sum _{k=1}^{n}k^{3}$ = $({\frac {n(n+1)}{2}})^{2}$

등차수열

 이 부분의 본문은 등차수열입니다.

수학에서, 등차수열(等差數列, arithmetic sequence)은 연속하는 두 항의 차이가 모두 일정한 수열을 뜻한다. 예를 들어 1, 3, 5, 7, 9, ...은 등차수열이다. 이때 두 항의 차이는 이 수열의 모든 연속하는 두 항들에 대해서 공통적으로 나타나는 차이므로, 공차(common difference)라고 한다. 예를 들어, 앞의 수열의 공차는 2이다.

수열의 첫항을 $a_{1}$, 공차를 $d$라고 하면 등차수열의 n번째 항(일반항)은 다음과 같이 나타낼 수 있다.

$a_{n}=a_{1}+(n-1)d$

공차

등차수열에서 연속하는 두 수의 차이를 공차(公差)라고 한다. 보통 $d$로 표시한다.

예시를 들면 다음과 같다.

• 1, 2, 3, 4,…으로 증가하는 수열이 있을 때, 공차 $d$는 1이다.
• 2, 10, 18, 26, …으로 증가하는 수열이 있을 때, 공차 $d$는 8이다.
• 1, 1, 1, 1, 1, … 이런 수열이 있을 때, 공차$d$는 0이다.(특히, 이런 수열을 상수수열이라고 한다)
• 342, 345, 348,351 …으로 증가하는 수열이 있을 때, 공차$d$는 3이다.
• 23461234, 23843963, 24226692, 24609421, …으로 증가하는 수열이 있을 때 공차$d$는 382729이다.
• 0, -1, -2, -3, -4 …으로 증가하는 수열이 있을 때, 공차 $d$는 -1이다.

등차중항

세 수 $a$, $b$, $c$가 이 순서로 등차수열을 이룰때, $b$를 $a$와 $c$의 등차중항이라고 한다. 세 수 $a$, $b$, $c$에 대하여 $b$가 $a$와 $c$의 등차중항이면 등차수열의 정의에 의해서 $b-a=c-b$ 이므로 다음이 성립한다.

$b={\frac {a+c}{2}}$

등차중항은 두 수를 1:1로 내분하는 등분점이라고 생각하면 쉽다. 세 수 $a$, $b$, $c$가 이 순서로 등차수열을 이룰때, $b$는 $a$와 $c$의 이등분점이다. 네 수 $a$, $b$, $c$ $d$가 이 순서로 등차수열을 이룰때, $b$는 $a$와 $d$의 1:2 내분점이고 $c$는 $a$와 $d$의 2:1 내분점이다. 즉, $b$와 $c$는 삼등분점이 된다.

수열의 정의상 함수처럼 생각하면 이를 내분점, 혹은 외분점의 의미로 받아 들일 수 있다. 항의 비로 표현이 가능하다.

등차급수

등차급수(arithmetic series)는 등차수열의 합이다. 초항부터 n번째 항까지의 합 $S_{n}$는 다음과 같은 공식으로 나타난다.

$S_{n}={\frac {n(a_{1}+a_{n})}{2}}={\frac {n[2a_{1}+(n-1)d]}{2}}$

이것은 다음과 같은 방법으로 증명할 수 있다.

$S_{n}=a_{1}+a_{2}+\dots +a_{n-1}+a_{n}$

$S_{n}=a_{n}+a_{n-1}+\dots +a_{2}+a_{1}$

$2S_{n}=(a_{1}+a_{n})+(a_{2}+a_{n-1})+\dots +(a_{n-1}+a_{2})+(a_{n}+a_{1})$

$2S_{n}=[2a_{1}+(n-1)d]+[2a_{1}+(n-1)d]+\dots +[2a_{1}+(n-1)d]+[2a_{1}+(n-1)d]$

$2S_{n}=n[2a_{1}+(n-1)d]$

$S_{n}={\frac {n[2a_{1}+(n-1)d]}{2}}$

결론적으로 등차급수는 {$a_{n}$}의 평균값 x {$a_{n}$}의 항의 개수로 정리 할 수 있다.(단, {$a_{n}$}은 유한수열)

등차급수의 공식은 실생활에서는 도형의 넓이(ex-사다리꼴의 넓이)를 구하는데 주로 사용된다.

등차수열 구하기

등차수열의 항과 공차 이용

$i$번째 항을 $a_{i}$, 공차를 $d$라 하면 등차수열의 일반항은 다음과 같다.

$a_{n}=a_{i}+(n-i)d$

물론 여기에 $i=1$을 대입하면 잘 알려진 일반항으로 다음을 얻는다.

$a_{n}=a_{1}+(n-1)d$

이를테면 제5번째 항이 9이고, 공차가 2라면

$a_{n}=a_{5}+(n-5)d$

$a_{n}=9+2(n-5)$

$a_{n}=2n-1$

등비수열

 이 부분의 본문은 등비수열입니다.

등비수열(等比數列, geometric sequence) 또는 기하수열(幾何數列)은 각 항이 그 앞 항과. 일정한 비를 가지는 수열을 말한다. 그리고, 이 일정한 비를 공비(共比, common ratio)라고 한다.

첫항이 a이고 공비가 r인 등비수열은 다음과 같다.

$a,ar,ar^{2},ar^{3},\cdots$

기본적 성질

첫항이 a이며, 공비가 r인 등비수열의 n번째 항은 다음과 같다.

$a_{n}=ar^{n-1}\;$

등비수열은 n ≥ 1에 대해다음과 같은 점화식으로 표현될 수 있다.

$a_{n}=r\,a_{n-1}$

이를 이용해, 일반적으로 어떤 수열이 등비수열인지 확인하기 위해서는 각각의 연속된 항의 비가 일정한지만 확인하면 된다.

등비수열은 공비에 따라 여러 경향을 보이는데 만약 공비가

• 양수이면, 모든 항은 첫항과 같은 부호를 가진다.
• 음수이면, 계속 부호가 번갈아 가며 나타난다.
• 1보다 크면, 양의 무한대를 향해 지수적으로 증가한다.
• 1이면, 모든 항의 값이 같아진다.
• −1과 1사이에 있지만 0이 아니면, 0을 향해 지수적으로 감소한다.
• −1이면, 모든 항의 절댓값은 같지만, 부호가 계속 번갈아 가며 나타난다.
• −1보다 작으면, 음의 무한대를 향해 지수적으로 증가한다.

등비수열은(공비가 −1, 1, 0이 아닌경우) 등차수열과 같이 선형 변화를 보이는 것과 달리, 지수적 변화를 보인다. 이 두 수열은 관계가 전혀 없어 보이지만, 등차수열에 거듭제곱을 취하면 등비수열이 되고 반대로 등비수열의 각 항에 로그를 취하면 등차수열이 되는 관계를 가지고 있다.

등비중항

0이 아닌 세 수 $a$, $b$, $c$가 이 순서로 등비수열을 이룰 때, $b$를 $a$와 $c$의 등비중항이라 한다.

따라서 세 수 $a$, $b$, $c$에 대하여, $b$가 $a$와 $c$의 등비중항이라면

${\frac {b}{a}}={\frac {c}{b}}$ 즉, $b^{2}=ac$가 성립한다.

또 $b^{2}=ac$에서 $b=\pm {\sqrt {ac}}$이므로 등비중항은 양수와 음수로 2개이다.

합 구하기

초항부터 $n$항까지의 합은 이 공식으로 나타낼 수 있다.

${\frac {a(1-r^{n})}{1-r}}$ 인데, 편의상 ${\frac {a(r^{n}-1)}{r-1}}$를 사용해도 된다.

단, $r=1$인 경우, $na$로 표현한다.

등비급수

$a_{1}$부터 $a_{n}$까지 더한 합인 등비급수(문화어: 같은비합렬, 영어: geometric series) 또는 기하급수 $S_{n}$은 다음과 같이 구할 수 있다.

$S_{n}=a+ar^{1}+ar^{2}+ar^{3}+\cdots +ar^{n-1}$

$=a(1+r^{1}+r^{2}+\cdots +r^{n-1})$

여기에서 $r$의 값이 1이 아니라면, 다음과 같이 정리할 수 있다.

$S_{n}=a{\frac {(1+r^{1}+r^{2}+\cdots +r^{n-1})(r-1)}{r-1}}$

$=a{\frac {r^{n}-1}{r-1}}=a{\frac {1-r^{n}}{1-r}}$

무한등비급수

무한등비급수는 등비수열의 각 항을 무한히 더한 것이며, 그 합은 다음과 같다.

$\sum _{k=0}^{\infty }ar^{k}=\lim _{n\to \infty }{\sum _{k=0}^{n-1}ar^{k}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {a(1-r^{n})}{1-r}}={\frac {a}{1-r}}($ 단, $|r|<1$ )

지수와 로그

거듭제곱

자연수 $n$에 대해, 거듭제곱 $a^{n}$은 다음과 같이 정의된다.

${{a^{n}=} \atop {\ }}{{\underbrace {a\times \cdots \times a} } \atop n}$

이것은 곱셈 연산이 덧셈을 반복하는 것과 유사하다. 또한 정의에 따라, 다음의 식이 성립한다.

• $a^{1}=a.$
• ${a^{b}}{a^{c}}=a^{b+c}.$
• $(a^{n})^{m}=a^{nm}.$
• $(a^{b})^{c}=(a^{c})^{b}$
• ${a^{c}}{b^{c}}=(ab)^{c}.$
• $a^{m}\div a^{n}=a^{m-n}$

다음과 같은 귀납적 정의도 가능하다:

• $a^{1}=a.$
• $a^{n+1}=a\times a^{n},\ n=1,2,3,\cdots .$

거듭제곱근

거듭제곱근이란, ${\sqrt {a}},{\sqrt[{3}]{a}},{\sqrt[{4}]{a}},...,{\sqrt[{n}]{a}}...$ 과 같은, 어떤 실수의 n제곱근을 말한다.

정수

n이 음의 정수인 경우에는 다음과 같이 정의한다.

$a^{-n}={\frac {1}{a^{n}}}$

그리고 이 경우에도 $a^{n}\times a^{m}=a^{n+m}$이 성립하려면 $a^{n}\times a^{-n}=a^{n+(-n)}$이 성립해야 하고, 따라서 $a^{0}$는 다음과 같이 정의한다.(a≠0일 경우)

$a^{0}=1\,$

유리수

유리수 $q$에 대해 $q={\frac {n}{m}}$라고 하면, $(a^{q})^{m}=\left({a^{\frac {n}{m}}}\right)^{m}=a^{n}$이 성립해야 한다. 따라서, 유리수 범위의 거듭제곱은 다음과 같이 정의한다.

$a^{\frac {n}{m}}={\sqrt[{m}]{a^{n}}}$

실수

실수 x에 대해, e를 밑으로 하는 거듭제곱은 지수 함수로 정의된다.

또한, 극한을 이용하여 정의할 수도 있다.

$e^{x}=\lim _{n\rightarrow +\infty }\left(1+{\frac {x}{n}}\right)^{n}$

멱급수로 표현하면 다음과 같다.

$e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}=1+x+{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{6}}+\cdots +{\frac {x^{n}}{n!}}+\cdots \,$.

일반적인 실수에 대해서는 다음과 같이 정의한다.

$a^{x}=e^{x\ln a}\,$

복소수

x가 실수일 때, 허수단위 $i$를 포함하는 거듭제곱은 다음과 같다.

$e^{ix}=\cos x+i\sin x\,$

이 식은 오일러 공식으로도 부르며, 이 식에 따라 $e^{i\pi }=-1\,$가 성립한다.

이에 따라서, 복소수 $z=a+bi$일 때 $e^{z}$는 다음과 같이 구할 수 있다.

$e^{z}=e^{a+bi}=e^{a}e^{bi}=e^{a}(\cos b+i\sin b)\,$

그리고, 복소수가 지수로 오는 거듭제곱은 다음과 같다.

$w^{z}=w^{a+bi}=e^{(a+bi)\ln w}\,$

로그

• 로그의 특징

상수 법칙	$\log _{a}1=0,\log _{a}a=1$
덧셈 법칙	$\log _{a}xy=\log _{a}x+\log _{a}y$
뺄셈 법칙	$\log _{a}{\frac {x}{y}}=\log _{a}x-\log _{a}y$
지수 법칙	$\log _{a}x^{b}=b\log _{a}x$
밑 변환 법칙	$\log _{b}x={\frac {\log _{k}x}{\log _{k}b}}$ (단, $k>0,{\mbox{ }}k\neq 1$)
역수 법칙	$\log _{b}x={\frac {1}{\log _{x}b}}$ (단, $b\neq 1$)

이러한 특징을 이용해, 복잡한 곱셈 문제를 단순한 덧셈 문제로 바꾸어 풀 수 있다.

행렬

행렬의 특정 성분은 문자에 두 개의 첨자를 붙여서 보통 표시한다. 예를 들어, a_2,1 는 행렬 A의 2행 1열에 위치한 원소를 가리킨다.

수학에서, 행렬(行列, matrix)은 수나 기호, 수식 등을 네모꼴로 배열한 것으로, 괄호로 묶어 표시한다. 행렬의 각 항들은 원소(elements) 또는 성분이라고 한다. 여섯 개의 원소를 가진 행렬을 예로 들면 다음과 같다.

${\begin{bmatrix}1&9&-13\\20&55&-6\end{bmatrix}}.$

상등

두 행렬이 같다는 것은 행렬의 크기가 같고, 각각의 서로 대응되는 성분들이 같은것을 말한다. 즉, 두 a×b 행렬 A, m×n 행렬 B에 대해서,

• a = m, b = n
• A_ij = B_ij

이면 두 행렬이 같다고 하고, A = B라고 쓴다. 이 관계는

• 반사관계 : A = A
• 대칭관계 : A = B 이면 B = A
• 전이관계 : A = B, B = C 이면 A = C

이 성립하므로 동치관계이다.

덧셈과 뺄셈

주어진 두 m×n 행렬 A와 B에 대해 덧셈 A+B는 다음과 같이 각 성분의 합으로 정의한다.

$(\mathbf {A} +\mathbf {B} )_{ij}=\mathbf {A} _{ij}+\mathbf {B} _{ij}\$

마찬가지로 주어진 두 m×n 행렬 A와 B에 대해 뺄셈 A-B는 다음과 같이 각 성분의 합으로 정의한다.

$(\mathbf {A} -\mathbf {B} )_{ij}=\mathbf {A} _{ij}-\mathbf {B} _{ij}\$

예를 들어,

${\begin{bmatrix}1&3&7\\1&0&0\\1&2&2\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}0&0&5\\7&5&0\\2&1&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1+0&3+0&7+5\\1+7&0+5&0+0\\1+2&2+1&2+1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&3&12\\8&5&0\\3&3&3\end{bmatrix}}$.

스칼라배

주어진 m×n행렬 A 에 스칼라 k를 곱하는 것 kA는 다음과 같이 A의 각 성분에 스칼라 k를 곱하는 것으로 정의한다.

$(k\mathbf {A} )_{ij}=k\mathbf {A} _{ij}\$

예를 들어,

$2{\begin{bmatrix}1&8&-3\\4&-2&5\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}2\cdot 1&2\cdot 8&2\cdot -3\\2\cdot 4&2\cdot -2&2\cdot 5\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}2&16&-6\\8&-4&10\end{bmatrix}}$.

덧셈과 스칼라곱의 성질

a와 b를 스칼라, A, B, C를 크기가 같은 행렬이라 하자. 이때 다음이 성립한다.

• A + B = B + A
• A + (B + C) = (A + B) + C
• (ab)A = a(bA)

• (a + b)A = aA + bA
• (a - b)A = aA - bA
• a(A + B) = aA + aB
• a(A - B) = aA - aB

곱셈

행렬 A와 B를 곱하여 행렬 AB를 얻는 것을 나타내는 그림.

행렬 간의 곱은 모든 경우에 대해서 정의되는 것이 아니라 다음과 같은 특수한 경우에만 정의한다. 주어진 m×k행렬 A, k×n행렬 B의 곱은 m×n행렬이 되고 각 성분은 다음과 같이 A의 행벡터와 B의 열벡터의 내적으로 정의한다.

$(\mathbf {AB} )_{ij}=\sum _{l=1}^{k}\mathbf {A} _{il}\mathbf {B} _{lj}$ 이다.

예를 들어,

${\begin{bmatrix}1&0&2\\-1&3&1\\\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}3&1\\2&1\\1&0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}(1\cdot 3+0\cdot 2+2\cdot 1)&(1\cdot 1+0\cdot 1+2\cdot 0)\\(-1\cdot 3+3\cdot 2+1\cdot 1)&(-1\cdot 1+3\cdot 1+1\cdot 0)\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}5&1\\4&2\\\end{bmatrix}}$.

곱셈의 성질

a를 스칼라, A, B, C를 크기가 같은 행렬이라 하자. 이때 다음이 성립한다.

• A(BC) = (AB)C
• A(B + C) = AB + AC
• (B + C)A = BA + CA

• A(B - C) = AB - AC
• (B - C)A = BA - CA
• a(BC) = (aB)C = B(aC)

행렬의 곱은 교환법칙이 성립하지 않는 비가환 곱이다. AB와 BA가 모두 정의된다고 해도, 이 두 결과는 일반적으로 같지 않다.

AB ≠ BA

다만, 특수한 조건을 만족하는 경우에는 교환법칙이 성립한다. 다음과 같은 조건을 만족할 때 행과 열의 갯수가 같은 정사각형 모양의 행렬 A와 B에 대해 곱셈의 교환법칙이 성립한다.

• $A+B=AB$ 이면 $AB=BA$ 이다.
• $AB=kE$ (E는 단위행렬)이면 $AB=BA$ 이다.
• $AB=B^{n}$ 이면 $AB=BA$ 이다.
• $B=pA^{n}+qE$(p, q는 실수) 이면 $AB=BA$ 이다.
• $aA+bB=E$ 이면 $AB=BA$ 이다.

위의 조건들은 충분조건이다. 즉, 정사각형 모양의 행렬 A와 B가 위의 조건을 만족할 때 곱셈의 교환법칙이 성립하지만, 곱셈의 교환법칙이 성립하는 모든 행렬이 위의 조건을 만족하는 것은 아니다.

일반적으로 곱셈의 교환조건을 만족하는 정사각형 모양의 행렬 A와 B는 다음의 교환법칙을 만족하고 그 역도 만족한다. 즉 다음의 식에 대해 필요충분조건을 이룬다.

$(A-kE)(B-kE)=(B-kE)(A-kE)$

단위행렬과 역행렬

선형대수학에서 가역행렬(invertible matrix),정칙행렬(正則行列,regular matrix) 또는 비특이행렬(non-singular matrix)은 역행렬(inverse matrix)을 갖는 $n\times n$ 행렬을 가리킨다.

역행렬이란, 어떤 행렬 $A$에 대해 다음과 같은 성질을 만족하는 행렬 $B$를 일컫는다.

$AB=BA=I_{n}\$

여기서 $I_{n}$은 $n\times n$ 단위행렬을 말한다.

이런 성질을 만족하는 $B$는 임의의 정사각행렬 $A$에 대해 존재하지 않거나, 단 하나만 존재한다. 이런 행렬을 역행렬이라 하고 $A^{-1}$로 표기한다.

역행렬을 갖지 않는 행렬을 비가역행렬, 또는 특이행렬이라 한다. 대개 실수나 복소수 위에 정의된 행렬에 대해 역행렬을 정의하지만, 임의의 환 위에 정의된 행렬에 대해서도 마찬가지로 이 정의를 적용할 수 있다.

2 × 2 행렬의 역행렬

위의 공통인자 방정식에서 $n$이 2일 경우 다음과 같은 식을 유도할 수 있다.

$A^{-1}={\begin{bmatrix}a&b\\c&d\\\end{bmatrix}}^{-1}={\frac {1}{ad-bc}}{\begin{bmatrix}d&-b\\-c&a\\\end{bmatrix}}$

2 × 2 행렬의 역행렬은 위 방법을 통해 빠르게 계산할 수 있다.

3 × 3 행렬의 역행렬

위의 공통인자 방정식에서 $n$이 3일 경우 다음과 같은 식을 유도할 수 있다.

$A^{-1}={\begin{bmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\\\end{bmatrix}}^{-1}={\frac {1}{|A|}}{\begin{bmatrix}ei-fh&ch-bi&bf-ce\\fg-di&ai-cg&cd-af\\dh-eg&bg-ah&ae-bd\end{bmatrix}}$

$|A|=a(ei-fh)-b(di-fg)+c(dh-eg)\$

3 × 3 행렬의 역행렬은 위 방법을 통해 빠르게 계산할 수 있다.

함수

특수함수

삼각함수

비슷한 이름의 삼각형함수에 관해서는 해당 문서를 참조하십시오.

수학에서, 삼각함수(三角函數, 영어: trigonometric function)는 직각삼각형의 각을 직각삼각형의 변들의 길이의 비로 나타내는 함수이다. 이는 복소수의 지수 함수의 실수 · 허수 부분이며, 따라서 복소수를 다룰 때 핵심적인 역할을 한다. 가장 근본적인 주기함수이며, 각종 주기적 현상을 다룰 때 푸리에 급수의 형태로 등장한다.

삼각함수에는 3개의 기본 함수가 있으며, 이들은 사인(영어: sine, 기호 sin) · 코사인( 영어: cosine, 기호 cos) · 탄젠트(영어: tangent, 기호 tan)라고 한다. 이들의 역수는 각각 코시컨트(영어: cosecant, 기호 csc) · 시컨트(영어: secant, 기호 sec) · 코탄젠트(영어: cotangent, 기호 cot)라고 한다.

지수함수

y = e^x의 그래프

지수 함수(指數函數, 영어: exponential function)란 거듭제곱의 지수를 변수로 하고, 정의역을 실수 전체로 정의하는 초월함수이다. 로그 함수의 역함수이다.

정의

$a$를 양의 상수, $x$를 모든 실수 값을 취하는 변수라 할 때 $y=a^{x}$로 주어지는 함수를 말한다. 예를 들어, 함수 $f(x)=2^{x}$는 지수함수다. 로그와 관련하여 지수함수는 ${\text{exp}}(x)$ 또는 $e^{x}$와 같이 쓴다. 이때 $e$를 '자연로그의 밑'이라 한다. 지수함수 $y=e^{x}$ 역시 그래프로 나타낼 수 있으며, 실변수 $x$의 함수로서 그래프는 항상 양수이고, 왼쪽에서 오른쪽으로 증가한다. 이때 그래프는 $x$축과 만나지 않지만, $x$축에 점점 접근해간다.

a가 음이 아닌 실수, x가 임의의 실수일 때, a를 밑, x를 지수로 하는 지수함수를 a^x 로 쓴다. 특별히 지수가 자연수(혹은 유리수)일 때, 이함수는 a의 거듭제곱과 일치한다. 지수함수는 다음의 공리에 의해 정의된다.

• a^x 는 R 에서 (0, ∞) 로의 연속사상이다.
• a⁰ = 1
• a^p+q = a^pa^q

로그함수

다양한 로그 곡선. 붉은 색은 밑이 e, 초록색은 밑이 10, 보라색은 밑이 1.7이다. 밑 값에 상관없이 모든 로그 곡선은 (1, 0)을 지난다.

로그(logarithm, log)는 수학 함수의 일종으로, 어떤 수를 나타내기 위해 고정된 밑을 몇 번 곱하여야 하는지를 나타내는 함수이다. 이른 17세기에 곱하기 및 나누기의 계산을 간편하게 해내기 위해 존 네이피어가 발명한 것으로 알려져 있다. 복잡한 단위의 계산을 간편하게 계산 할 수 있다는 장점 때문에, 로그표 및 계산자 등의 발명품과 함께 세계적으로, 여러 분야의 학자들에게 널리 퍼졌다. 지수에 대비된다는 의미에서 대수(對數)로 부르기도 한다.

지수함수적 정의

$a>0$, $a\neq 1$이고, $y>0$ 일 때, $x,y$ 사이에 $y=a^{x}$라는 관계가 있으면 '$x$는 $a$를 밑으로 하는 $y$의 로그'라 하고 $\log _{a}y=x$로 표기한다.

예를 들어 $3^{4}=81$이므로 $\log _{3}81=4$이다.

이 때 $a\neq 1$이어야 하는 이유는 1의 거듭제곱은 모두 1이기 때문에, 지수에 어떠한 값이 오더라도 1이 되어 의미가 없어지기 때문이다. 그리고 위에서의 $x$값의 범위는 모든 실수이다. 즉, 실수를 로그를 통해 나타낼 수가 있는 것이다.

특징

로그 함수는 다음과 같은 특수한 특징을 가지고 있다.

상수 법칙	$\log _{a}1=0,\log _{a}a=1$
덧셈 법칙	$\log _{a}xy=\log _{a}x+\log _{a}y$
뺄셈 법칙	$\log _{a}{\frac {x}{y}}=\log _{a}x-\log _{a}y$
지수 법칙	$\log _{a}x^{b}=b\log _{a}x$
밑 변환 법칙	$\log _{b}x={\frac {\log _{k}x}{\log _{k}b}}$ (단, $k>0,{\mbox{ }}k\neq 1$)
역수 법칙	$\log _{b}x={\frac {1}{\log _{x}b}}$ (단, $b\neq 1$)

이러한 특징을 이용해, 복잡한 곱셈 문제를 단순한 덧셈 문제로 바꾸어 풀 수 있다.

쌍곡선함수

수학에서 쌍곡선함수(双曲線函數)는 일반적인 삼각함수와 유사한 성질을 갖는 함수로 삼각함수가 단위원 그래프를 매개변수로 표시할 때 나오는 것처럼, 표준쌍곡선을 매개변수로 표시할 때 나온다.

종류

sinh, cosh, tanh

csch, sech, coth

삼각함수(원함수)의 사인, 코사인, 탄젠트 등에서 유추되어 각각에 대응되는 다음과 같은 함수가 있다.

• 쌍곡사인(hyperbolic sine)

$\sinh x={\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}=-i\sin ix\!$

• 쌍곡코사인(hyperbolic cosine)

$\cosh x={\frac {e^{x}+e^{-x}}{2}}=\cos ix\!$

• 쌍곡탄젠트(hyperbolic tangent)

$\tanh x={\frac {\sinh x}{\cosh x}}$

$={\frac {\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}{\frac {e^{x}+e^{-x}}{2}}}={\frac {e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}}={\frac {e^{2x}-1}{e^{2x}+1}}=-i\tan ix\!$

• 쌍곡코탄젠트(hyperbolic cotangent)

$\coth x={\frac {\cosh x}{\sinh x}}$

$={\frac {\frac {e^{x}+e^{-x}}{2}}{\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}}={\frac {e^{x}+e^{-x}}{e^{x}-e^{-x}}}={\frac {e^{2x}+1}{e^{2x}-1}}=i\cot ix\!$

• 쌍곡시컨트(hyperbolic secant)

$\operatorname {sech} x={\frac {1}{\cosh x}}={\frac {2}{e^{x}+e^{-x}}}=\sec {ix}\!$

• 쌍곡코시컨트(hyperbolic cosecant)

$\operatorname {csch} x={\frac {1}{\sinh x}}={\frac {2}{e^{x}-e^{-x}}}=i\,\csc \,ix\!$

지수함수와 로그함수

y = e^x의 그래프

지수 함수(指數函數, 영어: exponential function)란 거듭제곱의 지수를 변수로 하고, 정의역을 실수 전체로 정의하는 초월함수이다. 로그 함수의 역함수이다.

지수함수의 미분

밑이 e 인 지수 함수 e^x 의 도함수는 e^x 자신이 된다. e^x 를 $\exp(x)$ 로 쓰기도 한다. 임의의 지수함수 a^x 는 자연로그 ln 을 사용하여, $e^{\ln a^{x}}=e^{x\ln a}$ 로 쓸 수 있다. 따라서, 일반적인 지수함수 a^x 의 도함수는 (ln a)a^x = a^x ln a가 된다.

$\exp(x)$ 는 미분방정식 $dy/dx=y$ 의 특수해가 된다. 이는 반대로 미분방정식 $dy/dx=y,\;y(0)=1$ 를 만족하는 초기치문제의 해로 지수함수를 정의할 수도 있다는 의미를 담는다.

해석학에서 지수 함수는 주로 밑이 e인 것만을 가리킨다.

음함수 미분을 이용한 지수함수의 미분

음함수 미분을 이용하여 ${\frac {d}{dx}}a^{x}$의 해를 구할 수 있다.

$y=a^{x}$ 라 하면 다음이 성립한다:

$\ln y=\ln a^{x}=x\ln a$

좌변을 $x$에 대해 미분하면:

${\frac {1}{y}}{\frac {dy}{dx}}=\ln a\;\Rightarrow {\frac {dy}{dx}}=(\ln a)y=(\ln a)a^{x}$

삼각함수

삼각함수(trigonometric function)는 직각삼각형의 각을 직각삼각형의 변들의 길이의 비로 나타내는 함수이다. 이는 복소수의 지수 함수의 실수 · 허수 부분이며, 따라서 복소수를 다룰 때 핵심적인 역할을 한다. 가장 근본적인 주기함수이며, 각종 주기적 현상을 다룰 때 푸리에 급수의 형태로 등장한다.

A right triangle always includes a 90° (π/2 radians) angle, here labeled C. Angles A and B may vary. Trigonometric functions specify the relationships among side lengths and interior angles of a right triangle.

삼각함수에는 3개의 기본 함수는

기본 함수			역수
함수	기호	삼각비	함수	기호	삼각비
사인(sine)	sin	$\sin A={\frac {a}{h}}$	코시컨트(cosecant)	csc	$\csc A={\frac {1}{\sin A}}={\frac {h}{a}}$
코사인(cosine)	cos	$\cos A={\frac {b}{h}}$	시컨트(secant)	sec	$\sec A={\frac {1}{\cos A}}={\frac {h}{b}}$
탄젠트(tangent)	tan	$\tan A={\frac {a}{b}}$	코탄젠트(cotangent)	cot	$\cot A={\frac {1}{\tan A}}={\frac {b}{a}}$

라고 한다.

Function	Abbreviation	Description	Identities (using radians)
sine	sin	opposite / hypotenuse	$\sin \theta =\cos \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)={\frac {1}{\csc \theta }}$
cosine	cos	adjacent / hypotenuse	$\cos \theta =\sin \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)={\frac {1}{\sec \theta }}\,$
tangent	tan (or tg)	opposite / adjacent	$\tan \theta ={\frac {\sin \theta }{\cos \theta }}=\cot \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)={\frac {1}{\cot \theta }}$
cotangent	cot (or cotan or cotg or ctg or ctn)	adjacent / opposite	$\cot \theta ={\frac {\cos \theta }{\sin \theta }}=\tan \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)={\frac {1}{\tan \theta }}$
secant	sec	hypotenuse / adjacent	$\sec \theta =\csc \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)={\frac {1}{\cos \theta }}$
cosecant	csc (or cosec)	hypotenuse / opposite	$\csc \theta =\sec \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)={\frac {1}{\sin \theta }}$

삼각함수와 각운동

삼각함수 그래프

삼각함수의 주기

삼각함수

삼각형의 성질

• 사인 법칙

 이 부분의 본문은 사인법칙입니다.

사인법칙은 임의의 삼각형 ABC에서 각 A, B, C의 대변 a, b, c에 대해 다음과 같은 관계를 만족함을 나타낸다.

${\frac {\sin A}{a}}={\frac {\sin B}{b}}={\frac {\sin C}{c}}$

마찬가지로,

${\frac {a}{\sin A}}={\frac {b}{\sin B}}={\frac {c}{\sin C}}=2R$

도 성립한다. 여기서 R은 삼각형의 외접원의 반지름의 길이를 나타낸다.

• 코사인 법칙

 이 부분의 본문은 코사인법칙입니다.

코사인법칙에는 총 두 가지의 법칙이 있다.

코사인 제 1 법칙에 따르면,

$\,c=b\cos A+a\cos B$

앙변의 길이와 알고자 하는 변 사이의 두 각의 크기를 알 경우, 다른 한 변의 길이를 알아낼 때 사용할 수 있다.

코사인 제 2 법칙은 피타고라스의 정리를 확장한 것이다.

$\,c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos C$

가 성립하고, 위의 식을 변형하면

$\cos C={\frac {a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}}$

와 같이 나타낼 수 있다.

코사인법칙은 두 변의 길이와 끼인각의 크기를 알 때 삼각형의 나머지 한 변의 길이를 구할 때 유용하게 쓸 수 있다. 또한 모든 변의 길이를 알고 있을 때 각의 코사인값을 구할 때에도 사용할 수 있다.

• 탄젠트 법칙

탄젠트법칙은 임의의 삼각형 ABC에서 각 A, B의 대변 a, b에 다음과 같은 식을 만족시킨다.

${\frac {a+b}{a-b}}={\frac {\tan {{1 \over 2}(A+B)}}{\tan {{1 \over 2}(A-B)}}}$

극한

수열의 극한

수열의 극한(limit of sequences)은 해석학의 바탕이 되는 중요한 개념 가운데 하나이다. 수열의 극한 개념은 함수의 극한으로 확장되었으며 이는 해석학의 중요한 도구인 미분과 적분의 개념을 정립하는 데 결정적인 역할을 했다.

직관적으로 말해, 수열 $\{a_{n}\}\,$이 수렴한다는 것은 수열의 첨자 $n\,$이 커짐에 따라 $a_{n}\,$이 어떤 고정된 유한한 값 $a\,$에 한없이 가까워지는 것을 말한다. 이때 $a\,$를 수열 $\{a_{n}\}\,$의 극한이라고 한다. 수열이 수렴하지 않으면 (즉 극한을 갖지 않으면) 발산한다고 한다.

예를 들어 수열 $\textstyle {1,{\frac {1}{2}},{\frac {1}{3}},{\frac {1}{4}},\ldots \,}$는 $0\,$에 점차 한없이 가까워지므로 수렴하며, 그 극한은 $0\,$이다. 수열 $0,1,0,1,\ldots \,$는 어떤 고정된 값에 점차 한없이 가까워지지 않으므로 발산한다.

수열의 극한은 실수 집합, 넓게는 임의의 거리 공간과 위상 공간 위에 정의될 수 있다.

기본 성질

• 수렴하는 수열의 극한은 유일하다.
• 수렴하는 수열은 유계이다. 즉, 모든 자연수 $n$에 대해 $|a_{n}|\leq M$를 만족시키는 실수 $M>0$이 존재한다.
• 수렴 수열 $\{x_{n}\}$, $\{y_{n}\}$에 대해, $x_{n}\leq y_{n}$이 어떤 $N$보다 큰 모든 $n$에 대해 성립한다면, $\lim _{n\to \infty }x_{n}\leq \lim _{n\to \infty }y_{n}$이다.
• 수렴 수열 $\{x_{n}\}$, $\{y_{n}\}$에 대해, $\lim _{n\to \infty }x_{n}<\lim _{n\to \infty }y_{n}$이면, 어떤 $N$보다 큰 임의의 $n$에 대해 $x_{n}<y_{n}$이 성립한다.
• $x_{n}\leq y_{n}\leq z_{n}$이 모든 $n>N$에 대해 성립하고, $\lim _{n\to \infty }x_{n}=\lim _{n\to \infty }z_{n}=L$이면, $\lim _{n\to \infty }y_{n}=L$이다. (샌드위치 정리)
• 단조이며 유계인 수열은 수렴한다. (단조 수렴 정리)

연산

두 수열 $\{x_{n}\}\,$, $\{y_{n}\}\,$이 모두 수렴하고

$\lim _{n\to \infty }x_{n}=x$

$\lim _{n\to \infty }y_{n}=y$

일 때, 일반적으로 사칙연산과 극한의 순서는 교환 가능하다. 즉, 다음이 성립한다.

• $\lim _{n\to \infty }(x_{n}+y_{n})=x+y$
• $\lim _{n\to \infty }(x_{n}-y_{n})=x-y$
• $\lim _{n\to \infty }x_{n}y_{n}=xy$
• $\lim _{n\to \infty }{\frac {x_{n}}{y_{n}}}={\frac {x}{y}}$ ($y_{n}\neq 0\,$, $y\neq 0$)

또한 아래의 성질도 성립한다.

• $\lim _{n\to \infty }(c+x_{n})=c+x$
• $\lim _{n\to \infty }cx_{n}=cx$
• $\lim _{n\to \infty }x_{n}^{\alpha }=x^{\alpha }$ ($\alpha \in \mathbb {R}$)

예

• 수열 $1,-1,1,-1,1,\ldots \,$는 발산(진동)한다.
• 수열 $1,-{\frac {1}{2}},{\frac {1}{3}},-{\frac {1}{4}},\ldots \,$는 수렴하며 0을 극한으로 한다.
• 다음은 잘 알려진 수렴하는 수열의 예이다.
  • $\lim _{n\to \infty }c=c$, c는 상수
  • $\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n^{p}}}=0,\ p>0$
  • $\lim _{n\to \infty }a^{n}=0,\ |a|<1$
  • $\lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{a}}=1,\ a>0$
  • $\lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{n}}=1$
• 임의의 실수로 수렴하는 수열을 십진법에 의한 내림 근사를 이용하여 만들 수 있다. 예를 들어 수열 $0.3,0.33,0.333,\ldots$은 ${\frac {1}{3}}$로 수렴한다. 비슷하게 수열 $1.4,1.41,1.414,\ldots$는 ${\sqrt {2}}$로 수렴한다. 이렇게 만든 수열은 모두 코시 수열이다.
• 다음 수열의 극한은 직관적이지 않을 수 있다.
  • 수열 $(1+{\frac {1}{n}})^{n}$은 약 2.71828의 값을 가지는 상수 e로 수렴한다. 또 $(1+{\frac {r}{n}})^{n}$은 $e^{r}$로 수렴한다.
  • 산술 기하 평균은 산술 평균과 기하 평균에 의한 점화 수열의 극한이다.
  • $\lim _{n\to \infty }n(a^{\frac {1}{n}}-1)=\ln {a},\ a>0$
  • $\lim _{n\to \infty }(1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+\cdots +{\frac {1}{n}}-\ln {n})=\gamma$ (오일러-마스케로니 상수)

함수의 극한과 연속

 이 부분의 본문은 함수의_극한입니다.

$x$의 함수 $f(x)$에 대해, 정의역의 원소 $x$가 어떤 값 $a$에 한없이 가까워지면 $f(x)$도 어떤 값 $c$에 한없이 가까워질 때, 함수 $f(x)$가 $x\,\to \,a$일 때 $c$에 수렴한다고 하고 $c$를 함수의 극한이라 한다. 이는

$x\,\to \,a$일 때 $f(x)\,\to \,c$

또는 더 간단히

$\lim _{x\to a}f(x)=c$

의 형식으로 나타낼 수 있다.

일변수 함수의 극한의 정의

일변수 함수의 극한은 일반적으로 엡실론-델타(ε-δ)에 관한 방법으로 정의한다.

모든 양의 실수 $\epsilon$에 대해, 어떤 양의 실수 $\delta$가 존재하여 $0<|x-p|<\delta$일 때 항상 $|f(x)-c|<\epsilon$가 성립하면, 이때의 극한값은

$\lim _{x\to p}f(x)=c$

로 정의한다.

좌극한과 우극한

좌극한과 우극한(영어: left-handed limit, right-handed limit)도 비슷한 방법으로 정의하는데, 이때는 $\delta$에 대한 조건이 $0<|x-p|<\delta$ 대신, 좌극한의 경우 $0<p-x<\delta$, 우극한의 경우 $0<x-p<\delta$가 된다. 좌극한과 우극한은 통틀어서 한쪽극한(영어: one-sided limit)이라고 한다.

예를 들어 함수

$f(x){\begin{cases}1&x\geq 0\\0&x<0\end{cases}}$

의 좌극한과 우극한은 각각 $\lim _{x\to 0-0}f(x)=0$, $\lim _{x\to 0+0}f(x)=1$이다.

0+0, 0-0의 경우 간단히 +0, -0으로 줄여서 표기하기도 한다. 또는 +0, -0을 줄여 +, -로 표기하기도 한다.

무한대에서의 극한

$\lim _{x\to \infty }f(x)=L\,:\ x$가 양의 무한대로 커질 때 $f(x)\,$는 $L\,$에 가까워진다.

$x$가 어떤 유한한 값으로 접근하는 것이 아니라 무한히 커지거나 작아지는 경우에 대해서도 함수의 극한을 정의할 수 있다. 이때의 조건은 모든 양의 실수 $\epsilon$에 대해, 어떠한 실수 $S$가 존재하여 $x>S$(양의 무한대) 또는 $x<S$(음의 무한대)일 때 항상 $|f(x)-c|<\epsilon$가 성립하는 경우이다. 이때 수식으로는 다음과 같이 표시한다.

• 양의 무한대: $\lim _{x\to \infty }f(x)=c$
• 음의 무한대: $\lim _{x\to -\infty }f(x)=c$

발산

극한값이 존재하지 않는 경우(수렴하지 않는 경우)를 발산한다고 한다. 이때 함숫값이 무한히 커지거나 작아지는 경우에는 특별히 양의 무한대로 발산하거나 음의 무한대로 발산한다고 정의한다. 예를 들어, $f(x)={\frac {1}{x^{2}}}$의 경우 $x$가 $0$에 가까워질 때 $f(x)$는 무한히 커지고, 따라서 양의 무한대로 발산한다. 이를 엄밀하게 정의하면 다음과 같다. 모든 양의 실수 $M$에 대해, 어떤 양의 실수 $\delta$가 존재하여 $0<|x-p|<\delta$일 때 항상 $f(x)>M$가 성립하면, 이때의 극한 값은

$\lim _{x\to p}f(x)=+\infty$

로 정의한다. 음의 무한대로 발산할 경우 마찬가지로 모든 음의 실수 $N$에 대해, 어떤 양의 실수 $\delta$가 존재하여 $0<|x-p|<\delta$일 때 항상 $f(x)<N$가 성립하면, 이때의 극한 값은

$\lim _{x\to p}f(x)=-\infty$

로 정의한다.

연속과 극한

 연속함수 문서를 참고하십시오.

$x=a$를 포함하는 개구간 $I_{a}$에서 정의된 함수 $f:I_{a}\subset \mathbb {R} \to \mathbb {R}$에 대해 $\lim _{x\to a}f(x)=b$일 때 $x=b$를 포함하는 개구간 $I_{b}$에서 정의된 함수 $g:I_{b}\subset \mathbb {R} \to \mathbb {R}$가 $x=b$에서 연속이고 $f$의 치역 $f(I_{a})\subset I_{b}$라면 $\lim _{x\to a}\left(g\circ f\right)\left(x\right)=g(\lim _{x\to a}f(x))=g(b)$이다.

미분법

미분(微分)은 함수의 순간변화율을 구하는 계산 과정이다. 적분과 함께 미적분학을 이룬다.

순간변화율은 평균변화율의 극한으로 생각할 수 있다. 우선, 함수 $f(x)$ 에서 x의 변화량 $\Delta x$ 에 대한 $f(x)$의 변화량 $f(x+\Delta x)-f(x)$의 비

${\frac {\Delta f(x)}{\Delta x}}={\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}$

를 구할 수 있을 때 이를 평균변화율이라고 한다.

평균변화율의 극한을 취하여 함수 f(x)의 특정 지점 x 에서 변화량 Δ x 가 0으로 수렴할 때의 변화율을 순간변화율 또는 미분계수라고 하고 다음의 수식과 같이 나타낸다.

${\frac {d}{dx}}f(x)=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}$

미분은 연속적이고 지속적인 변화량에 대한 순간변화율을 의미한다. 따라서 연속적이지 않은 변화량에서나 첨점과 같은 특이점에서는 미분이 불가능하다. 함수의 그래프에서 미분은 함수 곡선의 특정 지점에서 접선으로 나타낼 수 있다.

함수 $f(x)$ 의 특정 구간 을 정의역으로 하고 미분계수를 치역으로 하는 함수 $f'(x)$를 f(x)에 대한 도함수라고 한다. 따라서, 미분에 의해 도함수를 구하는 과정은 $f(x)\to f'(x)$ 로의 사상이다. 함수 $f(x)$ 에 대한 도함수 $f'(x)$ 를 구하는 것을 “$f(x)$를 $x$ 에 대해 미분한다”고 한다.

변화율

미분의 개념을 이해하기 위해 높은 다리위에서 손에 쥐었던 농구공을 가만히 놓아 떨어뜨리는 것을 예로 들어보자. 공기의 저항이나 바람의 영향같은 것이 없다고 생각하면 농구공의 자유낙하는 다음과 같은 결과를 얻을 것이다.

농구공의 자유낙하
낙하 시간 t (초) 낙하거리 r (m) 평균낙하속도 Vav (m / 0.1초) 평균가속도 Aav(m / 0.1초2) 0 0 - - - 0.1 0.049 $0\to 0.1$ 0.049 - 0.2 0.196 $0.1\to 0.2$ 0.147 0.098 0.3 0.441 $0.2\to 0.3$ 0.245 0.098 0.4 0.784 $0.3\to 0.4$ 0.343 0.098 0.5 1.225 $0.4\to 0.5$ 0.441 0.098 … … … … … t ${\frac {1}{2}}\times 9.8\times t^{2}$ $t\to t+\Delta t$ $9.8\times t+{\frac {1}{2}}\times 9.8\times \Delta t\times 0.1$ $9.8\times 0.1^{2}$

순간변화율

위의 평균변화율 예제에서 t의 변화량 $\Delta t$가 극히 작아져 0으로 수렴하는 경우를 생각해 보면 결국 한 순간에서의 변화율을 생각할 수 있다. 이를 순간변화율이라 한다. 미분은 어떤 함수의 순간변화율을 구하는 계산 과정이고 한 지점에서의 순간변화율을 미분계수라고 한다. 이는 달리 말하면 한 지점에서의 변화율에 대한 함수의 극한을 구하는 것과 같다.

일반적으로 함수 f(x)의 x에서의 순간변화율은 변화량인 Δ x가 0에 수렴될 때의 변화율이라고 생각할 수 있다. 이를 평균변화율에 견주어

${\frac {d}{dx}}f(x)$

로 나타낸다. 이를 수식으로 표현하면

${\frac {d}{dx}}f(x)=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}\cdots \cdots A$

이 된다.

위 에서 예를 든 자유낙하의 경우, 특정 시간 t에 대한 낙하거리의 순간변화율, 즉 순간속도는 다음과 같이 계산할 수 있다.

$f(t)={\frac {1}{2}}\times 9.8\times t^{2}$ 에서 $k={\frac {1}{2}}\times 9.8$이라 하면

$f(t)=k\times t^{2}$ 이고, 〈식 A〉에 f(t)를 대입하면 t에서의 순간속도는

${\frac {d}{dt}}f(t)=\lim _{\Delta t\to 0}{\frac {f(t+\Delta t)-f(t)}{\Delta t}}$

$=\lim _{\Delta t\to 0}{\frac {k\times {(t+\Delta t)}^{2}-k\times t^{2}}{\Delta t}}=k\times \lim _{\Delta t\to 0}{\frac {{(t+\Delta t)}^{2}-t^{2}}{\Delta t}}$

$=k\times \lim _{\Delta t\to 0}{\frac {t^{2}+2t\Delta t+{\Delta t}^{2}-t^{2}}{\Delta t}}=k\times \lim _{\Delta t\to 0}{\frac {2t\Delta t+{\Delta t}^{2}}{\Delta t}}$

$=k\times \lim _{\Delta t\to 0}2t+\Delta t$ 그런데 $\Delta t$는 0으로 수렴하므로,

$=k\times 2t$ 한편, $k={\frac {1}{2}}\times 9.8$ 이므로

$={\frac {1}{2}}\times 9.8\times 2t=9.8\times t$ 따라서,

${\frac {d}{dt}}f(t)=9.8\times t$

도함수

위의 개요에서 살펴본 바와 같이 함수 $f(x)=kx^{2}$ 를 미분하면 새로운 관계식을 갖는 함수 $f'(x)=2kx$ 가 생성된다. 이와 같이 원래의 함수를 미분하여 생성되는 함수를 도함수라 한다. 일반적으로 다항 방정식을 관계식으로 하는 함수의 도함수는 미분 계산을 통하여 구할 수 있다. 즉, 함수 f(x)에 대한 도함수 f'(x)는 다음의 식으로 나타낼 수 있다.

$f'(x)=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}$

도함수를 나타내는 기호는 여러 가지가 있다. 이는 미적분학의 발전 과정에서 여러 학자들이 각기 다른 기호를 제안하였기 때문이다. 널리 쓰이는 기호는 다음과 같다.

기호	제안자
$\,f'(x)$	라그랑주
${\frac {dy}{dx}},\quad {\frac {df(x)}{dx}},\;{\frac {d}{dx}}f(x)$	라이프니츠
${\dot {x}}$	뉴턴
$Df(x)$	오일러

일반적으로 도함수의 관계식 등을 표현할 때에는 라그랑주의 $\,f'(x)$가 널리 쓰이고, 미분 계수의 계산에서는 라이프니츠의 ${\frac {dy}{dx}}$가 흔히 쓰인다. 미분 계수는 계산과정에서 실제 분수와 같은 성질을 보이기 때문이다. 예를 들어, $y=f(x)$ 이고, $x=g(t)$ 이면, 간접함수 $y=h(t)$ 의 도함수는 다음과 같이 계산된다.

${\frac {dy}{dt}}=\left({\frac {dy}{dx}}\right)\cdot \left({\frac {dx}{dt}}\right)$

한편, 함수 $f(x)$ 를 미분하여 구한 도함수 $f'(x)$ 에 대해 미분이 가능하다면 또 다시 미분을 할 수 있다. 이렇게 도함수를 다시 미분하는 것을 이계 미분 이라하고 그렇게 하여 얻은 함수를 이계도함수라고 한다. 이계도함수는 $f''(x)$ 로 나타낸다. 같은 원리로 삼계도함수, 사계도함수, … 와 같은 도함수를 구할 수 있다. 함수를 미분하여 구한 도함수는 또 하나의 함수이다. 이계 이상의 도함수를 통칭하여 고계도함수 (제n계도함수, 제n차함수)라 하고 $f^{n}(x)$ 로 나타낸다.

앞에서 다룬 농구공의 자유낙하 예제로 함수와 도함수, 이계 도함수의 관계를 살펴보면 다음과 같다.

함수 ( $f(t)\$ )	도함수 ( $f'(t)\$ )	이계 도함수 ( $f''(t)\$ )
낙하 거리 (m)	순간 속도 (m/초)	순간 가속도 (m/초2)
$f(t)={\frac {1}{2}}\cdot 9.8\cdot t^{2}$	$f'(t)={\frac {d}{dt}}f(t)=9.8\cdot t$	$f''(t)={\frac {d}{dt}}f'(t)=9.8$

주해:

그래프와 접선

함수의 그래프에서 미분은 특정 지점에서 나타나는 접선의 기울기를 뜻한다.

	왼쪽의 그래프에서 함수 $f(x)$의 평균 변화율은 직선 AB의 기울기가 된다. ${\frac {\Delta y}{\Delta x}}={\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}$ 이는 직선 AB의 탄젠트 값이므로 이를 이용하여 직선의 기울기를 각도로 표시할 수도 있다. 즉, $\tan {\Theta }={\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}$ 가 된다.
	왼쪽의 그래프와 같이 변화량 $\Delta x$ 가 0 으로 수렴하는 극한을 취하면 결국 미분계수는 접선의 기울기가 된다.
	따라서, 함수 f(x)의 특정 지점 $f(x)$ 에서의 미분계수 $f'(x)$ 는 (x, f(x) )에서 만나는 접선의 기울기가 된다.

미분 가능

$y=|x|\$의 그래프
연속이지만 미분이 불가능하다.

미분은 함수 f(x)의 순간변화율을 계산하는 과정이다. $f(a)$ 에서 미분계수 $f'(a)$ 가 존재할 때 미분 가능이라고 한다. 미분이 가능하면 변화량은 연속이다. 그러나 그 역은 성립하지 않는다. 첨점과 같이 연속이지만 미분이 불가능한 경우가 존재한다. 예를 들어 함수

$y=|x|\$

는 x=0 일때 연속이지만 미분은 불가능하다. 왜냐하면, 미분은 특정 지점에서 함수의 극한을 취하는 것으로 순간증가율과 순간감소율이 동일하다는 것을 전제로 하는데, 위의 함수의 경우 x=0 일때 순간감소율인 좌미분계수와 순간증가율인 우미분계수가 서로 다른 값을 갖게 되고 따라서 미분의 전제 조건을 충족할 수 없게 되어 미분이 불가능하게 된다.

미분표

단순한 함수의 미분

${d \over dx}c=0$

${d \over dx}x=1$

${d \over dx}|x|={x \over |x|}=\operatorname {sgn} x,\qquad x\neq 0$

${d \over dx}x^{c}=cx^{c-1}$

${d \over dx}{\sqrt {x}}={1 \over 2{\sqrt {x}}}$

${d \over dx}\left({1 \over x}\right)=-{1 \over x^{2}}$

지수함수와 로그 함수의 미분

${d \over dx}a^{f(x)}={a^{f(x)}f'(x)\ln a},\qquad a>0$

${d \over dx}c^{x}={c^{x}\ln c},\qquad c>0$

${d \over dx}e^{x}=e^{x}$

${d \over dx}\log _{c}x={1 \over x\ln c},\qquad c>0,c\neq 1$

${d \over dx}\ln x={1 \over x}$

삼각함수의 미분

${d \over dx}\sin x=\cos x$

${d \over dx}\cos x=-\sin x$

${d \over dx}\tan x={1 \over \cos ^{2}x}=\sec ^{2}x$

${d \over dx}\csc x=-{1 \over \tan x\sin x}=-\cot x\csc x$

${d \over dx}\sec x=\tan x\sec x$

${d \over dx}\cot x=-{1 \over \sin ^{2}x}=-\csc ^{2}x$

${d \over dx}\sin ^{-1}x={1 \over {\sqrt {1-x^{2}}}}$

${d \over dx}\cos ^{-1}x={-1 \over {\sqrt {1-x^{2}}}}$

${d \over dx}\tan ^{-1}x={1 \over 1+x^{2}}$

${d \over dx}\csc ^{-1}x={-1 \over |x|{\sqrt {x^{2}-1}}}$

${d \over dx}\sec ^{-1}x={1 \over |x|{\sqrt {x^{2}-1}}}$

${d \over dx}\cot ^{-1}x={-1 \over 1+x^{2}}$

쌍곡선 함수의 미분

${d \over dx}\sinh x=\cosh x$

${d \over dx}\cosh x=\sinh x$

${d \over dx}\tanh x={\mbox{sech}}^{2}\,x$

${d \over dx}\,{\mbox{csch}}\,x=-\,{\mbox{coth}}\,x\,{\mbox{csch}}\,x$

${d \over dx}\,{\mbox{sech}}\,x=-\tanh x\,{\mbox{sech}}\,x$

${d \over dx}\,{\mbox{coth}}\,x=-\,{\mbox{csch}}^{2}\,x$

${d \over dx}\sinh ^{-1}x={1 \over {\sqrt {x^{2}+1}}}$

${d \over dx}\cosh ^{-1}x={1 \over {\sqrt {x^{2}-1}}}$

${d \over dx}\tanh ^{-1}x={1 \over 1-x^{2}}$

${d \over dx}{\mbox{csch}}^{-1}\,x={-1 \over |x|{\sqrt {x^{2}-1}}}$

${d \over dx}{\mbox{sech}}^{-1}\,x={1 \over x{\sqrt {1-x^{2}}}}$

${d \over dx}{\mbox{coth}}^{-1}\,x={1 \over 1-x^{2}}$

함수의 미분법

$f(x)=c$ (c는 상수)

$f'(x)=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {c-c}{\Delta x}}=0$

$y=cf(x)$ 실수배의 미분

$y'=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {cf(x+\Delta x)-cf(x)}{\Delta x}}=c\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}=cf'(x)$

다항함수의 미분

n이 자연수인 경우,

인수분해를 이용하여 $f(x)={x^{n}}\$의 도함수를 구하면,

$f'(x)=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}$

$=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {{(x+\Delta x)^{n}}-x^{n}}{\Delta x}}$

$=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {(x+\Delta x-x)(x^{n-1}+x^{n-2}(x+\Delta x)+x^{n-3}(x+\Delta x)^{2}+...+(x+\Delta x)^{n-1})}{\Delta x}}$

$=\lim _{\Delta x\to 0}{(x^{n-1}+x^{n-2}(x+\Delta x)+x^{n-3}(x+\Delta x)^{2}+...+(x+\Delta x)^{n-1})}$이때 $\Delta x$ 는 0 에 수렴하므로

$=x^{n-1}+x^{n-1}+...+x^{n-1}=nx^{n-1}\$ 따라서,

$f'(x)=nx^{n-1}\$

합과 차의 미분

$(f(x)+g(x))'=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {{f(x+\Delta x)+g(x+\Delta x)}-(f(x)+g(x))}{\Delta x}}\$

$=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {f(x+\Delta x)-f(x)+g(x+\Delta x)-g(x)}{\Delta x}}\$

$=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {{f(x+\Delta x)}-f(x)}{\Delta x}}+\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {g(x+\Delta x)-g(x)}{\Delta x}}\$

$=f'(x)+g'(x)\$

같은 방법으로,

$(f(x)-g(x))'=f'(x)-g'(x)\$

곱의 미분

 이 부분의 본문은 곱셈 법칙입니다.

$(f(x)g(x))'=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {{f(x+\Delta x)g(x+\Delta x)}-(f(x)g(x))}{\Delta x}}\$

$=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {{f(x+\Delta x)g(x+\Delta x)}-{f(x)g(x+\Delta x)}+{f(x)g(x+\Delta x)}-(f(x)g(x))}{\Delta x}}\$

$=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}\lim _{\Delta x\to 0}g(x+\Delta x)+\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {g(x+\Delta x)-g(x)}{\Delta x}}\lim _{\Delta x\to 0}f(x)\$

$=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)\$

삼각함수의 미분

삼각함수의 미분 역시 다항식의 미분과 같이 함수의 극한을 통해 계산할 수 있다. 예를 들어 $f(x)=\sin {x}$ 의 도함수는 다음과 같이 계산된다.

도함수의 정의에 의해

$f'(x)=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {\sin {(x+\Delta x)}-\sin {x}}{\Delta x}}$

이때,

$\sin {A}-\sin {B}=2\cos \left({\frac {A+B}{2}}\right)\sin \left({\frac {A-B}{2}}\right)$

이므로, 위의 도함수는 다음과 같이 쓸 수 있다.

$f'(x)=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {2\cos \left(x+{\frac {\Delta x}{2}}\right)\sin \left({\frac {\Delta x}{2}}\right)}{\Delta x}}$

$=\lim _{\Delta x\to 0}{\cos \left(x+{\frac {\Delta x}{2}}\right)}\cdot \lim _{\Delta x\to 0}{\frac {\sin \left({\frac {\Delta x}{2}}\right)}{\frac {\Delta x}{2}}}$

한편,

$\lim _{x\to 0}{\frac {\sin {x}}{x}}=1$

이므로

$\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {\sin \left({\frac {\Delta x}{2}}\right)}{\frac {\Delta x}{2}}}=1$

이다. 따라서 위의 도함수는

$f'(x)=\lim _{\Delta x\to 0}{\cos \left(x+{\frac {\Delta x}{2}}\right)}$

가 된다. $\Delta x$ 는 0으로 수렴하므로,

$f'(x)=\cos {x}\$

위와 같은 방법을 통해 다른 삼각함수에 대해서도 도함수를 구할 수 있다. 다음은 각 종 삼각함수의 도함수이다.

$\left(\sin(x)\right)'=\cos(x)$

$\left(\cos(x)\right)'=-\sin(x)$

$\left(\tan(x)\right)'=\left({\frac {\sin(x)}{\cos(x)}}\right)'={\frac {\cos ^{2}(x)+\sin ^{2}(x)}{\cos ^{2}(x)}}={\frac {1}{\cos ^{2}(x)}}=\sec ^{2}(x)$

$\left(\cot(x)\right)'=\left({\frac {\cos(x)}{\sin(x)}}\right)'={\frac {-\sin ^{2}(x)-\cos ^{2}(x)}{\sin ^{2}(x)}}=-(1+\cot ^{2}(x))=-\csc ^{2}(x)$

$\left(\sec(x)\right)'=\left({\frac {1}{\cos(x)}}\right)'={\frac {\sin(x)}{\cos ^{2}(x)}}={\frac {1}{\cos(x)}}.{\frac {\sin(x)}{\cos(x)}}=\sec(x)\tan(x)$

$\left(\csc(x)\right)'=\left({\frac {1}{\sin(x)}}\right)'=-{\frac {\cos(x)}{\sin ^{2}(x)}}=-{\frac {1}{\sin(x)}}.{\frac {\cos(x)}{\sin(x)}}=-\csc(x)\cot(x)$

$\left(\arcsin(x)\right)'={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}$

$\left(\arccos(x)\right)'={\frac {-1}{\sqrt {1-x^{2}}}}$

$\left(\arctan(x)\right)'={\frac {1}{x^{2}+1}}$

지수 함수의 미분

지수 함수 $f(x)=b^{x}$ 의 도함수 $f'(x)$는 다음과 같다. 편의상 $\Delta x$를 $h$ 로 표기한다.

$f'(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {b^{x+h}-b^{x}}{h}}$

지수 법칙에 의해

$b^{x+h}-b^{x}=b^{x}b^{h}-b^{x}=b^{x}(b^{h}-1)\$

이므로,

$f'(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {b^{x}(b^{h}-1)}{h}}$

$=b^{x}\lim _{h\to 0}{\frac {b^{h}-1}{h}}$

이때 상수 $k$를

$\ln b=\lim _{h\to 0}{\frac {b^{h}-1}{h}}$

와 같이 정의하면,

$f'(x)=b^{x}\ln b\$

가 된다.

한편 b = e 일때

$\lim _{h\to 0}{\frac {e^{h}-1}{h}}=1$

이 되므로, $f(x)=e^{x}$ 의 도함수는 자기 자신인 $f'(x)=e^{x}$ 이 된다.

로그 함수의 미분

$f(x)=\log _{a}x$

$x=a^{f(x)}$

합성함수의 미분법에 의해,

$1={a^{f(x)}}f'(x)\ln a$

$f'(x)={\frac {1}{a^{f(x)}\ln a}}={\frac {1}{x\ln a}}$

x=e인 경우 $f(x)=\ln x$

$f'(x)={\frac {1}{x\ln e}}={\frac {1}{x}}$

적분법

적분의 예

적분(積分)은 리만 적분에서 다루는 고전적인 정의에 따르면 실수의 척도를 사용하는 측도 공간에 나타낼 수 있는 연속인 함수 f(x)에 대하여 그 함수의 정의역의 부분 집합을 이루는 구간 [a, b] 에 대응하는 치역으로 이루어진 곡선의 리만 합의 극한을 구하는 것이다. 이를 정적분이라 한다. 구간 [a, b]에 대하여 $f(x)\geqq 0$ 이면 적분은 곡선의 면적과 동일하다. 그러나, 오른쪽 그림과 같이 구간 가운데 일부가 음수인 치역을 갖는다면 적분 값은 서로 상쇄되어 곡선이 이루는 면적과는 다를 수 있다.

이를 수식으로 나타내면, 폐구간$[a,b]$에서 연속인 함수 $f(x)$에 대한 정적분은 다음과 같은 수식으로 나타낼 수 있다.

$\int _{a}^{b}f(x)dx=\lim _{n\to \infty }\sum _{k=1}^{n}f(x_{k})\Delta x\quad \left(x_{k}=a+k\Delta x,\ \Delta x={\frac {b-a}{n}}\right)$

개요 적분의 일반적 이해

적분은 곡면으로 이루어진 도형의 넓이나 물체의 부피와 같은 것에서 중력의 중심을 구하는 문제에 이르기까지 폭넓게 사용된다. 예를 들어 곡면으로 이루어진 수영장을 채우기 위해 얼마만큼의 물이 필요한지를 계산할 수 있다.

임의의 함수 $f(x)$의 정의역 가운데 일부 구간 $[a,b]$에 대한 적분은 구간 내의 치역이 모두 $0$ 이상일 때 해당 구간의 넓이와 같다. 치역의 일부 구간이 음수일 경우 $0$ 이상인 구간과 상계되어 엄밀한 의미에서 적분과 구간의 넓이는 동일한 개념은 아니지만, 적분의 개요를 이해하기 위해 여기서는 넓이를 구하는 방법으로서 적분을 다룬다.

0부터 1까지 √x의 적분의 근사값을 5개의 ■ 와 12개의 ■ 로 계산한 모양

y = f(x) 인 곡선에서 x = 0 에서 x = 1 사이의 넓이를 구하는 경우를 가정할 때, f(x) = √x 라면. 이것은 다음과 같은 적분식으로 표현할 수 있다.

$\int _{0}^{1}{\sqrt {x}}\,dx\,\!.$

이제 다음과 같은 방법에 따라 위 식이 나타내는 넓이를 구할 수 있다. 우선 $f(0)=0$, $f(1)=1$ 이므로 구간 $[0,1]$에서 전체의 넓이는 가로와 세로가 각각 1인, 즉 넓이가 1인 정사각형 안에 있다고 할 수 있다. 물론, 여기서 구하고자 하는 곡선의 넓이는 이 전체 구간의 넓이보다 작다. 더욱 정확한 넓이를 계산하기 위해서는 구간을 더 세밀하게 나눌 필요가 있다. 오른쪽 그림의 노란색 사각형과 같이 구간 [0, 1]을 폭이 0.2인 구간으로 나누어 오른쪽 값을 높이로 하는 다섯 개의 사각형을 그릴 수 있다. 이들 사각형의 넓이의 합은

$0.2\times ({\sqrt {0.2}}+{\sqrt {0.4}}+{\sqrt {0.6}}+{\sqrt {0.8}}+{\sqrt {1}})$

$\approx 0.2\times (0.4472+0.6325+0.7746+0.8944+1)=0.7497.\,\!$

이 된다. 그래프에서 나타난 것과 같이 이 사각형들의 넓이의 합은 실제 넓이보다 여전히 크다.

한편, 오른쪽 그래프의 녹색 사각형은 구간 [0,1]을 12등분하여 왼쪽 값을 높이로 하는 사각형을 그린 것이다. 이 사각형들의 넓이의 합은

${\frac {1}{12}}\times \left({\sqrt {\frac {0}{12}}}+{\sqrt {\frac {1}{12}}}+\cdots +{\sqrt {\frac {11}{12}}}\right)\approx 0.6203.\,\!$

이다. 이 경우에는 사각형들의 넓이의 합은 실제 곡선의 넓이보다 작다.

이렇게 작게 나눈 구간의 오른쪽을 사각형의 높이로 삼으면 실제 곡선의 넓이보다 크게 되고 왼쪽을 사각형의 높이로 삼으면 실제 곡선의 넓이보다 작게된다. 그러나, 작게 나눈 구간의 폭을 매우 작게 만들면 둘의 차이는 거의 없게 되고 곡선의 실제 넓이에 근사하게 된다.

이와 같이 적분은 곡선의 넓이를 구하기 위해 밑변의 길이가 0으로 수렴하는 무수히 많은 사각형들의 넓이를 합한 것과 같다. 다항식을 관계식으로 하는 함수의 적분 계산법에 따라 구간 [0,1]에서 f(x) = √x의 적분은 다음과 같이 계산된다.

$\int _{0}^{1}{\sqrt {x}}\,dx=\int _{0}^{1}x^{\frac {1}{2}}\,dx=F(1)-F(0)={\textstyle {\frac {2}{3}}}.\approx 0.6667.\,\!$ 단, $F(x)={\frac {2}{3}}x^{\frac {3}{2}}$

계산의 자세한 방법은 이 글의 〈표기와 계산〉 항목에 있다.

지금까지의 예제는 리만 적분에 따른 것이다. 리만 적분에서 함수 f(x)의 적분은 다음과 같이 표기한다.

$\int f(x)\,dx\,\!$

이때 ∫ 는 S 를 변형시킨 것으로 합한다(영어: summation)는 것을 나타내는 적분 기호이고 f(x)는 함수를 dx 는 x의 구간에 대한 변화량(영어: differentials)을 곱한다는 의미를 지닌다.

리만 적분

 이 부분의 본문은 리만 적분입니다.

일반적인 리만 합은 주어진 구간을 불규칙하게 분할한다. 이 그래프에서 최대 분할 구간(x축의 빨간색 구간)의 경우 참 값은 3.76이나 리만 합은 3.648 이다.

리만 적분은 주어진 구간에서 리만 합의 극한으로 적분을 정의한다. 폐구간 [a,b]는 다음과 같이 보다 작은 구간으로 분할 될 수 있다.

$a=x_{0}\leqq t_{1}\leqq x_{1}\leqq t_{2}\leqq x_{2}\leqq \cdots \leqq x_{n-1}\leqq t_{n}\leqq x_{n}=b.\,\!$

리만 합의 종류 ■ 오른쪽 리만 합, ■ 최솟값 리만 합, ■ 최댓값 리만 합, ■ 왼쪽 리만 합.

구간 [a,b]를 n 개의 하위 구간으로 분할하는 경우, 하위 구간들은 [x_i−1, x_i]와 같이 i 에 의해 표기될 수 있다. 분할된 각각의 하위 구간의 표시는, t_i ∈ [x_i−1, x_i]와 같이 지정할 수 있다. 함수 f(x)의 특정 구간 [a, b]를 n 개의 하위 구간으로 분할 할 때 리만 합은 다음과 같이 정의된다.

$\sum _{i=1}^{n}f(t_{i})\Delta _{i};$

왼쪽의 그래프와 같이 각각의 하위 구간들은 사각형을 구성하게 된다. 이때 곡선과 만나는 어느 지점을 사각형의 높이로 삼을 것인지에 따라 사각형의 크기가 달라지게 된다. 예를 들어 하위 구간의 시작점을 기준으로 한다면 그래프에서는 왼쪽을 기준으로 한 사각형을 그릴 수 있다. 이 경우를 왼쪽 리만 합이라고 한다. 같은 방법으로 하위 구간의 끝점을 기준으로 하는 오른쪽 리만 합, 가운데 지점을 기준으로 하는 가운데 리만 합, 하위 구간에서 곡선의 가장 높은 곳을 기준으로 하는 최댓값 리만 합 등을 만들 수 있다. 왼쪽의 그림에서 가운데에 있는 그래프는 오른쪽 리만 합이든 다른 종류의 리만 합이든 종류에 관계없이 극한을 취할 경우 같은 값으로 수렴함을 보여주고 있다.

구간 [a,b]에 대하여 k 를 간격으로 하여 n 개로 분할된 하위 구간의 변량을 Δ_k = x_k−x_k−1 라 하면, 전체 구간 [a,b]는 분할 된 각각의 하위 구간들의 합으로 생각할 수 있다. 위에서 설명한 〈적분의 개요〉에서 보았듯이 적분은 하위 구간의 변량 Δ_k 가 0 으로 수렴하는 경우를 구하는 것이다. 즉, 리만 적분은 구간 [a.b]에서 리만 합의 극한을 구하는 것과 같다. 이를 식으로 나타내면 다음과 같다.

$\int _{a}^{b}f(x)dx=\lim _{n\to \infty }\sum _{k=1}^{n}f(x_{k})\Delta x\quad \left(x_{k}=a+k\Delta x,\ \Delta x={\frac {b-a}{n}}\right)$

정적분, 부정적분과 계산

미적분학의 기본정리에 따라 적분은 미분의 역산이다. 즉, 함수 $f(x)=x$를 도함수로 하는 원시함수 $F(x)$가 존재한다. 원시함수를 구하는 과정을 부정적분(不定積分)이라 한다. 이를 식으로 나타내면 다음과 같은 관계가 성립한다.

${\frac {d}{dx}}F(x)=f(x)$

예를 들어, $f(x)=x$ 라고 하면 원시함수 $F(x)$는 다음과 같이 생각하여 구할 수 있다.

${\frac {d}{dx}}F(x)=x\$

이 때 도함수가 $f(x)=x$인 원시 함수 $F(x)$는 일반적인 다항식을 관계식으로 하는 함수이므로

$F(x)=Ax^{2}+Bx+C\$

의 형태가 됨을 알 수 있다. 따라서, 다항식의 도함수 계산법을 이용하면 $2A=1,B=0$가 되고, $C$는 임의의 상수가 된다. 즉,

$F(x)={\frac {1}{2}}x^{2}+C\$

위 식에서 나타나는 임의의 상수 $C$를 적분상수라고 한다. 원시함수 $F(x)$에 나타나는 적분 상수는 함수 $f(x)$로 미분될 때 $0$이 되어 소멸한다.

일반적으로,

$f(x)=a_{0}x^{n}+a_{1}x^{n-1}+\cdots +a_{n}$(단, $n\neq -1$)

의 꼴을 갖는 다항식을 관계식으로 하는 함수의 원시 함수 F(x)는 다음과 같은 형태가 된다.

$F(x)={\frac {a_{0}}{n+1}}x^{n+1}+{\frac {a_{1}}{n}}x^{n}+\cdots +a_{n}x+C$ (C 는 적분 상수)

일반적인 경우를 살펴보자. 구간 [a, b]에서 적분 가능한 함수 $f(x)$의 임의의 두 부정적분을 $F(x)$, $G(x)$라 하자. $H(x)=F(x)-G(x)$ 라 하자. 구간 $(a,b]$에 속하는 임의의 $x$에 대하여, 함수 $H(x)$에 평균값의 정리를 적용하면

${\frac {H(x)-H(a)}{x-a}}=H'(c)$

를 만족하는 c가 구간 (a, x)에 존재한다. 그런데

$H'(c)=F'(c)-G'(c)=f(c)-f(c)=0$

이므로

$H(x)-H(a)=0$

이다. 즉 H(x) = H(a)이다. 구간 (a, b]에 속하는 임의의 x를 택하였으므로, 구간 [a, b]에서 이 식이 성립한다. 즉, 구간 [a, b]에서 H(x)는 상수함수이다. 따라서 H(x) = k (k는 상수)라 할 수 있으므로

$F(x)-G(x)=H(x)=k$

이다. 즉, 구간 [a, b]에서 두 함수 F(x)와 G(x)는 상수만큼 차이난다. 따라서 함수 f(x)의 임의의 부정적분 F(x)와 G(x)는 상수만큼 차이난다. 어떤 함수의 부정적분을 적분상수를 이용하여 표기하는 것이 정당함을 알 수 있다.

한편, 함수 f(x)의 구간 [a, b]에 대한 적분은 시작점과 끝점이 있는 유계의 변화량을 뜻하며 이를 정적분(定積分)이라 한다. 구간 [a, b]에 대한 함수 f(x)의 정적분은 다음과 같이 계산될 수 있다. 일반적으로 적분은 정적분을 가리킨다. 또한, 리만 합의 극한으로서 정적분을 정의하는 것을 리만 적분이라고 하며, 별다른 설명이 없을 경우 적분은 흔히 리만 적분을 가리킨다.

$\int _{a}^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)$

(단, $F(x)\$ 는 $f(x)\$의 원시 함수)

구간 [4,9]에 대한 f(x)=x 의 정적분

위에서 예를 든 f(x)=x 의 구간 [4, 9] 에 대한 적분을 계산하면,

$\int _{4}^{9}xdx=F(9)-F(4)={\frac {1}{2}}\cdot 9^{2}+C-\left({\frac {1}{2}}\cdot 4^{2}+C\right)$

$={\frac {9^{2}}{2}}-{\frac {4^{2}}{2}}={\frac {81-16}{2}}={\frac {65}{2}}=32.5$

구간 [4, 9]에 대한 함수 f(x)=x의 치역은 모두 양수 이므로 위 결과는 구간 [4, 9]에 대한 f(x)=x 의 넓이와 같다. 오른쪽의 그래프와 같이 이는 결국 한변의 길이가 9인 직각이등변삼각형의 넓이에서 한변의 길이가 4인 직각이등변삼각형의 넓이를 뺀 것과 동일하고, 그 결과 역시 같다.

위의 예와 같이 적분은 하나의 수로서 $x\$와는 무관하다. 즉 다음의 등식이 성립한다.

$\int _{a}^{b}f(x)dx=\int _{a}^{b}f(y)dy=\int _{a}^{b}f(z)dz=\cdots$

부정적분

 이 부분의 본문은 부정적분입니다.

함수 ƒ(x) = (x³/3)-(x²/2)-x+c의 기울기장(slope field)의 그림. 적분 상수 C를 바꾸어서 무한히 많은 해 중에 세 개의 해를 보여주고 있다.

미적분학에서 함수 $f$의 부정적분(indefinite integral) 또는 역도함수(antiderivative)는 미분을 하여 $f$가 되는 함수 $F$를 가리킨다. 부정적분은 미적분학의 기본정리(fundamental theorem of calculus)를 통해 정적분(definite integrals)과 연결된다. 즉, 어떤 구간을 따라서 어떤 함수의 정적분을 계산한 값은 그 함수의 부정적분에 구간의 양 끝 값을 대입한 값의 차와 같게 된다.

규칙과 공식

 좀 더 다양한 공식은 적분표 문서를 참고하십시오.

부정적분은 미분의 역과정을 수행하면 된다. 기호 $\textstyle \int$ 은 이러한 연산을 가리키는 연산자가 된다.

$\int f(x)\,dx=F(x)+C$

이때,

$F'\!(x)={\frac {d}{dx}}F(x)=f(x).$

가 된다. 여기서 $C$는 적분상수(Constant of integration)가 된다.

부정적분은 미분의 역과정이므로 미분 공식과 밀접한 연관이 있다. 유용한 공식으로는 다음과 같은 것들이 있다.

• 일반 공식

$\int dx=x+C$

• 상수배한 함수의 부정적분은 부정적분한 함수의 상수배와 같다.

$\int af(x)\,dx=a\int f(x)\,dx$

• 같은 구간에 정의된 두 함수의 합을 부정적분한 것은 각각 부정적분 한 함수의 합과 같다.

$\int [f(x)+g(x)]\,dx=\int f(x)\,dx+\int g(x)\,dx$

• $n$이 실수일 때 단항식은 다음과 같이 적분된다.

$\int x^{n}\,dx={\begin{cases}{\frac {x^{n+1}}{n+1}}+C,&{\text{if }}n\neq -1\\\ln |x|+C,&{\text{if }}n=-1\end{cases}}$

성질

부정적분은 미적분학의 기본정리(fundamental theorem of calculus)를 이용하여 정적분(definite integral)을 계산할 때 매우 유용하다. 즉,

$\int _{a}^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)$

이런 계산결과의 관계 덕분에 역도함수는 구간이 정해지지 않은 적분이므로 부정적분(indefinite integral) 이라는 용어를 쓰게 된다. 즉, 구간을 정하지 않은 다음과 같은 기호로 표시하게 된다.

$\int f(x)dx$

모든 상수는 미분하면 사라진다. 그러므로 주어진 함수의 역도함수는 어떤 상수항도 취할 수 있게 된다. 따라서 역도함수의 마지막에 임의의 상수가 온다는 의미로 임의의 적분상수 $C$를 붙여준다.

초등 함수로 표현할 수 없는 함수

역도함수가 존재하지만 그 역도함수를 초등함수(Elementary function)로 표현할 수 없는 함수도 많이 있다. 다음과 같은 예가 있다.

$\int e^{-x^{2}}\,dx,\qquad \int {\frac {\sin(x)}{x}}\,dx,\qquad \int {\frac {1}{\ln x}}\,dx,\qquad \int x^{x}\,dx.$

적분표

일반적인 적분 규칙

$\int af(x)\,dx=a\int f(x)\,dx\qquad {\mbox{(}}a{\mbox{ constant)}}\,\!$

$\int [f(x)+g(x)]\,dx=\int f(x)\,dx+\int g(x)\,dx$

$\int f(x)g(x)\,dx=f(x)\int g(x)\,dx-\int \left[f'(x)\left(\int g(x)\,dx\right)\right]\,dx$

$\int [f(x)]^{n}f'(x)\,dx={[f(x)]^{n+1} \over n+1}+C\qquad {\mbox{(for }}n\neq -1{\mbox{)}}\,\!$

$\int {f'(x) \over f(x)}\,dx=\ln {\left|f(x)\right|}+C$

$\int {f'(x)f(x)}\,dx={1 \over 2}[f(x)]^{2}+C$

유리 함수

$\int x^{n}\,dx={\frac {x^{n+1}}{n+1}}+C\qquad {\mbox{ if }}n\neq -1$

$\int x^{-1}\,dx=\ln {\left|x\right|}+C$

$\int {\frac {1}{1+x^{2}}}\,dx=\arctan {x}+C$

무리 함수

$\int {1 \over {\sqrt {1-x^{2}}}}\,dx=\arcsin {x}+C$

$\int {-1 \over {\sqrt {1-x^{2}}}}\,dx=\arccos {x}+C$

$\int {1 \over |x|{\sqrt {x^{2}-1}}}\,dx={\mbox{arcsec}}\,{x}+C$

로그

$\int \ln {x}\,dx=x\ln {x}-x+C$

$\int \log _{a}x\,dx=x\log _{a}x-{\frac {x}{\ln a}}+C$

지수 함수

$\int e^{x}\,dx=e^{x}+C$

$\int a^{x}\,dx={\frac {a^{x}}{\ln {a}}}+C$

삼각 함수

$\int \cos {x}\,dx=\sin {x}+C$

$\int \sin {x}\,dx=-\cos {x}+C$

$\int \tan {x}\,dx=-\ln {\left|\cos {x}\right|}+C$

$\int \csc {x}\,dx=\ln {\left|\csc {x}-\cot {x}\right|}+C$

$\int \sec {x}\,dx=\ln {\left|\sec {x}+\tan {x}\right|}+C$

$\int \cot {x}\,dx=\ln {\left|\sin {x}\right|}+C$

$\int \sec ^{2}x\,dx=\tan x+C$

$\int \csc ^{2}x\,dx=-\cot x+C$

$\int \sin ^{2}mx\,dx={{\frac {1}{2m}}(mx-\sin mx\cos mx)}+C$

$\int \cos ^{2}mx\,dx={{\frac {1}{2m}}(mx+\sin mx\cos mx)}+C$

$\int \sin ^{n}x\,dx={-{\frac {\sin ^{n-1}x\cos x}{n}}+{\frac {n-1}{n}}\int \sin ^{n-2}x\,dx}+C$

$\int \cos ^{n}x\,dx={{\frac {\cos ^{n-1}x\sin x}{n}}+{\frac {n-1}{n}}\int \cos ^{n-2}x\,dx}+C$

$\int \sec ^{n}x\,dx={{\frac {\sec ^{n-2}x\tan x}{n-1}}+{\frac {n-2}{n-1}}\int \sec ^{n-2}x\,dx}+C$

$\int \csc ^{n}x\,dx={{\frac {\csc ^{n-2}x\cot x}{-(n-1)}}+{\frac {n-2}{n-1}}\int \csc ^{n-2}x\,dx}+C$

쌍곡선함수

$\int \sinh x\,dx=\cosh x+C$

$\int \cosh x\,dx=\sinh x+C$

$\int \tanh x\,dx=\ln(\cosh x)+C$

$\int {\mbox{csch}}\,x\,dx=\ln \left|\tanh {x \over 2}\right|+C$

$\int {\mbox{sech}}\,x\,dx=\arctan(\sinh x)+C$

$\int \coth x\,dx=\ln |\sinh x|+C$

정적분

어떤 함수의 적분은 원시 함수로 나타낼 수 없지만, 특정 구간에서의 적분값을 계산할 수는 있다. 다음은 그들 중 유용한 몇 정적분이다.

$\int _{0}^{\infty }{{\sqrt {x}}\,e^{-x}\,dx}={\frac {1}{2}}{\sqrt {\pi }}$

$\int _{0}^{\infty }{e^{-x^{2}}\,dx}={\frac {1}{2}}{\sqrt {\pi }}$

확률과 통계

순열

 이 부분의 본문은 순열입니다.

수학에서, 순열(順列, permutation,퍼뮤테이션) 또는 치환(置換)은 순서가 부여된 임의의 집합을 다른 순서로 뒤섞는 연산이다. 이들은 함수의 합성에 따라 대칭군이라는 군을 이룬다.

표현

집합 {1,2,3,4,5} 상의 순열로서 1을 2로, 2를 5로, 3을 3으로, 4를 1로, 5를 4로 보내는 순열을 다음과 같이 표시한다.

$f={\begin{bmatrix}1&2&3&4&5\\2&5&3&1&4\end{bmatrix}}.$

<아무 의미도 순서도 없는> <수들의 모임>일 뿐인 그 집합 {1,2,3,4,5}에 이 치환을 여러 차례 연달아 적용한다면, 1은 2로 간 뒤 5로 갔다가 4을 거쳐 다시 1로 돌아오며, 이 과정에서 1이 거쳐가는 원소들(1,2,5,4)을 제외한 나머지 원소(3)는 전혀 움직이지 않는 것을 알 수 있다. 이와 같이 한 원소에서 출발해 치환에 의해 움직이는 모든 원소를 전부 거쳐올 수 있는 치환을 순환치환(cycle)이라 한다. 위의 순환치환은 간단히 (1 2 5 4)로 표시할 수 있다. 이 순환치환은 총 4개의 원소를 거치므로 이를 '길이 4의 순환치환'이라 한다.

이제 아래의 두 순열을 생각해 보자.

$g=(1\ 3)(4\ 5)={\begin{bmatrix}1&2&3&4&5\\3&2&1&5&4\end{bmatrix}}$

$h=(1\ 2\ 5)(3\ 4)={\begin{bmatrix}1&2&3&4&5\\2&5&4&3&1\end{bmatrix}}.$

집합 {1,2,3,4,5}에 h를 적용한 뒤 g를 적용하면, 1은 2로 갔다가 2에 도착하고, 2는 5로 갔다가 4로 도착할 것이다. 이와 같은 식으로 나머지도 계산해서 다음의 결과를 얻는다:

$gh=g\circ h=(1\ 2\ 4)(3\ 5)={\begin{bmatrix}1&2&3&4&5\\2&4&5&1&3\end{bmatrix}}.$

일반적으로 길이 L = mn의 순환치환을 m승 하면 길이 n의 순환치환 m개의 곱이 된다. 예를 들어 m = 2, n = 3일 때,

$(1~2~3~4~5~6)^{2}=(1~3~5)(2~4~6).$

호환(transposition)은 두 원소를 서로 바꾸고 나머지 원소들은 그대로 놔두는 순열을 말한다. 즉, 호환이란 길이 2의 순환치환이다. 임의의 치환은 호환들의 곱으로 쓸 수 있는데, 예를 들어 (1 3 5 4) = (1 4)(1 5)(1 3)이다. 이 경우와 마찬가지로 홀수개의 호환의 곱으로 표현할 수 있는 치환을 홀치환이라고 하고, 짝수개의 호환의 곱으로 표현할 수 있는 치환을 짝치환이라고 한다. 일반적으로 치환을 호환들의 곱으로 표현하는 방법은 여러 개가 있지만, 홀치환은 언제나 홀수 개, 짝치환은 언제나 짝수 개의 호환의 곱으로 나타난다.

n개의 원소의 r-순열

n개의 원소의 r-순열은 서로 다른 n 개의 원소 중에서 r 개($n\geq r$)를 뽑아서 한 줄로 세우는 방법이다. 그 가능한 개수 $P(n,r)$은 다음과 같다.

$P(n,r)=n(n-1)(n-2)\cdots (n-r+1)=P(n,r)={\frac {n!}{(n-r)!}}$

예를 들어, 네 개의 문자 A,B,C,D 에서 두 개를 뽑아 나열하는 방법은 $P(4,2)={\frac {4!}{(4-2)!}}=4\times 3=12$이므로 12가지가 된다. 일일이 나열하면 다음과 같다.

{AB, AC, AD, BA, BC, BD, CA, CB, CD, DA, DB, DC}

같은 것이 있는 순열

n개 중에 같은 것이 각각 p개, q개, …, r개가 있을 때, n개 모두를 일렬로 배열하는 순열의 수로 다음과 같다.

${\frac {n!}{p!q!\cdots r!}}$

중복순열

중복순열(重複順列, Permutations with repetition) _n$\Pi$_r은 n 개의 서로 다른 원소 중에서 중복을 허용하여 r개를 뽑아서 한 줄로 나열하는 경우의 수이다. r 개를 선택하는 경우, 최초에 n 개를 선택할 수 있고 이후에도 계속 n 개를 선택할 수 있기 때문에 이 순열의 개수는 $n^{r}$임을 알 수 있다.

예를 들어, 1부터 4까지의 자연수 4개를 이용하여 만들 수 있는 세자리 수는 모두 4³ = 64 가지가 있다.

원순열

원순열(圓順列, circular permutation)은 n개를 원형으로 나열하는 방법의 경우의 수이다. n개를 일렬로 나열하는 경우의 수는 n!인데, 원은 돌렸을 때 같아지는 것이 생기기 때문에, 여기서 중복되는 것이 n배 있음을 알 수 있다.

따라서 다음과 같이 수를 정의한다.

${\frac {n!}{n}}$ = ${\frac {n(n-1)!}{n}}$ = ${(n-1)!}$

염주순열

염주순열(念珠順列)은 n개의 서로 다른 종류의 구슬로 목걸이를 만드는 방법의 수이다. n의 원순열은 ${\frac {n!}{n}}$인데, 목걸이는 뒤집어도 같은 것으로 취급하므로, 여기에서 중복되는 것이 2배가 있는 것을 알 수 있다. 따라서 n의 염주순열의 수는 ${\frac {n!}{2n}}$ = ${\frac {n(n-1)!}{2n}}$ = ${\frac {(n-1)!}{2}}$ 이다.

완전순열

 이 부분의 본문은 완전순열입니다.

완전순열(영어: complete permutation) 또는 교란(derangement) 또는 서브팩토리얼(subfactorial)은 순열 중, 원래 순열의 모든 요소를 변화시켜서 얻는 순열을 가리킨다. 기호는 !n.

조합

 이 부분의 본문은 조합입니다.

조합론에서, 조합(組合, 문화어: 무이, 영어: combination)은 집합에서 일부 원소를 취해 부분집합을 만드는 방법을 말한다. 그 경우의 수는 이항계수이다.

n개의 원소의 k-조합

$n$개의 원소를 가지는 집합에서 $k$개의 부분집합을 고르는 조합의 경우의 수를 이항계수라 하며, _nC_k나 ⁿC_k, C(n, k), 또는 ${n \choose k}$로 나타낸다. 기호 C는 콤비네이션이라고 읽기도 한다.

그 값은 ${n \choose k}={\frac {P(n,k)}{k!}}={\frac {n!}{k!\cdot (n-k)!}}$이다.

예를 들어, 10개 중에서 3개를 뽑는 경우의 수는 ${10 \choose 3}={\frac {10!}{3!\cdot 7!}}={\frac {10\cdot 9\cdot 8}{3\cdot 2\cdot 1}}=120$이다.

성질

• ${n \choose k}={n \choose n-k}$

증명
${n \choose k}={\frac {n!}{k!\cdot (n-k)!}}={\frac {n!}{(n-k)!\cdot [n-(n-k)]!}}={n \choose n-k}$ 이 성질을 직관적으로 보일 수도 있다. n명 중 A그룹에 들어갈 k명을 뽑는 가짓수는 n명중 A그룹에 들어가지 않을 n-k명을 뽑는 가짓수와 동일하다.

• ${n \choose k}={{n-1} \choose {k-1}}+{{n-1} \choose k}$

증명: n명중 B라는 사람을 우선 빼놓고 생각하자. 그렇다면

n명중 A그룹에 들어갈 k명을 고르는 가짓수 = B를 무조건 A그룹에 포함하는 경우 + B를 무조건 배제하는 경우 = n-1명 중 k-1명 선정 + n-1명 중 k명 선정을 하는 가짓수

이다.

중복조합

중복조합(重複組合, combination with repetition)은 서로 다른 $n$개의 원소에서 중복을 허락하여 $k$개를 뽑는 경우의 수이다. 이는 크기가 $n$인 집합에서, 크기가 $k$인 중복집합을 고를 수 있는 가짓수와 같다. 기호로는 $\left(\!\!\!{\binom {n}{k}}\!\!\!\right)$ 또는 _nH_k로 표기하며, 그 값은 _nH_k = _n+k-1C_k 이다.

예를 들어, 세개의 문자 A,B,C에서 중복을 허용하여 5개를 뽑는 경우의 수는 ₃H₅ = ₇C₅ = 21이므로 21가지가 된다.

성질

중복조합에서 다음이 성립한다.

$_{n}H_{0}=1$
$_{n}H_{1}=n$
$_{n}H_{k}=_{k+1}H_{n-1}\ ($단, $n\geq 1)$
$_{n}H_{0}+_{n}H_{1}+_{n}H_{2}+\cdots +_{n}H_{k}=_{n+1}H_{k}$

확률

 이 부분의 본문은 확률론입니다.

확률(確率)은 어떤 사건이 일어날것인지 혹은 일어났는지에 대한 지식 혹은 믿음을 표현하는 방법이며 동일한 원인에서 특정한 결과가 나타나는 비율을 뜻하기도 한다. 수학에서는 확률론에서 설명하고 있으며 수학, 통계학, 회계, 도박, 과학과 철학에서 어떤 잠재적 사건이 일어날 경우의 가능성과 이 가능성 안에 있는 복잡한 시스템의 구조에 대한 답을 이끌어내기 위해 사용되고 있다.

주사위를 던져서 얻는 결과는 확률변수로 나타낼 수 있다.

확률론(確率論, 영어: probability theory)은 확률에 대해 연구하는 수학의 한 분야이다. 확률론은 비결정론적 현상을 수학적으로 기술하는 것을 목적으로 하며, 주요 연구 대상으로는 확률변수, 확률과정, 사건 등이 있다. 확률론은 통계학의 수학적 기초이다. 또한 인간은 살아가기 위해 매 순간 직접적으로 예측할 수 없는 방법으로 변화하는 환경에 대처하여 결정을 내릴 필요가 있으며, 이는 의식적으로나 무의식적으로나 확률론에 기반한다. 통계역학 등에서, 완전한 정보가 알려지지 않은 복잡계를 기술하는 데에도 확률론적 방법론은 큰 역할을 한다. 이에 더해 20세기 초에 등장한 물리학 이론인 양자역학은, 미시계의 물리적 현상이 근본적으로 확률적인 본질을 갖고 있음을 알려주었다.

용어

• 실험: 관찰하거나 측정값을 얻는 과정.
• 사건: 실험의 결과.
  • 기본사건: 둘 이상의 다른 사건들로 나뉠 수 없는 사건.
• 표본 공간: 실험의 결과로 얻어진 모든 기본사건들의 집합.

통계

 이 부분의 본문은 통계학입니다.

통계학(統計學, 영어: statistics)은 수량적 비교를 기초로 하여, 많은 사실을 통계적으로 관찰하고 처리하는 방법을 연구하는 학문이다. 근대 과학으로서의 통계학은 19세기 중반 벨기에의 케틀레가 독일의 "국상학(國狀學, Staatenkunde, 넓은 의미의 국가학)"과 영국의 "정치 산술(Political Arithmetic, 정치 사회에 대한 수량적 연구 방법)"을 자연과학의 "확률 이론"과 결합하여, 수립한 학문에서 발전되었다.

개요

통계학은 관찰 및 조사로 얻을 수 있는 데이터로부터, 응용 수학의 기법을 이용해 수치상의 성질, 규칙성 또는 불규칙성을 찾아낸다. 통계적 기법은, 실험 계획, 데이터의 요약이나 해석을 실시하는데 있어서의 근거를 제공하는 학문이며, 폭넓은 분야에서 응용되어 실생활에 적용되고 있다. 통계학은 실증적인 뿌리를 가지고 있으며, 응용에 초점을 맞추고 있기 때문에 일반적으로 수학과는 다른 별개의 수리과학으로 여겨지고 있다. 통계학을 배움으로써 발표된 수치들을 왜곡하여 해석하는 것을 막고 통계 연구를 바탕으로 합리적인 의사결정을 할 수 있다. 통계학은 과학, 산업, 또는 사회의 문제에 적용되고 우선 모집단과 연구하는 과정을 필요로 한다. 모집단은 "한나라 안에 사는 모든 사람" 또는 "크리스탈을 구성하는 모든 원자"와 같이 일정한 특성을 지닌 집단이면 어느 것이든 가능하다. 통계학자들은 전체인구(인구조사를 하는 기업)에 대한 데이터를 편집한다. 이것은 정부의 통계관련 법률요약집같은 조직화된 방법으로 수행될 수도 있다. 기술통계학은 모집단의 데이터를 요약하는데 사용된다. 도수 및 비율 (경주 등) 범주 형 데이터를 설명하는 측면에서 더 유용할 동안 수치 기술자는 연속적인 데이터 유형 (소득 등)에 대한 평균과 표준 편차를 포함한다. 데이터 분석 방법 엄청난 자료가 연구되는 현대 사회에서 경제지표연구, 마케팅, 여론조사, 농업, 생명과학, 의료의 임상연구 등 다양한 분야에서 응용되고 있는 통계는 단연 우리 사회에서 가장 필요하고 실용적인 학문이라고 할 수 있다.

기하와 벡터

• 기하학

기하학

기하학(幾何學, 그리스어: γεωμετρία, 영어: geometry)은 공간에 있는 도형이나 대상들의 치수, 모양, 상대적 위치 등을 연구하는 수학의 한 분야이다. 기하학이 다루는 대상으로는 점, 선, 면, 도형, 공간과 같은 것이 있다. 기하학을 뜻하는 영어 단어 "geometry"는 땅을 뜻하는 그리스어 단어 γε(게)와 측정하다를 뜻하는 그리스어 단어 μετρία(메트리아)를 합하여 만든 말로서 고대 그리스에서부터 사용되었다. 기하(幾何)라는 말은 명나라의 서광계가 게오메트리아를 "얼마인가?"를 뜻하는 중국어 지허(중국어 간체자: 几何, 정체자: 幾何, 병음: jǐhé)로 음차 하였다. 마테오리치가 에우클레이데스의 《기하원론》을 번역하며 기하를 제목으로 삼아 널리 쓰이게 되었다.

정의와 공리

 공리 및 힐베르트 공리계 문서를 참고하십시오.

기하학이 다루는 대상은 추상적인 정의(定義)에 의해 가정된 것이다. 예를 들어 점은 에우클레이데스가 위치만을 나타내며 넓이나 부피가 없는 것으로 정의한 이래 그와 같은 의미로 사용되어 왔다. 이 외에도 선분, 각도 등과 같은 기본적인 기하학의 대상들 역시 합당한 정의가 필요하다. 이와 같은 기본적인 대상이 정의되면, 그를 바탕으로 도형, 곡선과 같은 대상도 기본적인 대상을 사용하여 정의할 수 있다. 예를 들어 원은 하나의 정점에서부터 동일한 거리에 놓여 있는 점들의 집합이라고 정의된다. 한편, 모든 기하학을 아우를 수 있도록 수학적으로 기하학을 정의하려는 시도는 성공하지 못하였다. 오즈월드 베블런은 “수학의 한 분야가 기하학이라고 불리는 까닭은 그 이름이 많은 유능한 사람들에게 정서적으로나 전통적으로 매우 근사하게 보이기 때문이다.” 라고 언급하였다.

기하학의 대상이 정의되면 이를 바탕으로 공리를 설정할 수 있다. 공리는 기하학의 대상들이 갖는 기본 성질로서, 자명하다고 여겨지는 가장 기초적인 명제이다. 따라서, 공리는 증명의 대상이 아닌 것으로 간주된다. 에우클레이데스는 《원론》을 집필하면서 다음과 같은 5 가지의 기하학 공리를 제시하였다. 이 공리는 유클리드 기하학에서 여전히 사용된다.

1. 임의의 서로 다른 두 점 P, Q에 대해 두 점을 지나는 직선은 유일하다.
2. 임의의 두 선분 AB, CD에 대해 B가 A와 E 사이에 위치하고 선분 BE의 길이가 선분 CD의 길이와 같게 되는 점 E는 유일하다.
3. 점 O를 정점으로 하고 반지름이 OP인 원을 그릴 수 있다.
4. 모든 직각은 합동이다.
5. 하나의 직선 위에 있지 않은 점 P를 지나는 평행선은 유일하다.

정삼각형의 작도

에우클레이데스는 《원론》의 모든 증명을 공리만을 사용하여 해결하려 하였다. 그러나, 원론에서 거론되는 첫 문제인 정삼각형의 작도부터 에우클레이데스가 간과한 점이 발견된다. 유한한 길이를 갖는 선분 AB를 반지름으로 하는 두 원을 그렸을 때, 두 원이 만나는 점과 점 A, B를 연결하면 정삼각형을 그릴 수 있다는 에우클레이데스의 증명은 두 원이 만난다는 것을 공리 만으로는 증명할 수 없다. 그림을 그려보면 자명해 보이지만, 그 자체는 공리가 아니기 때문에 증명이 필요하다. 이 문제가 올바르려면 공리를 추가해야 한다. 현대의 기하학자들은 이 원들이 만난다는 주장을 정당화하기 위해 ‘연속성 공준’을 추가해야 한다고 생각한다. 이와 같이 자명해 보이는 것이라 할 지라도 공리계 내에서는 자체적인 모순점이 없어야 하기 때문에 기존의 공리계 역시 검토가 필요하다. 힐베르트는 유클리트기하학의 공리계를 면밀히 다시 검토하여 힐베르트 공리계를 정리하였다.

공리를 자명하다고 여기는 것은 공리 자체가 결정불가능한 것임을 의미한다. 즉, 공리는 조건에 따라 참일 수도 거짓일 수도 있다. 따라서 기존의 공리계를 변형하여 새로운 공리계를 구성할 수 있고, 이렇게 구성된 공리계도 자체적인 모순이 없다면 얼마든지 사용될 수 있다. 비유클리드 기하학의 여러 분야에서는 이를 이용하여 공리를 변형하거나 추가하여 사용한다. 예를 들어 리만기하학은 평행선 공리를 다시 정의하였다. 쿠르트 괴델은 결정 불가능한 공리계에 얼마든지 많은 결정 불가능한 공리를 더 추가할 수 있다는 불완전성의 정리를 증명하였다.

공간

유클리드 공간

3차원 유클리드 공간 상의 각 점은 3개의 좌표 축에 결정된다.

수학에서 유클리드 공간(영어: Euclidean space)은 에우클레이데스가 연구했던 평면과 공간을 일반화한 것이다. 이 일반화는 유클리드가 생각했던 거리와 길이와 각도를 좌표계를 도입하여, 임의 차원의 공간으로 확장한 것이다. 이는 표준적인 유한 차원, 실수, 내적 공간이다.

경우에 따라서는 민코프스키 공간에 대비되는 말로서, 피타고라스의 정리에 의한 길이소의 제곱의 계수가 모두 양수인 공간을 이야기한다.

정의

자연수 $n=0,1,2,\dots$에 대하여, $n$차원 유클리드 공간 $\mathbb {R} ^{n}$은 집합으로서 실수 집합 $\mathbb {R}$의 $n$번 곱집합이다.

이 위에 내적

$\langle u,v\rangle =\sum _{i=1}^{n}u_{i}v_{i}$

를 정의하면, $\mathbb {R} ^{n}$은 실수 힐베르트 공간을 이룬다. 이에 따라, 유클리드 공간은 내적 공간, 바나흐 공간, 노름 공간, 벡터 공간, 완비 거리 공간, 위상 공간을 이룬다.

또한, 자명한 좌표근방계를 주어 미분 가능 다양체 및 리만 다양체로 만들 수 있다. 이 경우, 리만 계량으로 정의한 거리는 내적으로 정의한 거리와 일치한다.

벡터 공간

선형대수학에서, 벡터 공간(vector空間, vector space,문화어: 벡토르공간, 선형공간)은 원소를 서로 더하거나, 주어진 배수로 늘이거나 줄일 수 있는 공간이다. 체에 대한, 가군의 특수한 경우다. 벡터 공간의 원소를 벡터(영어: vector, 문화어: 벡토르)라고 하며, 이는 직관적으로 방향 및 길이의 비가 정의된 대상을 나타낸다. 그러나 노름이 주어지지 않은 일반적인 벡터 공간에서는 벡터의 길이 자체는 정의되지 않는다.

정의

체 $K$에 대한 벡터 공간 $(V,+,\cdot )$은 $K$에 대한 가군이다. 즉, 다음과 같은 튜플이다.

• $V$는 집합이다. 이 집합의 원소를 벡터라고 한다.
• $+\colon V\times V\to V$는 함수이다. 이 연산을 벡터 합이라고 한다.
• $\cdot \colon K\times V\to V$는 함수이다. 이 연산을 스칼라 곱이라고 한다.

이 데이터는 다음과 같은 공리들을 만족시켜야 한다.

• $(V,+)$는 아벨 군을 이룬다. 즉, 다음 성질들이 성립한다.
  • (벡터 합의 결합 법칙) 임의의 $u,v,w\in V$에 대하여, $(u+v)+w=u+(v+w)$
  • (벡터 합의 교환 법칙) 임의의 $u,v\in V$에 대하여, $u+v=v+u$
  • (벡터 합의 항등원) 임의의 $u\in V$에 대하여 $u+0=u$인 원소 $0\in V$가 존재한다.
  • (역원의 존재) 임의의 $u\in V$에 대하여, $-u+u=0$인 원소 $-u\in V$가 존재한다.
• $(V,+,\cdot )$는 $K$의 가군을 아룬다. 즉, 다음 성질들이 성립한다.
  • 임의의 $a,b\in K$ 및 $v\in V$에 대하여, $a\cdot (b\cdot v)=(ab)\cdot v$
  • 임의의 $v\in V$에 대하여, $1\cdot v=v$. 여기서 $1\in K$는 $K$의 곱셈 항등원이다.
  • (분배 법칙) 임의의 $a,b\in K$ 및 $u,v\in V$에 대하여, $(a+b)\cdot (u+v)=a\cdot u+b\cdot u+a\cdot v+b\cdot v$

실수체 $\mathbb {R}$에 대한 벡터 공간을 실수 벡터 공간(實數vector空間, 영어: real vector space)이라고 하며, 복소수체 $\mathbb {C}$에 대한 벡터 공간을 복소수 벡터 공간(複素數vector空間, 영어: complex vector space)이라고 한다.

차원

0차원 점, 1차원 선분, 2차원 사각형, 3차원 정육면체와 4차원 초입방체

1차원부터 5차원까지 전개하는 모습

차원(次元)은 수학에서 공간 내에 있는 점 등의 위치를 나타내기 위해 필요한 축의 개수를 말한다. 여기에서 사용된 수를 그 공간의 매개 변수라고 한다. 이 개념은 수학의 여러 분야에서 용도에 맞게 일반화된 형태로 사용되고 있다.

예를 들어, 평면에 포함된 한 점의 위치를 지정하는 데에는 두 개의 숫자가 필요하다. (보다 구체적으로 말해, 지구의 일부분을 묘사한 지도에서 특정한 위치를 찾아내기 위해서는 위도와 경도라는 두 개의 숫자를 알아야 한다.) 따라서 평면은 2차원이다.

하늘을 날아가는 비행기의 위치를 묘사하는 데에는 고도라는 또 하나의 변수가 필요하며, 따라서 비행기의 위치는 3차원 공간에 표시할 수 있다. 여기에 세 개의 오일러 각도를 추가한 6차원 공간을 생각하면, 비행기의 방향과 궤적을 함께 표시할 수 있다. 또한, 3차원 공간에 시간을 네 번째 차원으로 추가할 수도 있다.

차원의 종류

0차원 점이 움직여 1차원 선이 되고, 선이 움직여 2차원 면이 되고,면이 움직여 3차원 입체가 되고, 입체가 움직여 4차원 입방체가 된다.

점

점은 크기가 없고 위치만 있는 도형을 말한다. 점은 유한직선(有限直線)의 일단(一端)이며, 선의 교차에 의하여 생긴다. 점은 선, 면, 도형등의 기초가 된다.

선

빨간 선과 파란 선은 기울기가 같고, 빨간 선과 초록 선은 y 절편이 같다.

직선(直線)은 무한히 얇고, 무한히 길고 곧은 기하학적 요소이다. 여기서 직선은 수많은 점들이 곧은 형태로 모여, 끝없이 한 방향과 그 반대편 방향쪽으로 뻗어있기 때문에, 점과 다르게 길이와 방향의 개념이 있으나 한없이 얇다는 부분에서는 동일한 것이다.

2차원에서 두 직선의 관계는 평행이거나(영원히 만나지 않거나), 일치하거나, 한 점에서 만나거나 가운데 반드시 하나이다. 3차원 공간에서는 "꼬인 위치에 있다"가 추가된다.

직선의 방정식

직선의 방정식은 좌표계의 종류에 따라, 그리고, 좌표축의 개수에 따라 다양하게 기술될 수 있으며, 본 문서에서는 유클리드 좌표계에서도 2차원 및 3차원의 경우를 논한다.

2차원

y축과 평행하지 않은 직선은 일차방정식

$y=ax+b$(a는 0이 아닌 실수)

의 꼴로 나타낼 수 있다. 이때 $a$를 직선의 기울기라고 한다. 당연히, 기울기의 개념이 없는, y축과 평행한 직선은 위의 수식으로 표현 불가능하다.

이 기울기는 y축과 평행하지않은 일차방정식의 수많은 해 사이의 일정한 규칙을 숫자로 표현한 것으로 볼 수 있다. 때문에, 기울기를 이용하여 직선의 방정식을 구하는 것은 매우 간편한 방법이다.

일반적인 직선의 방정식은 $ax+by+c=0$(a, b는 0이아닌 실수) 으로 나타낼 수 있으며, y축과 평행한 직선까지 나타낼 수 있다.

여러가지 직선의 방정식

• x축의 방정식은 $y=0$

• y축의 방정식은 $x=0$

• x축에 평행한 직선의 방정식은 $y=k$(단, k≠0)

• y축에 평행한 직선의 방정식은 $x=k$(단, k≠0)

• $(x_{1},y_{1})$을 지나고 기울기가 m인 직선의 방정식은 $y-y_{1}=m(x-x_{1})$

• $(x_{1},y_{1})$, $(x_{2},y_{2})$을 지나는 직선의 방정식은 $y-y_{1}={\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}(x-x_{1})$

• x절편이 $\alpha$, y절편이 $\beta$인 직선의 방정식은 ${\frac {x}{\alpha }}+{\frac {y}{\beta }}=1$

이차 곡선의 접선의 방정식

• 원 $x^{2}+y^{2}=r^{2}$ 위의 점 $(x_{1},y_{1})$에서의 접선의 방정식은 $x_{1}x+y_{1}y=r^{2}$

• 원 $x^{2}+y^{2}=r^{2}$의 기울기가 $m$인 접선의 방정식은 $y=mx\pm r{\sqrt {m^{2}+1}}$

• 타원 위의 점 $(x_{1},y_{1})$에서의 접선의 방정식은 ${\frac {x_{1}x}{a^{2}}}+{\frac {y_{1}y}{b^{2}}}=1$

• 타원 ${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1$의 기울기가 $m$인 접선의 방정식은 $y=mx\pm {\sqrt {a^{2}m^{2}+b^{2}}}$

• 쌍곡선 위의 점 $(x_{1},y_{1})$에서의 접선의 방정식은 ${\frac {x_{1}x}{a^{2}}}-{\frac {y_{1}y}{b^{2}}}=1$

• 쌍곡선 ${\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1$의 기울기가 $m$인 접선의 방정식은 $y=mx\pm {\sqrt {a^{2}m^{2}-b^{2}}}$

이차 곡선의 접선의 방정식

• 원 $x^{2}+y^{2}=r^{2}$ 위의 점 $(x_{1},y_{1})$에서의 접선의 방정식은 $x_{1}x+y_{1}y=r^{2}$

• 원 $x^{2}+y^{2}=r^{2}$의 기울기가 $m$인 접선의 방정식은 $y=mx\pm r{\sqrt {m^{2}+1}}$

• 타원 위의 점 $(x_{1},y_{1})$에서의 접선의 방정식은 ${\frac {x_{1}x}{a^{2}}}+{\frac {y_{1}y}{b^{2}}}=1$

• 타원 ${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1$의 기울기가 $m$인 접선의 방정식은 $y=mx\pm {\sqrt {a^{2}m^{2}+b^{2}}}$

• 쌍곡선 위의 점 $(x_{1},y_{1})$에서의 접선의 방정식은 ${\frac {x_{1}x}{a^{2}}}-{\frac {y_{1}y}{b^{2}}}=1$

• 쌍곡선 ${\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1$의 기울기가 $m$인 접선의 방정식은 $y=mx\pm {\sqrt {a^{2}m^{2}-b^{2}}}$

임의의 곡선의 접선의 방정식

• 2차원 유클리드 공간 내의 임의의 곡선 $y=f(x)$ 위의 점 $(a,b)$에서의 접선의 방정식은 $y-f(a)=f'(a)(x-a)$
  (단, $f'(a)$는 곡선 $y=f(x)$의 점 $(a,b)$에서의 미분계수)

한 그래프의 특징

직선은 $y=ax+b$는 다음과 같은 특징을 갖는다.

• x절편은 $\textstyle x=-{\frac {b}{a}}$, y절편은 $b$이다.

• $a\not =0$일 때, x축과 한 점에서 만난다.

두 그래프의 특징

일차 함수 $y=ax+b$, $y=a'x+b'$의 그래프는 다음과 같은 특징을 갖는다.

• $a=a'$, $b=b'$일 때 두 그래프는 일치한다.

• $a=a'$, $b\not =b'$일 때 두 그래프는 평행하다.

• $aa'=-1$일 때 두 그래프는 수직이다.

길이

길이란 물체의 한 끝에서 다른 끝까지의 공간적 거리를 나타내는 스칼라량 이다.

수학적 정의

물체의 길이라고 하면, 그 물체의 한 끝에서 다른 한 끝까지의 거리를 의미한다. 좌표로 결정된 직선 위의 두 점 A, B를 양 끝으로 하는 선분 AB의 길이 d는, 그 두 점의 좌표를 각각 a, b라고 할 때 $d=|a-b|$ 로 정의될 수 있다.

유클리드 거리(Euclidean distance)

1차원

실제 직선 위에 있는 두 점 사이의 거리는 두 점의 좌표의 차이의 절댓값과 같다. x와 y가 실제 직선 위의 두 점이라고 하면, 두 점 사이의 거리는 다음과 같다.

${\sqrt {(x-y)^{2}}}=|x-y|.$

2차원

유클리드 평면에서 p = (p₁, p₂) 와 q = (q₁, q₂)사이의 거리는 다음과 같다.

$\mathrm {d} (\mathbf {p} ,\mathbf {q} )={\sqrt {(p_{1}-q_{1})^{2}+(p_{2}-q_{2})^{2}}}.$

이 식은 피타고라스 정리와 동일하다.

극 좌표에서는 점 p가 (r₁, θ₁)이고 q 가 (r₂, θ₂)일 때, 두 점 사이의 거리는 다음과 같다.

${\sqrt {r_{1}^{2}+r_{2}^{2}-2r_{1}r_{2}\cos(\theta _{1}-\theta _{2})}}.$

3차원

3차원의 유클리드 공간에서, 거리는 다음과 같다.

$d={\sqrt {(p_{1}-q_{1})^{2}+(p_{2}-q_{2})^{2}+(p_{3}-q_{3})^{2}}}.$

2차원

2차원 직교 좌표계

2차원은 차원이 2인 것을 가리킨다.

2차원 좌표

 이 부분의 본문은 좌표계입니다.

2차원의 좌표는 직교 좌표계, 극좌표계, 지리 좌표계 등으로 나타낸다. 2차원의 직교 좌표계를 좌표평면이라고도 한다.

• 
  직교 좌표계
• 
  극좌표계
• 
  지리 좌표계

3차원

3차원 직교 좌표계.

3차원은 차원이 3인 것을 가리킨다. 우리가 사는 공간은 3차원이며 물리학에서는 시간을 포함하여 시공간으로 나타내는 일도 있다.

3차원 좌표

3차원의 좌표는 직교 좌표계, 원통 좌표계, 구면좌표계로 나타낸다.

피타고라스의 정리

 이 부분의 본문은 피타고라스의 정리입니다.

유클리드 기하학에서 널리 알려진 기본 정리는 피타고라스의 정리가 있다. 직각삼각형의 세 변 a, b, c에서 c를 빗변이라고 할 때 $a^{2}+b^{2}=c^{2}$가 된다는 이 정리는 고대 부터 널리 알려져 있었으며, 수 많은 방식으로 증명되어 있다.

아래는 피타고라스의 정리에 대한 간단한 대수적 증명이다.

오른쪽 그림에서 전체 정사각형의 한 변의 길이는 $(a+b)$이고, 따라서 넓이는 $(a+b)^{2}$이 된다.

이번에는 부분의 넓이를 각각 구해보면, 가운데 정사각형의 넓이는 $c^{2}$, 네 개의 직각삼각형의 넓이는 $\scriptstyle {\frac {ab}{2}}\times 4$가 된다.

따라서, 전체 넓이는 $\scriptstyle c^{2}+4\times {\frac {ab}{2}}=c^{2}+2ab$가 된다. 그러므로

${\begin{aligned}(a+b)^{2}&=c^{2}+2ab\\a^{2}+2ab+b^{2}&=c^{2}+2ab\\a^{2}+b^{2}&=c^{2}\end{aligned}}$

가 성립한다.

원뿔 곡선

 이 부분의 본문은 원뿔 곡선입니다.

여러 가지 원뿔 곡선

원뿔 곡선은 하나의 평면으로 원뿔을 잘랐을 때 생기는 곡선인 원, 타원, 포물선, 쌍곡선을 말한다. 원뿔 곡선에 대한 연구는 고대 그리스 시대에서 부터 계속되어 왔다.

각 곡선에 대한 기하학의 정의는 다음과 같다.

• 원: 평면 위의 하나의 정점에서 거리가 일정한 점들의 집합
• 타원: 평면 위의 두 정점에서 거리의 합이 일정한 점들의 집합
• 포물선: 평면 위의 하나의 정점과 이를 지나지 않는 하나의 직선에서 같은 거리에 있는 점들의 집합.
• 쌍곡선: 평면 위의 두 정점에서 거리의 차가 일정한 점들의 집합

원 기하학

반지름,지름,현,호

활꼴,부채꼴

• 반지름은 원의 중심과 원 위의 임의의 점까지의 선분, 또는 그 거리를 뜻한다.
• 원의 중심을 지나는 현은 지름이라고 한다. 지름의 길이는 반지름의 길이의 2배이다.
• 원주는 원의 둘레를 뜻한다.
• 현은 원주 상의 두 점을 잇는 선분이다. 가장 긴 현은 지름이다.
• 호는 원주 상의 두 점을 양 끝점으로 하는 원주의 연속된 일부이다.
• 활꼴은 같은 끝점을 갖는 호와 현으로 이루어져 있다.
• 부채꼴은 두 반지름과 같은 끝점을 갖는 한 호로 이루어져 있다. 부채꼴의 두 반지름의 끼인각을 중심각이라 한다. 원은 중심각이 360도인 부채꼴과 같다.
• '반원은 중심각이 180도인 부채꼴이고, 현이 지름인 활꼴이다.
• 원주각은 원주 상의 한 점에서 다른 두 점으로 선분의 끼인각이다. 원주각을 마주보는 현을 갖는 부채꼴의 중심각은 원주각의 두 배이다.
• 접선은 원과 한 점에서 만나는 직선이다.
• 할선은 원과 두 점에서 만나는 직선이다.

내접원

삼각형의 내접원을 작도하려면, 세 내각의 이등분선이 만나는 내심을 구한다.

내접원(內接圓)은 어떤 2차원 다각형에 대해, 그 다각형의 변들을 원의 둘레(원주) 위에 가지고 있는 원을 뜻한다. 내접원의 중심은 내심이라고 한다.

외접원

외접원이란, 어떤 2차원 다각형에 대해, 그 다각형의 꼭짓점들을 원주 위에 가지고 있는 원을 뜻한다. 그 원의 중심은 외심이라고 한다.

일반적으로 다각형에 외접원이 항상 존재하는 것은 아니다.

삼각형의 외접원

삼각형의 각 변의 수직이등분선의 교점은 외접원의 중심에서 만난다.

모든 삼각형에는 외심이 항상 존재하고, 그 점은 각 변의 수직이등분선의 교점이다. 그리고 외접원에 둘러싸여 있기 때문에 삼각형의 각 꼭짓점에서 외심까지의 길이는 외접원의 반지름과 일치하므로 같다.

외심의 위치

• 직각삼각형의 외심은 빗변의 중심에 위치한다.
• 둔각삼각형의 외심은 삼각형 바깥에 위치한다.
• 예각삼각형의 외심은 삼각형의 내부에 위치한다.

원의 성질

원주상의 한 점에서 원의 중심까지 잇는 선분과, 그 점의 접선은 수직	중심각은 원주각의 2배	호의 길이는 중심각의 크기에 비례 $\theta _{1}:\theta _{2}=l_{1}:l_{2}$
지름의 원주각은 90˚ 지름을 빗변으로 하는 내접삼각형은 항상 직각삼각형	'켤레호'의 원주각의 합은 $180^{\circ }$. 따라서 내접사각형에서 마주보는 두 각의 합은 $180^{\circ }$ $\theta _{1}+\theta _{2}=180^{\circ }$	내접사각형의 한 각과, 그 각의 대각의 외각의 크기는 서로 같다.
원주상의 같은 점을 지나는 접선과 현의 끼인각은, 현을 기준으로 그 각과 같은 쪽에 있는 호의, 원주각의 크기와 같다.	방멱의 정리 1 $a\cdot b=c\cdot d$	방멱의 정리 2 $a\cdot b=c^{2}$

선형대수학

선형대수학에서 기본적인 정의는 다음과 같다.

• 벡터: 크기와 방향성을 갖는 성분. 물리학에서 주로 쓰인다.
• 벡터 연산: 두 벡터끼리의 합, 혹은 벡터와 스칼라(크기만 있고 방향성은 없는 성분)사이의 곱이 벡터의 기본 연산이다.
• 벡터 공간: 벡터의 기본 연산을 만족하는 모든 벡터의 모음을 뜻한다.
• 차원: 흔히 평면을 2차원, 공간을 3차원이라고 부른다. 이때 차원을 구성하는 각각의 요소(3차원의 경우 x,y,z)는 서로 독립적인데 이에 대한 개념을 확장한 것이 바로 선형대수학의 차원이다.
• 행렬: 여러개의 숫자들을 직사각형의 모양으로 한데 묶어 나타낸 성분. 벡터를 하나의 행 혹은 하나의 열로 구성된 행렬로 볼 수도 있다.

보통 3차원까지의 벡터는 그림 등으로 시각적 표현이 가능하지만 그 이상의 벡터는 벡터의 각 구성요소를 괄호 안에 나열함으로써 표기한다.

공간과 장

스칼라장

스칼라장을 나타낸다. 여기서 각 점에 대응되는 숫자의 크기는 그 지점의 색채로 나타나있다.

공간 상의 모든 점에 스칼라, 즉 숫자가 대응되어있다고 보면 된다. 예를 들어 3차원 공간 상의 온도 분포나 호수의 수압 분포 또는 공간상의 전위 분포나 위치 에너지 분포 등이 스칼라장에 해당된다. 이때 각 점의 그래디언트를 정의할 수 있는데 수압 분포나 전위 분포, 위치 에너지 분포 등의 경우 그 지점의 그래디언트는 그 지점에서 힘의 크기와 방향을 나타낸다.

수학적 정의

유클리드 공간 $\mathbb {R} ^{n}$에서 스칼라장은 $F:A\subset \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$으로 정의되는 사상으로써 정의역 $A$의 모든 원소 $\mathbf {x}$에 스칼라, 즉 숫자 $F\left(\mathbf {x} \right)$를 대응시킨다.

벡터장

(−y, x)으로 주어진 벡터장

수학의 벡터 미적분학 등에서 벡터장(vector field)은 (국소) 유클리드 공간의 각 점에 벡터를 대응시킨 것이다. 이는 물리학에서 유체의 흐름이나 중력장 등의 각 점에서의 크기와 방향의 나타내기 위해 사용된다.

보다 수학적으로 엄밀하게 말하면, (접)벡터장은 다양체 위의 접다발의 단면으로 정의된다. 이는 텐서장의 특수한 경우이다.

정의

유클리드 공간 $\mathbb {R} ^{n}$에서 벡터장은 $\mathbf {F} :A\subset \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}$으로 정의되는 사상으로써 정의역 $A$의 모든 원소 $\mathbf {x}$에 벡터 $\mathbf {F} \left(\mathbf {x} \right)$를 대응시킨다. 만약 $n=3$이라면 벡터장 $\mathbf {F} \left(x,y,z\right)=\left(F_{1}\left(x,y,z\right),F_{2}\left(x,y,z\right),F_{3}\left(x,y,z\right)\right)$으로 나타낼 수 있으며 이 때 $F_{1},~F_{2},~F_{3}$는 성분 스칼라장이라고 한다. $n\neq 3$일 때도 비슷한 방식으로 $n$개의 성분 스칼라장을 가지게 된다. 만약 모든 성분 스칼라장이 $C^{k}$ 함수라면 벡터장 $\mathbf {F}$는 $C^{k}$계급에 속한다.

기울기벡터장

 기울기 (벡터) 문서를 참고하십시오.

어떤 함수 $f:A\subset \mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R}$가 있을 때 그 함수의 그래디언트는 다음과 같이 정의 된다.

$\nabla f\left(x,y,z\right)={\frac {\partial f}{\partial x}}\left(x,y,z\right)\mathbf {i} +{\frac {\partial f}{\partial y}}\left(x,y,z\right)\mathbf {j} +{\frac {\partial f}{\partial z}}\left(x,y,z\right)\mathbf {k}$

자세히 살펴보면 $\nabla f$는 $A$의 모든 원소 $\mathbf {x}$에 어떤 벡터를 대응시키는 벡터장이다. 이를 특별히 기울기벡터장이라고 한다.