비비아니 정리

위키백과, 우리 모두의 백과사전.
이동: 둘러보기, 검색
비비아니 정리의 도해

비비아니 정리(Viviani's theorem, -定理)는 이탈리아의 수학자 빈첸초 비비아니(Vincenzo Viviani)가 처음으로 제출한 기하학정리이다. 삼각형의 성질에 대한 간단한 활용으로 얻을 수 있다.

공식화[편집]

이 정리는 다음과 같이 표현할 수 있다.

  • 임의의 정삼각형에서 정삼각형 내부의 점에서 내린 수선의 길이의 합은 일정하다.

증명[편집]

정삼각형의 각 변이 길이 S를 갖고, 수선의 길이가 각각 a, b, c라 하자. 그러면 정삼각형의 넓이는,

  • \frac {1}{2} S(a + b + c)

이 된다. 정삼각형의 넓이는 \frac {S^2}{2} \sin\frac{\pi}{3} 으로 일정하므로, (a + b + c) 도 점의 선택에 관계 없이 S \sin\frac{\pi}{3} = \frac{S\sqrt{3}}{2} 으로 일정하다.

일반화[편집]

위의 증명 방식을 이용하면 임의의 정다각형으로 비비아니 정리를 일반화할 수 있다는 것은 분명하다.

바깥 고리[편집]