불연속점의 분류

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연속 함수의 이론에서, 함수불연속점(不連續點, 영어: point of discontinuity)은 연속점이 아닌, 정의역 속의 점이다. 함수의 불연속점의 집합은 이산 집합이거나 조밀 집합일 수 있으며, 함수의 정의역 전체일 수 있다. 불연속점을 연속이 실패하는 원인이 무엇인지에 따라 분류할 수 있다. 일부 종류의 불연속점은 자연스럽게 연속점이 되게 메워줄 수 있으며, 일부는 그럴 수 없다.

정의[편집]

실수 함수의 경우를 생각하자. 대략, 불연속점은 좌극한과 우극한의 존재 여부에 따라 제1종 불연속점(第一種不連續點, 영어: point of discontinuity of the first kind)과 제2종 불연속점(第二種不連續點, 영어: point of discontinuity of the second kind)으로 분류된다. 제1종 불연속점은 좌극한과 우극한이 일치하는지에 따라 제거 가능 불연속점(除去可能不連續點, 영어: point of removable discontinuity)과 비약 불연속점(飛躍不連續點, 영어: point of jump discontinuity)으로 분류되며, 제2종 불연속점은 무한대인 좌극한이나 우극한이 있는지에 따라 무한 불연속점(無限不連續點, 영어: point of infinite discontinuity)과 진동 불연속점(震動不連續點, 영어: point of oscillating discontinuity)으로 분류된다.

구체적으로, 정의역이 실수 열린구간 , 공역이 실수 집합 인 함수 가 주어졌다고 하자.

제1종 불연속점[편집]

불연속점 가 다음 조건을 만족시키면, 제1종 불연속점이라고 한다.

  • (좌·우극한 존재) 가 둘 다 존재한다.

제거 가능 불연속점[편집]

함수의 그래프. x < 1일 때 f(x) = x^2, x = 1일 때 f(x) = 0, x > 1일 때 f(x) = 2 - x.
없앨 수 있는 불연속점

제1종 불연속점 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 제거 가능 불연속점 또는 없앨 수 있는 불연속점이라고 한다.

  • (좌·우극한 일치)
  • (극한 존재) 가 존재한다.
  • (제거 가능) 인 연속 함수 가 존재한다.

예를 들어, 1은 다음과 같은 함수의 제거 가능 불연속점이다.

제거 가능 불연속점은 함수의 재정의를 통해 연속점으로 만들 수 있다. 예를 들어, 위 함수를 다음과 같이 재정의하자.

그렇다면, 1은 새로운 함수의 연속점이 된다.

비약 불연속점[편집]

함수의 그래프. x < 1일 때 f(x) = x^2, x = 1일 때 f(x) = 0, x > 1일 때 f(x) = 2 - (x - 1)^2.
비약 불연속성

제1종 불연속점 가 다음 조건을 만족시키면, 비약 불연속점 또는 뜀 불연속점이라고 한다.

  • (좌·우극한 불일치)
  • (극한 부재) 가 존재하지 않는다.

예를 들어, 1은 다음과 같은 함수의 비약 불연속점이다.

제2종 불연속점[편집]

불연속점 가 다음 조건을 만족시키면, 제2종 불연속점이라고 한다.

  • (좌/우극한 부재) 가운데 적어도 하나가 존재하지 않는다.

무한 불연속점[편집]

함수의 그래프. x < 1일 때 f(x) = sin(5/(x - 1)), x = 1일 때 f(x) = 0, x > 1일 때 f(x) = 1/(x - 1).
무한 불연속점

제2종 불연속점 가 다음 조건을 만족시키면, 무한 불연속점이라고 한다.

  • (좌/우극한 무한대) 가운데 적어도 하나가 사영 무한대 이다.

예를 들어, 1은 다음과 같은 함수의 무한 불연속점이다.

진동 불연속점[편집]

제2종 불연속점 가 다음 조건을 만족시키면, 진동 불연속점이라고 한다.

  • (좌·우극한 무한대 아님) 가 사영 무한대 가 아니며, 가 사영 무한대 가 아니다.

예를 들어, 1은 다음과 같은 함수의 진동 불연속점이다.

성질[편집]

함수의 연속점의 집합은 항상 Gδ 집합이다. 함수의 불연속점의 집합은 항상 Fσ 집합이다.

실변수 실숫값 함수의 제1종 불연속점의 집합은 가산 집합이다.

증명:

편의상, 실수 구간 에 정의된 실숫값 함수 만을 생각하자. 의 불연속점 집합을 라고 하자. 그렇다면, 다음이 성립한다.

이제 각 이 고립점의 집합임을 증명하자. 임의의 에 대하여, 에서 좌극한과 우극한이 존재한다. 따라서, 다음을 만족시키는 이 존재한다.

따라서

즉, 각 은 고립점의 집합이므로 가산 집합이다. 즉, 는 가산 집합이다.

특히, 실변수 실숫값 단조함수의 불연속점은 항상 제1종 불연속점이므로, 단조함수의 불연속점 집합은 커야 가산 집합이다. 이를 프로다의 정리(영어: Froda's theorem)라고 한다.

증명:

편의상, 실수 구간 에 정의된 실숫값 단조함수 만을 생각하자. 임의의 에 대하여, 상한 공리에 따라, 다음과 같은 상한이 존재한다.

또한, 상한의 정의에 따라, 이는 에서의 좌극한이다.

비슷하게, 임의의 점에서의 우극한의 존재 역시 보일 수 있다.

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불연속점 집합이 실수 집합인 함수[편집]

디리클레 함수

의 불연속점 집합은 실수 집합이다. 이들 불연속점은 모두 진동 불연속점이다.

불연속점 집합이 유리수 집합인 함수[편집]

토메 함수

불연속점 집합은 유리수 집합이다. 이들 불연속점은 모두 제거 가능 불연속점이다.

불연속점 집합이 유리수 집합인 단조함수[편집]

전체 유리수를 나열한 수열 에 대하여, 다음과 같은 함수를 정의하자.

그렇다면, 는 불연속점 집합이 유리수 집합인 증가함수이다. 이들 불연속점은 모두 제거 가능 불연속점이다.

같이 보기[편집]

바깥 고리[편집]