불가촉 수

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불가촉 수(Untouchable Number)는 수학자 에르되시 팔에 의해 만들어진 개념으로, 어떤 자연수 진약수들의 합으로도 나타낼 수 없는 자연수 을 불가촉 수라고 한다. 예를 들어 4는 불가촉 수가 아닌데, 4는 9의 진약수 1과 3의 합으로 표현될 수 있기 때문이다. 또한 불가촉 수가 아닌 어떤 자연수는 진약수의 합이 될 수 있는 수가 두 가지 이상 존재하는 경우인 것도 있다고 한다.

처음 열 개의 불가촉 수의 목록은 다음과 같다. (OEIS의 수열 A005114)

2, 5, 52, 88, 96, 120, 124, 146, 162, 188

5는 유일한 홀수 불가촉 수로 생각되지만 증명되지 않았는데, 만약 골드바흐의 추측이 참이라면 증명이 된다. 또 이것이 증명 된다면 경우 2와 5를 제외한 모든 불가촉 수는 합성수라는 것도 역시나 자동으로 증명된다. 단, 이때 두 소수 a와 b는 반드시 서로 달라야만 하므로 '8 이상의 모든 짝수는 서로 다른 두 소수의 합으로 표기될 수 있다' 라는 좀 더 확장한 조건이 있어야 한다. 서로 다른 두 소수 a와 b의 곱으로 이루어진 약수가 4개인 홀수 c의 진약수인 1, a, b의 합이 또 다른 홀수 d가 되므로, 서로 다른 두 소수의 합으로 표현되는 짝수에서 1을 더한 수는 불가촉 수가 될 수 없다는 이야기다. 예를 들어 소수 3과 7을 이용한다면 3+7=10 이므로 그 수에 1을 더한 11은 불가촉 수가 될 수 없다. 3×7=21의 진약수 1, 3, 7의 합이 11이 되기 때문이다. 이것은 5가 유일한 홀수 불가촉 수가 확실하다는 사실을 증명을 하기 위한 충분한 조건일 뿐이다. 즉 골드바흐의 추측이 거짓이더라도 1부터 특정소수의 거듭제곱까지의 합과 2의 거듭제곱-1, 그리고 그 외의 약수가 6개 이상이면서 진약수의 총합이 홀수가 되는 짝수 또는 홀수도 있으므로 5가 유일한 홀수 불가촉 수일 수도 있다는 말이다. 그리고 어떤 완전수도 불가촉 수가 될 수 없는데, 그 이유는 완전수의 정의가 자기 자신의 진약수의 합인 수이기 때문이다. 마찬가지로, 친화수사교수도 불가촉 수가 될 수 없다. 또한, 첫 항이 1이고 등비가 소수인 등비수열의 합이나 2의 거듭제곱에서 1을 뺀 수 역시 불가촉 수가 될 수 없다.

불가촉 수의 개수는 무한한데, 이것은 에르되시 팔에 의해 증명되었다.

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