분해가능군

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군론에서, 분해가능군(分解可能群, 영어: divisible group)은 양의 정수에 대한 나눗셈이 정의될 수 있는 아벨 군이다. 아벨 군범주단사 대상이다.

정의[편집]

다음 성질을 만족하는 아벨 군 G분해가능군이라고 한다.

모든 양의 정수 n과 모든 g\in G에 대하여, g=nhh\in G가 존재한다.

다만, 이러한 h는 유일하지 않을 수 있다. 예를 들어, nk=0이라면 g=n(h+k)이다.

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성질[편집]

분해가능군은 아벨 군들이 이루는 아벨 범주에서 단사 대상이다. 즉, 만약 분해가능군 G\subset H가 다른 아벨 군 H의 부분군이라면, H=G\oplus H'H'가 존재한다.

G가 분해가능군이고, H\subset G가 (분해가능군이 아닐 수 있는) 부분군이라면 몫군 G/H는 분해가능군이다. 예를 들어, \mathbb Q/\mathbb Z는 분해가능군이다.

구조 정리[편집]

분해가능군 G꼬임 부분군 T\subset G 역시 분해가능군이다. 따라서 모든 분해가능군 G는 다음과 같이 나타낼 수 있다.

G=T\oplus G/T

꼬임 부분군이 없는 분해가능군은 항상 유리수에 대한 벡터공간이다. 즉, G/T\cong \mathbb Q^I기수 I가 존재한다.

바깥 고리[편집]