나눗셈군

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군론에서, 나눗셈군(-群, 영어: divisible group)은 양의 정수에 대한 나눗셈이 정의될 수 있는 아벨 군이다. 정수환 위의 단사 가군이며, 아벨 군의 범주에서의 단사 대상이다.

정의[편집]

영역 위의 왼쪽 가군 M에 대하여 다음 두 조건이 서로 일치하며, 이 조건을 만족시키는 왼쪽 가군을 왼쪽 나눗셈 가군(-加群, 영어: divisible module)이라고 한다.[1]:70, Definition (3.16)

둘째 조건은 단사 가군의 베어 조건을 임의의 왼쪽 아이디얼에서 왼쪽 주 아이디얼로 약화시킨 것이다. 첫째 조건에 따라, 왼쪽 나눗셈 가군에서 만약 r\in Rm\in M에 대하여 \operatorname{ann}_R(\{r\})\subseteq\operatorname{ann}_R(\{m\})이라면 (특히, r\in R오른쪽 영인자가 아니라면), mr에 대한 나눗셈

r^{-1}m\in M/\ker_M(r\cdot)

을 정의할 수 있다.

(영역이 아닌 환의 경우 일부 문헌에서는 다른 정의를 사용한다.)

아벨 군의 개념은 정수환 위의 가군의 개념과 동치이다. 정수환 위의 가군에 대하여 단사 가군의 개념과 나눗셈 가군의 개념이 일치하며, 이를 나눗셈군이라고 한다. 이는 아벨 군의 아벨 범주에서의 단사 대상과 같다. 즉, 만약 나눗셈군 G\subset H가 다른 아벨 군 H의 부분군이라면, H=G\oplus H'H'가 존재한다.

성질[편집]

영역(영인자가 없는 환) 위의 왼쪽 가군에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이다.

  • 임의의 r\in R\setminus\{0\}에 대하여 rM=M이다. 즉, 임의의 m\in Mr\in R에 대하여, r\tilde m=m\tilde m\in M이 존재한다. (다만, 이러한 \tilde m은 유일하지 않을 수 있다.)
  • 나눗셈 가군이다.

영역 위의 나눗셈 가군은 다음 연산에 대하여 닫혀 있다.[1]:71

그러나 나눗셈 가군은 부분 가군에 대하여 닫혀 있지 않다. 예를 들어, \mathbb Q는 나눗셈군이지만 \mathbb Z\subset\mathbb Q는 나눗셈군이 아니다.

모든 단사 가군은 나눗셈 가군이다. 영역 R에서, 만약 모든 왼쪽 아이디얼주 아이디얼이라면, 나눗셈 가군의 개념은 단사 가군의 개념과 일치한다.[1]:71, Corollary (3.17)′

가환환 R극대 아이디얼 \mathfrak m\subsetneq R에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이다.[1]:96, Theorem 3.72

(가환) 정역 R에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.[1]:73, Corollary (3.24)

정역 R 위의 가군 M에 대하여, 임의의 r\in R\setminus\{r\}m\in M\setminus\{0\}에 대하여 rm\ne0이라고 하자. 그렇다면, 다음 두 조건이 서로 동치이다.[1]:73, Proposition 3.25

  • M은 단사 가군이다.
  • M은 나눗셈 가군이다.

분류[편집]

모든 나눗셈군 D는 다음과 같은 꼴로 나타낼 수 있다.

D= \mathbb Q^{\oplus\kappa_0}\oplus\bigoplus_p\mathbb Z[p^\infty]^{\oplus\kappa_p}

여기서 \textstyle\bigoplus_p는 모든 소수에 대한 직합이며, \kappa_0\kappa_p기수이며, \mathbb Z(p^\infty)프뤼퍼 군(영어: Prüfer group)

\mathbb Z(p^\infty)=\{\exp(2\pi i m/p^n) \colon m,n\in\mathbb Z^+\}

이다.

특히, 꼬임 부분군자명군인 나눗셈군은 유리수 위의 벡터 공간밖에 없다.

이 분류는 뇌터 가환환 위의 단사 가군의 분류의 특수한 경우이다.

[편집]

표수가 0인 의 덧셈군은 나눗셈군이다. 보다 일반적으로, 표수가 0인 위의 벡터 공간의 덧셈군은 나눗셈군이다. 일반적으로, 표수가 0인 체 K/\mathbb Q 위의 d차원 벡터 공간 V는 위 분류에 따라 다음과 같다.

V\cong \mathbb Q^{[K:\mathbb Q]\dim_KV}

여기서 [K:\mathbb Q]체의 확대의 차수이며, \dim_KV벡터 공간의 차원이며, 곱셈은 기수의 곱셈이다. 예를 들어, 실수체 \mathbb R의 덧셈군은 위 분류에 따라 \mathbb Q2^{\aleph_0}개의 직합과 동형이다.

유리수체의 덧셈군의 몫군 \mathbb Q/\mathbb Z는 위 분류에 따라 모든 프뤼퍼 군들의 직합과 동형이다.

\mathbb Q/\mathbb Z\cong\bigoplus_p\mathbb Z(p^\infty)

다항식환 \mathbb Z[x] 위의 가군 \mathbb Q(x)/\mathbb Z[x]는 (나눗셈 가군의 몫가군이므로) 나눗셈 가군이지만, 단사 가군이 아니다.[1]:73

참고 문헌[편집]

  1. Lam, Tsit-Yuen (1999). 《Lectures on modules and rings》. Graduate Texts in Mathematics No. 189 (영어). Springer. ISBN 978-0-387-98428-5. MR 1653294. 

바깥 고리[편집]